人教版初中七年级数学下册第八章导学案

第八章二元一次方程组

8.1二元一次方程组

一、新课导入

1.导入课题：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，

某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场

数应分别是多少？

在上面的问题中，能否根据题意直接设两个未知数，列出简易方程呢？这就

是我们这一章所要学习的内容：二元一次方程组.

2.学习目标：

(1)知道二元一次方程、二元一次方程组的概念.

(2)知道二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它

们的解.

3.学习重、难点：

重点：二元一次方程、二元一次方程组的概念.

难点：二元一次方程、二元一次方程组的解的含义.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：课本P88的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：认真阅读课本，在重要的地方做好标记.

(4)自学参考提纲：

①引言中的问题所包含的两个等量关系是：①胜的场数+负的场数=总场

虬；②胜场积分+负场积分=总积分.若设胜场数是x,负场数是y,则可列出

方程①x+y=10；②2x+y=16.

②回顾一元一次方程的定义，明确什么叫“元”？什么叫“次”？如方程

x+y=10和2x+y=16,两个方程共含有个未知数，并且含有未知数的项的次数

都是1,我们把这样的方程叫做二元一次方程.

③像[x+y=i°'这样，由两个二元一次方程所组成的一组方程叫做二

2x+j=16

元一次方程组.

2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和自学中的亮点及存在的

问题.

②差异指导：对学有困难和学法不当的学生进行点拨引导.

(2)生助生：小组内的学生之间相互交流和帮助.

4.强化:

(1)二元一次方程、二元一次方程组的概念.

(2)若方程(m—2)xim/i+(n+3)y"8=6是关于x,y的二元一次方程，则m=0,

n=_9_.

(3)下列方程组中不是二元一次方程组的是③④⑤(填序号).

X1(.(-1r

g—।—=-x=2,小x+y=7,小—Fy=1,4x+y=7,

ej+l=Oxy=63y+z=2

x-y=2i[x-j=2i

第二层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：课本P89的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：回忆什么叫一元一次方程的解，讨论怎样检验一个数是否是这

个方程的解.

(4)自学参考提纲：

①完成“探究”中需要解决的问题.

②使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系，试再写出这个方程一个不同的

解x=-l,y=ll.由此我们知道,一般情况下，二元一次方程的解有无数个(填“唯

一一个”“有限多个”或“无数个”).

③一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组

6

的解.方程组《x+j=l(K的解是［;二

2x+y=164

④判断：A」”"B.JX=6,Ix=4,

C."

y=2f[y=L[y=5.

A、B是方程x+y=7的解:A、C是方程3x+y=17的解;A是方程组・

的解.

2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.

3.助学:

（1）师助生：

①明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和自学中存在的问题.

②差异指导：对学有困难和学法不当的学生进行点拨引导.

（2）生助生：小组内的学生之间相互交流和帮助.

4.强化:

（1）二元一次方程的解和二元一次方程组的解的含义.

（2）练习：课本P89“练习”.

三、评价

1.学生学习的自我评价：各组代表汇报本组的学习收获和不足.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、情感、方法和成效进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本课的教学重点是了解二元一次方程、二元一次方程组的概念，及二元一次

方程组的解的概念，本节课利用知识联系实际的教学方法，激发了学生的学习兴

趣，提高了学生的学习效果，并且注重及时巩固练习，加深了学生对二元一次方

程组的印象.

<-----------评价作业——

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（70分）

1.（10分）下列方程中，是二元一次方程的是（D）

1y—2

A.3x—2y=4zB.6xy+9=0C.-+4y=6D.4x二—

x4

2.（20分）下列方程组中，是二元一次方程组的是（A）

x+V=4f2a—3b=11fx2=9x+y=8

AJ，BJCJ

2x+3y=7[5b—4c=6[j=2xx2—y=4

3.（20分）填表，使上、下每对x,y的值是方程3x+y=5的解.

1152

X_200.422

TT

y1153.8-1-0.5-I03

4.（20分）若方程2-"+3+3y29=4是关于x,y的二元一次方程，则

nT+〃2=5.

二、综合运用（20分）

5.如果三角形的三个内角分别是x°,y°,y°,求:

（1）x,y满足的关系式；

（2）当x=90时，y是多少？

（3）当y=60时,x是多少?

解:（1）x,y满足的关系式为:x+2y=180.

180-x180-90“

⑵当x=90时,y=----------=45.

172

（3）当y=60时，x=l80-2y=180-2X60=60.

