三年级奥数计算综合数阵图与幻方（B级）

数阵图与幻方

;知识框架

一、数阵图定义及分类：

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型

数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一■步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；

第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系,

得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对

数学方法的综合运用.

三、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国，古

人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都

无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖

着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什

么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横

着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水

果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做"幻方"，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方"，这个相

等的和叫做"幻和洛书"就是幻和为15的三阶幻方.如下图：

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解："九宫者，二四为肩，六八为足，左三

右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久.三阶

幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的："四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎

赏月半，周围十五月团圆."幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们.

四、幻方定义：

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3x3的数阵称作三阶

幻方，4*4的数阵称作四阶幻方，5x5的称作五阶幻方......如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，

115144

12679

810115

133216

五、解决这幻方常用的方法：

⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法.口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往

下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样.

⑵适用于三阶幻方的三大法则有：

①求幻和：所有数的和十行数(或列数)

②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数"，中心数=幻和+3.

③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和+2.

六'数独简介：

数独前身为"九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的

数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15,而非简单的九个数字不能重复。中

国古籍《易经》中的"九宫图"也源于此，故称“洛书九宫图"。而"九宫"之名也因《易经》在中华文化发

展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士数学家莱昂哈德・欧拉发明了一种当时称作"拉丁方块"(LatinSquare)的游戏，这个

游戏是一个nxn的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。19世纪

70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》(DellPuzzleMagazines)开始刊登

现在称为"数独"的这种游戏，当时人们称之为"数字拼图"(NumberPlace),在这个时候，9x9的81格

数字游戏才开始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》通信二

"》)上出现了"数独"游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是"这个数字只能出现一次"或者"这

个数字必须是唯一的"，并将这个游戏命名为"数独"(sudoku)。

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德(WayneGould)在1997年3月到日本东京旅游时，

无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之

后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个

游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数

独。

中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独.2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部（数

独联盟sudokufederation前身）在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书

长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会

的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们

交流的机会。

七、解题技巧：

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个

空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。

总结4个小技巧：

1、巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分

析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所

在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数

独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要

考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定

不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1.或者2,A2也

可以填入1或者2,那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不

可能出现1或者2.

3、相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数

字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字，还

有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1

可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,这个时候

我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4,我们就可以不用考虑A1,这

样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进

行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一

个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例

说明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,这个时候我们就应

该假设B3填入2,这样就可以确定A3填入3,B4填入1,然后以这个为基础进行推理。

例题精讲

一、复合型数阵图

【例1】右图中，从第二层（从下往上数）起，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和。最

上面的方框中填的数是________。

【解析】如右图所示，885=③+②，③=262+①，②=①+283,贝4885等2+①+①+283,则①=170,

②=170+283=453,@=262+170=432,则④=②+670=453+670=1123,⑤=885+④

=885+1123=2008.

【答案】2008o

【巩固】将0,1,2,3,4,5任意填入最下一行（每个数出现一次）的6个方格中.其它每个

方格中的数等于下一行与它相邻的两个数的和•最上面的一个数的最大值是,

最小值是.

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】要使最上面的一个数最大，则必使0、1、2、3、4、5数字中最大数尽可能多地相加,

即将大数尽可能放在中间位置，即如下图所示：

要使最上层的值最小，则必使0、1、2、3、4、5数字中最小值尽可能多地相加，最大值尽可能

少地相加，即将最小数尽可能放在中间位置，如下图所示：

44

【答案】116:44o

【例2】请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的

两个圆圈中所填数的和.

【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空

【解析】第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出

第一■行的四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x、y>z、w,则

尤+w+3（y+z）=20,由于x+w至少为3,所以y+z不超过5;第二步：由于y+z的和不超过5,

所以，y和z只可能为1和2、1和3、1和4或者2和3,通过尝试可以得到不止一个答案，右面

的答案是其中一个.

【巩固】把L2,3.7,6.5,2.9,4.6分别填在右图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它

相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值填在三角形中.请找

出一种填法，使三角形中的数尽可能小.问这个最小的数是多少？

【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空

【解析】设5个小圆中的数依次为%、的、的、%、的，则三个方框中的数依次为1+：+%、%+；+他、

%+；+%,继而求出三角形中的数为。1+2%+3；+2%+%.为使这个数最小，的应该填入

最小的数1.2,%、%应该填入次小的2.9和3.7,%、%填入4.6和6.5.可得三角形中的数最

小为3.1.

【答案】3.1o

【例3】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈

上三个数的和.

（1）

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）,

(2)

则有a+4+9=a+b+c(1)

b+8+9=a+b+c(2)

c+17+9=a+b+c(3)

(1)+(2)+(3):(a+b+c)+56=3(a+b+c),a+b+c=28,贝Ia=28-(4+9)=15,b=28-(8+9)=11,

c=28-(17+9)=2解:见图.

