高中数学选择性必修3课件：培优课 数学思想在概率与统计中的应用(人教A版)

培优课数学思想在概率与统计中的应用1.离散型随机变量的分布列中的分类整合思想

分类整合思想是将较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.解决有关离散型随机变量的分布列问题时，要注意以下几点： (1)仔细审题，明确随机变量的所有可能取值及其对应事件，做到不重不漏、分类互斥. (2)求事件概率时注意互斥事件和对立事件概率公式的应用.2.相互独立事件概率中的化归思想

化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称.求相互独立事件概率时，应注意以下两点： (1)先判断复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解. (2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解.3.离散型随机变量的均值与方差中体现的应用意识

应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题.

解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时，要注意以下两点： (1)明确题意，找准变量之间的关系，注意所学概率模型(相互独立事件、二项分布等)的应用. (2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.4.数形结合思想在概率与统计中的应用

数形结合思想就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题，从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快得到解决途径，这对提高分析和解决问题的能力有极大的帮助.数形结合的主要途径： (1)形转化为数，即用代数方法研究几何问题，这是解决几何问题的基本方法； (2)数转化为形，即根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题；(3)数形结合，即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷.在进行回归分析时，常利用散点图、残差图等说明线性相关情况或模型的拟合效果.在独立性检验中，我们常用等高堆积条形图直观地反映数据的情况，从而可以粗略地判断两个分类变量是否有关系.类型一离散型随机变量的分布列中的分类整合思想(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；(2)求P(ξ＝7)；(2)求P(ξ＝7)；(3)求随机变量ξ的分布列.解

由题意，ξ的可能取值为5，6，7，8，9，所以ξ的分布列为：类型二相互独立事件概率中的化归思想他们选择的应用互不相同的概率(2)记ξ为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求ξ的分布列.(2)记ξ为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求ξ的分布列.故ξ的分布列为：【例3】为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A县推行光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.类型三离散型随机变量的均值与方差中体现的应用意识用电量(单位：度)(0，200](200，400](400，600](600，800](800，1000]户数51510155(1)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，(2)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？解

设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，则该自然村年均用电量约150000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益150000×0.8＝120000(元).【例4】某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如图，规定考试成绩在[120，150]内为优秀.类型四概率与统计中的数形结合思想(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表.若按是否优秀来判断，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为该校的文理科数学成绩有差异；数学成绩文、理科合计文理优秀

非优秀

合计5050100解由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成绩优秀的人数为(0.010＋0.004＋0.002)×10×50＝8，故非优秀人数为50－8＝42.该校理科学生中数学成绩优秀的人数为(0.020＋0.014＋0.006)×10×50＝20，故非优秀人数为50－20＝30.则2×2列联表如下：数学成绩文、理科合计文理优秀82028非优秀423072合计5050100零假设为H0：该校的文理科数学成绩没有差异.根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“该校的文理科数学成绩有差异”，此推断犯错误的概

率不大于0.01.(2)某高校派出2名教授对该校随机抽取的学生成绩中一练数学成绩在140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试.若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和均值.∴ξ的分布列为尝试训练D2.某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：课程数学1数学2数学3数学4数学5合计选课人数1805405403601801800为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析.(1)从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；(2)从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ＝X－Y，求随机变量ξ的分布列.解

X的可能取值为0，1，2，3，Y的可能取值为0，1，ξ的可能取值为－1，0，1，2，3.所以ξ的分布列为：3.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495，510]的产品为合格品，否则为不合格品.下图是甲流水线样本的频率分布直方图：乙流水线样本的频数分布表如下：产品质量(克)频数[490，495]6(495，500]8(500，505]14(505，510]8(510，515]4(1)若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，其中合格品的件数X的数学期望；(2)从乙流水线样本的不合格品中任取2件，求其中超过合格品质量的件数Y的分布列；所以Y的分布列为：(3)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.质量流水线合计甲乙合格ab

不合格cd

合计

n参考数据：α0.150.100.050.0250.010xα2.0722.7063.8415.0246.635解2×2列联表如下：质量流水线合计甲乙合格363066不合格41014合计404080零假设为H0：产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择无关.由列联表得根据小概率值α＝0.10的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”，此推断犯错误的概率不大于0.10.备用工具&资料参考数据：α0.150.100.050.0250.010xα2.0722.7063.8415.0246.635解2×2列联表如下：质量流水线合计甲乙合格363066不合格41014合计404080(2)从乙流水线样本的不合格品中任取2件，求其中超过合格品质量的件数Y的分布列；所以Y的分布