三、拓展延伸（10分）

6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼,

上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”你能用二元一次方程组表示题

中的数量关系吗？试找出问题的解.

解：设笼中有x只鸡，y只兔，由题意，得

x+y=35,,„„x=23,

解z得《

2x+4y=94,y=12.

答：笼中有23只鸡，12只兔子.

8.2消元一一解二元一次方程组

第1课时代入消元法

一、新课导入

1.导入课题：

对于引言中的问题，我们在上节课通过设两个未知数(设胜X场，负y场),

(x+y=10,

列出了二元一次方程组匕工+，=16,,并通过列表找公共解的办法得到了这个方

(%=6,

程组的解、'=4•显然这样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，不好操作，所以

这节课我们就来探究如何解二元一次方程组.(板书课题)

2.学习目标：

(1)会用代入消元法解简单的二元一次方程组.

(2)知道解二元一次方程组的基本思想是‘'消元"，经历从未知向已知转化

的过程，体会化归思想.

3.学习重、难点：

重点：会用代入法解简单的二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是

“消元”.

难点：掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：课本P91~P92例2之前的内容.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学要求：认真阅读课本，明确什么是消元？探讨用代入法解二元一次方

程组的一般步骤.

(4)自学参考提纲：

①通过比较二元一次方程组=与一元一次方程2x+(10-x)=16,

2x+j=16

得到了解二元一次方程组’的方法，其具体过程可以表示如下：

由方程①，得y=10-x.③

把③代入②，得2x+(10-x)=16.

解这个方程，得x=6.

把x=6代入③，得y=4.

所以这个方程组的解是=6

y=4.

在上面的解题过程中，把③代入②的目的是为了消去未知数上，这样就把

二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,这种将未知数的个数由多化

少，逐一解决的思想，称为消元思想.

②在上面的解题过程中，把③代入①可以吗？试试看.求y的值时，把求得

的x=6代入①或代入②可不可以？哪种方式更简单？答案：可以，可以把x=6

代入③更简单.

③像上面这样，把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知

数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元,进而求得这个二元一次方程

组的解，这种方法叫做代入消元法,简称代入法.

④对上面这个方程组是否有办法先消去未知数x,得到关于y的一元一次方

程，进而求出原方程组的解？试试看.

⑤小组合作完成P9I例1的学习，并归纳出用代入法解二元一次方程组的一

般步骤.

2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：教师深入课堂了解自学进度和自学中存在的问题：是否理解消

元的思想，能否正确找到消元的途径(即是否能恰当选定一个方程，并把它变形,

用含一个未知数的代数式表示出另一个未知数).

②差异指导：对少数学有困难、学法不当的学生进行引导.

(2)生助生：小组内的学生之间相互交流和帮助.

4.强化:

(1)消元思想和代入消元法解二元一次方程组的基本步骤.

(2)练习:

①把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式:

2x-y=3；3x+y-l=0.

答案：上面的2个小题的答案依次为y=2x-3；y=l-3x.

②用代入法解下列二元一次方程组:

(y=2x-3,①,\lx-y=5,①

”13x+2y=&②3x+4y=2.②

解：a.将①代入②，得b.由①，得y=2x-5.③

3x+2(2x-3)=8.把③代入②，得

解得x=2.3x+4(2x-5)=2.解得x=2.

把x=2代入①，得y=l.把x=2代入③，得y=-l

x=2,

所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是

b=L

第二层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：课本P92例2~P93“练习”之前的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：认真阅读课本，找出问题中包含的两个条件.

(4)自学参考提纲：

①本题中的两个等量关系分别为：5x=2y和500X+250Y=22500000.

②所列的方程组中方程②右边的数为什么不是22.5?答案：

22.5t=22500000g.

③解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看.答案：可以

2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.

3.助学:

(1)师助生：

①明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和自学中存在的问题.

②差异指导：对少数学有困难、学法不当的学生进行点拨引导.

(2)生助生：小组内的学生之间相互交流和帮助.

4强化:

(1)列方程组解应用题的一般思路.

(2)列方程时应注意单位的统一.

(3)练习：

①有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支

排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？

解：设篮球有x支参赛，排球队有y支参赛，由题意，得

x+j=48,①

10x+12y=520.②

由①，得x=48-y.③

把③代入②，得10(48-y)+12y=520.解得y=20.

把y=20代入③，得x=28.

Y=2已

所以这个方程组的解为

y=20.

答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛.