15：

4

IE2

【答案】

【巩固】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的

三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k

（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k,3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,2

（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k,2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k,56+A=5k.,因为56+A为5的倍数，得

A=4,进而推出k=12,因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=l,F=5,D=6,

则C=12-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.,解：得到一个基本解为：（见图）

【答案】

二'数独

【例4】在下图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是

1,2,3,4.

【考点】数独【难度】3星【题型】填空

【随练1】如中间图所示，受列及对角线的限制，4处只能填1,从而6处填3;进而推知C处填4,3处填

3,e处填4,......右上图为填好后的数阵图.

【答案】

【巩固】在图的5x5的方格表中填入A、B、C、D四个字母，要求：每行每列中四个字母都恰出现一次：如

果菜行的左边标有字母，则它表示这行中第一个出现的字母；如果某行的右边标有字母，则它表

示这行中最后一个出现的字母；类似地，如果某列的上边（或者下边）标有字母，则它表示该列的第

一个（或者最后一个）出现的字母.那么在第二行从左到右出现的次序是.

CA

D

A

DA

【考点】数独【难度】4星【题型】填空

【解析】〃在第二行从左到右出现的次序是8,C,D,A.

【答案】B,C,D,AO

【例5】将1到4填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但

不重复的数字，并且，在有">"或者々’的对应两个空格必须满足对应的大小关系。

A

B

C

D

【考点】数独【难度】4星【题型】填空

【解析】我们要善于利用大小关系条件。（1）首先看A行，Al、A2、A3都大于某一个数，那么A4必然为

1,进而可以知道B4为4,C4为3,D4为2;（2）观察发现，D3只能填3或者4,A3只能填3或

者4,则第3列中的3和4只可能是在A3和D3中出现，所以B3、C3只能是1或者2,再分析B

行，发现B1可能是1、2、3,B2可能是1、2,所以3只能出现在B1中，故B1填3;（3）剩下的

就变得非常简单了，我们来逐步推导，我们现分析A行，A1填4,A2填2,A3填3,然后分析B

行，B2填1,B3填2,再看第3列，C3填1,余下的通过简单的行列对比可以知道C2填4,C1填

2,D1填1,D2填3。分析完毕，答案如图。

1234

A42V:31

B3124

C2413

D1342

【例1】请在右图4x4表格的每格中填入1,2,3,4中的一个，使得每行，每列，每条对角线的四个数各不

相同，且满足图中三个不等的关系.

>

V

>

【考点】数独【难度】4星【题型】填空

【解析】如图1,a>b>c,符合这种情况的只有三种情况，情况1:3>2>1,要符合每行，每列，每对角线

的四个数字各不相同，如图2不符合要求；情况2:4>2>1,要符合每行，每列，每对角线的四

个数字各不相同，如图3不符合要求；情况3:4>3>2,要符合每行，每列，每对角线的四个数

字各不相同，如图4符合要求。

4彳>224：>31

V34

11

41342

4：>342：>13

二'构造幻方

【例6】如下图的3x3的阵列中填入了1〜9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3x3的

阵列，请选择9个不同自然数填入9个方格中，使得其中最大者为20,最小者大于5,且要求横

力口、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.

492

357

816

【考点】构造幻方【难度】3星【题型】填空

【解析】观察原表中的各数是从1〜9不同的九个自然数，其中最大的数是9,最小的数是1,且横加、竖

加、对角线方式相加结果相等.根据题意，要求新制的幻方最大数为20,而9+11=20,因此，如

果原表中的各数都增加11,就能符合新表中的条件了.如下图.

H3

HH

EJ3

【巩固】从1、2、3...20这20个数中选出9个不同的数放入3x3的方格表中，使得每行、每列、每条对角

线上的三个数的和都相等。这个9个数中最多有个质数。

【考点】幻方性质【难度】4星【题型】解答

【解析】

1779

31119

1515

5最多有7个质数。

【答案】7o

四、幻方性质

【例7】请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.

【考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24,所以中心数为24+3=8.

⑵既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16,想一想

哪两个数相加为16呢？1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,

7+9=16

⑶按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.

EH3

EH

03

【答案】

【例2】将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.

【考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空

【随练2】介绍三阶幻方时，我们已经知道了1〜9的填法及各行各列三个数相加的和均为15,现在要求每

一横行及每一竖列的三个数之和为60,显然1〜9每个数增加（60-15）+3=15就可以了.右上图

为其中一个解.

【例8】在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的上的三个数的和都等于90.

