高中数学选择性必修一课件2：3 3 1 抛物线及其标准方程(人教版)

3.3.1抛物线及其标准方程1.抛物线的定义(1)文字语言：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_____的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.(2)集合语言：P={M||MF|=d}.必备知识·素养奠基相等思考定义中为什么要求直线l不经过点F？提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线.2.抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2=2px(p>0)，y2=-2px(p>0)，x2=2py(p>0)，x2=-2py(p>0).现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形

焦点坐标

准线方程x=____x=y=_____y=p的几何意义___________的距离焦点到准线思考二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？提示：不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.素养小测1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)抛物线的方程都是二次函数. (

)(2)准线方程为y=4的抛物线的标准方程是x2=-16y.(

)(3)抛物线的开口方向由一次项确定. (

)提示：(1)×.当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象.(2)√.由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，因为抛物线的准线方程为y==4，所以p=8，所以该抛物线的标准方程为x2=-16y.(3)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确.提示：(1)×.当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象.(2)√.由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，因为抛物线的准线方程为y==4，所以p=8，所以该抛物线的标准方程为x2=-16y.(3)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确.

3.已知动点M(x，y)到定点(2，0)的距离比到直线x=-3的距离少1，则动点M的轨迹方程为

.

【解析】因为动点M(x，y)到定点(2，0)的距离比到直线x=-3的距离少1，所以动点M(x，y)到定点(2，0)的距离与到直线x=-2的距离相等.根据抛物线的定义可知：动点M的轨迹是抛物线，其方程为y2=8x.

【答案】y2=8x关键能力·素养形成类型一求抛物线的标准方程【典例】1.顶点在原点,准线与y轴垂直，且经过点(,-1)的抛物线的标准方程是 (

)

A.y2=-2x

B.y2=2x

C.x2=2y

D.x2=-2y【解析】因为抛物线顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，-1)，所以设抛物线的标准方程为x2=-2py，p>0,把点(，-1)代入，得2=2p，解得p=1，所以抛物线方程为x2=-2y.【答案】D关键能力·素养形成类型一求抛物线的标准方程2.求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程.关键能力·素养形成类型一求抛物线的标准方程2.求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程.解：当焦点在y轴上时，已知方程x-2y-4=0,令x=0，得y=-2，所以所求抛物线的焦点为(0，-2)，设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，由-=-2，得2p=8,所以所求抛物线的标准方程为x2=-8y；当焦点在x轴上时，已知x-2y-4=0，令y=0，得x=4，所以抛物线的焦点为(4，0)，设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，由=4，得2p=16，所以所求抛物线的标准方程为y2=16x.综上，所求抛物线的标准方程为x2=-8y或y2=16x.类题·通法抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.习练·突破根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.

类型二抛物线的定义及其应用【典例】1.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点 (

)

A.(4，0)

B.(2，0)

C.(0，2)

D.(0，-2)【解析】

因为圆心到直线x+2=0的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0).【答案】B类型二抛物线的定义及其应用【典例】2.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹是

.

【解析】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线.【答案】抛物线内化·悟抛物线的定义可以理解为“一动三定”什么意思?提示：抛物线的定义可归为“一动三定”，即“一个动点M”“一个定点F”“一条定直线l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点,“定直线”为抛物线的准线，“定值”指动点M到定点F的距离与它到定直线l(准线)的距离之比等于1.类题·通法抛物线的判断方法(1)定义判断：可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.(2)方程判断：求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.习练·突破1.若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 (

)A.y2=-16x

B.y2=-32xC.y2=16x

D.y2=32

3.抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为

.

【解析】设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2=4y，知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y=-1，由抛物线的定义，得|PF|=y0+1=10，所以y0=9，代入抛物线方程得x0=±6.

【答案】(6，9)或(-6，9)类型三抛物线的实际应用【典例】河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航?

内化·悟解决抛物线的实际应用的关键是什么？提示：抛物线应用题的解题关键：把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.类题·通法抛物线应用题的解法建立抛物线的标准方程的方法：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.习练·破如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米.解：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是(2，6)，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，则36=2p×2，p=9.所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处,所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长.|AF|==6.5，故每根铁筋的长度是6.5米.课堂检测·素养达标1.对抛物线x2=4y，下列描述正确的是 (

)

A.开口向上，焦点为(0,1)B.开口向上，焦点为C.开口向右，焦点为(1,0)D.开口向右，焦点为【解析】抛物线x2=4y开口向上，焦点为(0，1).【答案】A

【答案】B

【答案】A4.如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上.求抛物线E的方程.解：依题意，|OB|=8，∠BOy=30°.设B(x，y)，则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12.因为点B(4，12)在x2=2py上，所以(4)2=2p×12，解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.

备用工具&资料4.如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上.求抛物线E的方程.

1.抛物线的定义(1)文字语言：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_____的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.(2)集合语言：P={M||MF|=d}.必备知识·素养奠基相等2.抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2=2px(p>0)，y2=-2px(p>0)，x2=2py(p>0)，x2=-2py(p>0).现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：思考二次函数的图象也是