②张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，L5h后到

达县城.他骑车的平均速度为15km/h,步行的平均速度为5km/h,路程全长20km,

他骑车与步行各用了多少时间？

解：设他骑车用了xh,步行用了yh,由题意，得

x+j=1.5,①

由①得x=1.5-y.③

15x+5j=20.(2)

把③代入②，得15(1.5-y)+5y=20.

解得y=0.25.

把y=0.25代入③,得x=L25.

丫二[2s

所以这个方程组的解为1■

y-0.25.

答:他骑车用了L25h,步行用了0.25h.

三、评价

1.学生的自我评价：各小组汇报本组的学习收效和不足.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收效进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本课时在进行“代入消元法”时，遵循了“由浅入深、循序渐进”的原则，

引导并强调学生观察未知数的系数，注意系数是1的未知数，针对这个系数进行

等式变换，然后代入另一个方程.在这个教学过程中，学生的学习难点就是当未

知数的系数不是1的情况，用含有一个字母的代数式表示另一个字母，教师应该

引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往往忽略训练的深度和广度，要注意

把握训练尺度.

评价作业

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（70分）

1.（30分）把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式:

(1)—x+2j=1；(2)—x+—y—2

244

(3)5x-3y=x+2y；(4)2(3y-3)=6x+4

31

解：(1)y=—x-\—(2)y=-17x+87

42

，八5

(3)y=(4)1y=X+-

2.（40分）用代入法解下列方程组:

y=x+3；①3§—E=5,①

(1)4(2)

7x+5y=9；②5s+2,=15；②

解：把①代入②，得解：由①，得t=3s-5.③

7x+5(x+3)=9,把③代入②，得5s+2(3s-5)=15.

解得T解得S若

把"=一；代入①，得尸!把s=K代入③，解得f=

...方程组的解为...方程组的解为

25

11

20

TT

4x+j=15,①J4(X+2)+5J=1,

(3)-(4)

3x—2y=3；②[2x+3(j+2)=3.

解：由①，得解：化简，得

4x+取=—7①

y=-4x+15.(3)

2x+3y=—3©

把③代入②得由①，得x=_5"7.③

4

3x-2(-4x+15)=3.把③代入②，得

解得x=3.2x————+3y=-3.

把x=3代入③，解得y=l.

得y=3.把y=l代入③，得x=-3

•••方程组的解为方程组的解为

x=3,x=-3,

4=3.』=L

二、综合运用（20分）

3.顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数比到云水

洞的人数的2倍少1,到两地旅游的人数各是多少？

解：设到花果岭的人数为x人，到云水洞的人数为y人，由题意，得

]x+y=200,①

\x=2y-l.®

把②代入①，得2y-l+y=200.

解得y=67.

把y=67代入②，得x=133.

所以这个方程组的解为&

答：到花果岭的人数是133人，到云水洞的人数是67人.

三、拓展延伸（10分）

4.小婷知道[”=1'和=Z都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知

7=-1[y=2

道1x=3f是否也是方程ax+by+4=0的解，你能帮帮她吗？说说你的方法.

）=4

解：一'和4一都是二元一次方程ax+by+4=0的解，

y=-l[j=2

=“解得f=T

2a+25+4=0.[6=1.

代入二元一次方程ax+by+4=0,得-3x+y+4=0.

将，—'代入-3x+y+4=0,得

y=4

-3X3+4+4=-1W0,

fx=3

：.\不是方程-3x+y+4=0的解.

y=4

8.2消元一一解二元一次方程组

第2课时加减消元法

一、新课导入

1.导入课题：

（1）解二元一次方程组的基本思想是什么？

（2）代入消元法的一般步骤是什么？

这节课我们来学习另一种消元法一一加减法（板书课题）.

2.学习目标：

（1）会用加减消元法解简单的二元一次方程组.

（2）进一步理解“消元”思想，从具体解方程组过程中体会化归思想.

3.学习重、难点：

重点：会用加减消元法解简单的二元一次方程组，进一步领会消元思想.

难点：掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

（1）自学范围：课本P94~P95例3为止的内容.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学要求：认真阅读课本，思考相关问题，弄清楚用加减法解二元一次方

程组的一般步骤.

（4）自学参考提纲：

①解方程组卜时，由②-①或①-②都可以消去未知数乂，二者

、2x+y=16②

有何区别呢？

②解答课本P94下面“思考”中的问题.

③综合①、②中的两个方程组的解法可以看出：当二元一次方程组的两个方

程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就

能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加

减法.