47340

233037

205713

【考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空

【随练3】中心数=90+3=30,又由c=（a+b）+2知第一行第三列的数为（23+57）+2=40,由2〃一6知第

一行第二列的数是30x2-57=3;第一行第一列的数是90-40-3=47;第二行第三列的数是

90-23-30=37;第三行第一列的数是90—47—23=20;第三行第三列的数是90-20—57=13,

所以答案见右上图.

47340

【答案】233037

205713

【巩固】右图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数

之和都相等。问：图中左上角的数是多少？

【考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空

【解析】如图，设相应方格中的数为％,X2,X3,X4O

x2

19

由已知条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式（方程）：?

十M十X2=?+X3+%=M+X3+13=X2十19+乂，这样，前面两个式子的和就等于后面

两个式子的和，即有2义？+乂十X2+X3+K=13+19+M十X2+X3+X4所以2义？=13

9

+19?=11±1=16；左上角的数是16

【答案】16„

【例9】请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰好出

现1、2、3、4、5、6.

【考点】数独【难度】4星【题型】填空

【解析】这也是一道逻辑推理问题，它雷同于风靡一时的数独游戏.在这个拉丁幻方中，从右上到左下的

对南线上已给出4个数字，还少了数字4和5,而4在第三列中已经出现了，所以4只能填入第一

列，5则自然而然的出现在第三列.如图10所示.再看自上而下的第六行，还少了数字3、4和5,

而4、5在第六列出现，所以只能填3.同理5在第四列中已经出现了，所以5只能填入第二列，4

则自然而然的出现在第四列.如图11所示.再看自上而下的第三行，还少了数字1,2,3和6,

而3在第三、五、六列中已经出现了，所以3只能填入第二列，1在第三、五列中已经出现了，所

以1只能填入第六列，6在第五列中已经出现了，所以6只能填入第三列，2则自然而然的出现在

第五列.如图12所示.

再看第六列，可确定第四行填6,第五行填2.再往下填就容易多了，请同学们自己完成.

125634

642315

436521

513246

364152

251463

【巩固】将1到4填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但

不重复的数字，并且，在有">"或者的对应两个空格必须满足对应的大小关系。

>

\/

V7\

△\!△

/\V/\

【考点】数独【难度】4星【题型】填空

【解析】这道题是一道数独游戏的变体，我们称之为"大小数独"。

1、我们对存在大小关系的方格进行可行性分析，如图，在空格中填入可能的数字;

B4就只能填入1或2,又因为C4只能填1或2,根据同样的理由，且D4为3,则A4只能填4,

进而知道A3填1,D3填2,D2填4,D1填4,B2填3,A2填2,A1填3,C2填：1,C4填2,

B4填1,B1填2,C1填4,B3填4.

分析完毕，答案如图.

1234

3>14

V发

2341

4132

1423

1234

课堂检测

【随练1】在左下图的5x5方格表的空白处填入1-5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各不相

同。

【考点】数独【难度】4星【题型】填空

【解析】

【随练2】请你将1~25这二十五个自然数填入5x5的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.

【考点】构造幻方【难度】3星【题型】填空

【解析】①罗伯法：教师边写边说口诀："一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往下填，右出框时

往左填.排重便在下格填，右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的"罗伯法”，

它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻

方.

②阶梯法：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的.这个方法十分简单而巧妙，适用于

所有奇数阶幻方.这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把个自然数顺阶梯方向先

码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方.下面的图⑴和图⑵表示了

如何用阶梯法构成5阶幻方.图⑴中顶边以上的4、5、10三个数在图⑵中被移入底边上方相应的3

个原先为空的方格中，其余三侧照此处理.

5

410

391531692215

81420821142

7131972513119

121824125186

111723114171023

16_22

-21"一

(1)(2)

⑵练习：大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意强调细节.上出框与右出框的处理有时

不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法一一〃卷纸筒〃，即把上下边重合在一线，则上出框后往右

上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.

17241815

23571416

46132022

101219213

11182529

一家庭作业

【作业1】图2中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于130,三角形内两个数的和等于

53,圆内三个数的和等于79,正方形内两个数的和等于50。那么，从左向右，这五个问号依次

是

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】根据题意答案为：25,28,27,24,26

【答案】25,28,27,24,26

【作业2】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选

数，每个同学可以从中选5个数来求和.小刚选的5个数的和是120,小明选的5个数的和是

111.如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是.

□A

A

S

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】这9个数的和：11+12+13+21+22+23+31+32+33=(10+20+30)x3+(1+2+3)x3=198

由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数

取了两遍.所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数.那么，这个数是

120+111-198=33.

【答案】33。

【作业3】图中是一个3x3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中"★"代表的

数是.

TH

【考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空

【解析】总和为18+支,左下角应该是16,中间应该是★-8=(10+16)+2=13,所