④根据例3的解题过程，思考下列问题：

a.为达到把未知数y的系数化为相反数的目的，除了例题中把方程①X3,

②X2这种变形外，还有其他的变形吗？如①X6,②X4行吗？哪种简便些？

b.把x=6代入方程②可以解得y吗？

c.如果用加减法消去x应如何解？解得结果一样吗？试一试.

d.归纳用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况（包括学习进度、效果、

存在的问题等）.

②差异指导：根据学情进行相应指导（宏观的或微观的）.

（2）生助生：小组内同学间相互交流研讨，互助解疑难.

4.强化：

（1）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.

（2）解方程组的“消元”和“转化”思想.

（3）练习：用加减法解下列方程组：

x+2j=9,①5x4-2y=2>5①

a.<…

3x-2j=-l；②3x+4y=1；5②

解：a.①+②,得b.①X2-②，得

4x=8.解得x=2.7x=35.解得x=5.

把x=2代入①，把x=5代入①，

得2+2y=9.得5X5+2y=25.

7

解得y=£解得y=0.

2

,这个方程组的解为这个方程组的解为

x=2,x=5,

'y=72.j=0.

J2x+5j=8,①f2x+4=6①

3x+2y=5；②[3x-2y=-功

c.①X3-②X2,得d.①X2+②X3,得

Iy=14.解得y=々.13x=6.解得x=—,

13

把7=1代入①，把工=色代入②，

13

14

得2x+5x—=8.W3x——2y=-2.

13

解得“=输9.解得7=乌.

13

这个方程组的解为•••这个方程组的解为

96

x=一x=—，

1113

1422

y=­y=一.

1113

第二层次学习

1.自学指导：

（1）自学范围：课本P95~P96的例4.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：仔细审题，寻找相等关系列方程，从中再次熟悉用加减法解二

元一次方程组的过程.

(4)自学参考提纲：

①如果设1台大收割机每小时收割小麦xhm2,1台小收割机每小时收割小

麦yhn?.根据题目所给的条件填空：

a.2台大收割机和5台小收割机同时工作1小时共收割小麦(2X+5Y)hnR

同时工作2小时呢？2(2x+5y)hn?.于是可歹U方程2(2x+5y)=3.6.

b.3台大收割机和2台小收割机同时工作1小时共收割小麦(3X+2Y)hn?.

同时工作5小时呢？5(3x+2y)hm2,于是可列方程5(3x+2y)=8.

f2(2x+5v)=3.6,

②解方程组“，二、。时，为什么要先去括号而不先除以两方程中括

[5(3x+2y)=8

号前的系数简化方程组呢？

2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.

3.助学:

(1)师助生：

①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况(主要是学习进度，效果

和存在的问题等).

②差异指导：根据学情进行相应指导.

(2)生助生：小组内同学间相互交流研讨，互助解疑难.

4强化:

(1)列方程组解应用题的一般思路.

(2)运用加减法解二元一次方程组时对未知数系数的变换.

(3)练习：课本P97“练习”第2、3题.

三、评价

1.学生的自我评价：学生代表交流学习目标的达成情况及学习感受等.

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价(教学反思)：

在用加减消元法解二元一次方程组时，难点在于相同未知数的系数不相同也

不是互为相反数的情况.本课采用的是“由易到难，逐次深入”的原则，先让学

生熟悉简单的未知数的系数相同或互为相反数的加减消元法则，继而提示学生怎

样使不相同的未知数系数相同或互为相反数，最终达到让学生熟练掌握用加减消

元法来解决问题的目的.

«-----------评价作业-------

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（60分）

1.（40分）用加减法解下列方程组：

..3u+2t=7,①{2a+b=3,①

①4二、

6i/-2r=ll；②3a+万=4；②

解：（1）①+②，得(2)②-①，得

9u=18.解得u=2.a=l.

把u=2代入①，得把a=l代入①，得

3x2+2t=7.2xl+b=3.

解得解得b=L

2

•••这个方程组的解为这个方程组的解为

a=L

b=l.

[2x-5y=-3,①—x——_y=—L①

④彳22

-4x+j=-3；②

2x+y=3.②

(3)①X2+②，得(4)②-①X4,得

-9y=-9.7y=7.

解得y=l.解得y=l.

把y=l代入①，得把y=l代入②，得

2x-5xl=-3.2x+l=3.

解得x=l.解得x=L

这个方程组的解为这个方程组的解为

ly=L[y=l.

2.（20分）一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶.2大盒、

3小盒共装76瓶.大盒与小盒每盒各装多少瓶?

解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶.

3x+4y=10&

由题意，得4

2x+3j=76.

x=20,

解得4

y=12.

答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶.

二、综合运用（30分）

3.解下列方程组:

2〃3v1

①!3（x-l）=y+5,一+一

342

5（j-1）=3（x4-5）；(2)

4〃5v7

一+—=一.

I5615

解：（1）整理得产7=&①8«+9v=6①

（2）整理，得■

24〃+25y=14.②

+②，得4y=28.①X3-②,得2V=4.

解得y=7.解得v=2.

把y=7代入①，得把v=2代入①，得

3x-7=8,8u+18=6.

3

解得x=5.解得〃=_只.

2

•••这个方程组的解为・•・这个方程组的解为

3

x=5,u-一一,

2

v=2.

三、拓展延伸（10分）

3x+2j=m+2,①的解满足方程x+y=8,求m的值.

4.已知方程组《

2x+3y=m②

解：①+②，得5x+5y=2m+2.

又<x+y=8，

/.5X8=2m+2.

解得m=19.

故m的值为19.

8.3实际问题与二元一次方程组

第1课时实际问题与二元一次方程组(1)

——探究1

一、导学

1.导入课题：

前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的等量关系以及如何解

方程组.本节课我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题.

2.学习目标：

(1)会运用二元一次方程组解决一些实际生活中的应用问题，体会数学建

模思想.

(2)能根据题目中的已知量与未知量的联系正确设出未知数，列出方程组

并求解.

3.学习重、难点：

重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.

难点：寻找等量关系，并列出方程组，由方程组的解解释实际问题.

4.自学指导：

(1)自学内容：课本P99探究1.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学要求：同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出

问题的解答，然后再互相交流.

(4)探究提纲：

①题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？

②要检验饲养员李大叔的估计正确与否，就要求出每头大牛每天所需饲料和

每头小牛每天所需饲料.

③如果设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg,根据你发现的等

日“七「30x+15y=675

量关系，可列方程组4

42x+20y=940.

④能列一元一次方程解这个问题吗？

⑤请你解③中方程组，并交流一下你是如何解的.

⑥饲养员李大叔的估计正确吗？

二、自学

同学们可结合探究提纲相互研讨学习.

三、助学

1.师助生：

（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生的学习进度和自学中存在的问题.

①能否找出等量关系，列出方程和方程组.②能否正确解出方程组.

（2）差异指导：对少数学有困难和学法不当的学生进行点拨引导.

2.生助生：小组内学生相互提出学习疑点，相互帮助.

四、强化

1.列方程组解应用题的基本思路和要注意的问题；列方程组解应用题的一般步骤.

2.练习：某校七年级学生在会议室开会，每排坐12人，则有11人无座位；每排

坐14人，则最后一排只有1人独坐.这间会议室共有座位多少排？该校七年级有

多少学生？

解：设这间会议室共有座位x排，该校七年级有y名学生，根据题意，得

（12x+ll=y,

[14x-13=y.

解得fa

j=155.

答：这间会议室共有座位12排，该校七年级有155名学生.

五、评价

1.学生学习的自我评价：各小组代表介绍本组学习收获和存在的问题.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收效进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本节课的重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际

问题的等量关系建立方程组模型.教学难点是利用相等关系将实际问题转化为数

学问题.教学中，采取了让学生通过独立思考、自主探索、合作交流等方式，在

思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式和良好的学习习惯.

<------------评价作业------------>

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（60分）

1.（20分）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮8个盒身或22个盒底，而一

个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列

方程组为（A）

"+）=190x+j-=190

（2x8.v=22y2x22y=8x

,（2）+x=19（）2y+x=190

（8.v=22v.2x8K=22v

2.（20分）解下列方程组:

2x3y17

产-)=5,①

'15)-1=3”+5危

--y=~-

解:⑴①+②，得4y=11.(2)整理，得

8x+9j=17,①

解得

4\x-3y=-2.@

把y==代入①，

①+②义3,得llx=U.

4

得3x——=5.解得x=l.

4

31

解得”=当.把x=l代入②，得l-3y=-2.

12

・•・这个方程组的解为解得y=L

31

x=­，

12...这个方程组的解为

11

y=--

3.（20分）一支部队第一天行军4h,第二天行军5h,两天共行军98km,且第

一天比第二天少走2km,第一天和第二天行军的平均速度各是多少？

解：设第一天行军的平均速度为xkm/h,第二天行军的平均速度为ykm/h.

4x+5j=98,①

由题意,

4x+2=5j,②

①+②，得8x=96,

解得x=12,

把x=12代入①，得48+5y=98.

解得y=10.

x=lZ

...这个方程组的解为

j=10.

答：第一天行军的平均速度为12km/h,第二天行军的平均速度为10km/h.

二、综合运用（20分）

4.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与

6辆小车一次可以运货35吨.求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

解：设大车一次可以运货x吨，小车一次可以运货y吨.

2x+3y=15.5,①

由题意,

5x+6y=35.②

②-①X2,得x=4.

把x=4代入①，得4X2+3y=15.5.解得y=2.5.

，3x+5y=3X4+5X2.5=24.5.

答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.

三、拓展延伸（20分）

5.某家商店的帐目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元;

另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元.这个记

录是否有误？如果有误，请说明理由.

解：有误，理由：设一支牙刷的价格为x元，一盒牙膏的价格为y元.

39x+21y=39613x+7j=132,

由题意，得

52x+28j=518,13x+7y=129.5.

方程组无解.

.•.这个记录有误.

8.3实际问题与二元一次方程组

第2课时实际问题与二元一次方程组⑵

——探究2

一、导学

1.导入课题:

上节课我们学习了运用方程组解决一些实际问题，这节课我们继续学习建立

二元一次方程组的数学模型解应用题.

2.学习目标：

(1)在对各类应用题的解答过程中，学会构建二元一AE

次方程组的数学模型.

(2)养成自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯.

3.学习重点、难点:运用二元一次方程组解决有关设计的应用题.

4.自学指导

(1)自学内容：课本P99探究2.

(2)自学时间：10分钟.

(3)自学要求：画出示意图，借助图形直观地分析理解题意.

(4)探究提纲：

①这里研究的实际上是长方形的面积的分割问题，你能画出示意图来帮助自

己理解吗？

②把一个长方形分成两个小长方形，有哪些分割方式？若保持宽不变，把长

分成两段(即竖向分割，如上图所示)，左边种植甲种作物，右边种植乙种作物,

设AE=xm,BE=ym.

(a)根据原长方形的长为200m,可列出方程：x+y=200.

(b)因为长方形宽为100m,所以两小长方形面积分别为lOOxm2,IQOytn2,

又因为甲、乙两种作物的单位面积产量比为1：2,所以甲、乙两种作物的总产

量比可表示为100x:200Y,于是再由甲、乙两种作物的总产量比为3：4,列出

方程：万Ox:200y=3：4.

③你能求出由②中（a）、（b）的方程联立组成的方程组的解吗？

④根据求出的结果应如何表述你的种植方案？

⑤你还能设计其他种植方案吗（如右图）？

DC

AB

二、自学

同学们结合探究提纲相互研讨学习.

三、助学

1.师助生：

（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和自学中存在的问题.

①能否顺利表示出甲、乙两种作物的总产量的比.②能否求出方程组的解并

规范作答.

（2）差异指导：对少数学有困难和学法不当的学生进行点拨引导.

2.生助生：小组内学生之间相互交流、研讨、互帮互学.

四、强化

1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤.

2.展示设计出的其他种植方案，并相互交流.

五、评价

1.学生的自我评价：各小组代表介绍本组的学习得与失.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收效进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本课用二元一次方程组解决问题的教学过程充分体现了以学生为主体，让学

生积极参与的教学模式，充分发挥了学生的主动意识.在解决问题过程中学生的

各种解题方法，扩大了学生的思维能力，通过让学生体验解题的技巧，从而树立

了学生学习的信心，激发了学生学习的积极性，让学生真正成为课堂的主人.

4--------------------------评价作业-------------->

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（60分）

1.（20分）如图，AB_LBC,NABD的度数比NDBC的度数的2倍少15°,

设NABD与NDBC的度数分别为、y。。根据题意，下列的方程组正确的是

（B）

A(x+y=26B(x+y)=26

1%-1=y+2lx-1=y+2

(26-x=y(x+y=13

C.{」_D,{

(x+1=y-2(%+1=y-2

3.(20分)如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成,

则每个小长方形的长和宽分别是多少？

解：设每个小长方形的宽为xcm,长为ycm.

4x=①

观察图形，得

x+y=50.②

把①代入②，得x+4x=50.解得x=10.

把x=10代入①，得y=40.

...这个方程组的解为=

[y=40.

答：每个小长形的长为40cm,宽为10cm.

二、综合运用（20分）

4.如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，己知演员身高是高跷长度的2倍,

高跷与腿重合部分的长度为28cm

为224cm.设演员的身高为尤cmycm