八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案

八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案

一.选择题

1.下列命题正确的是（）

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

2.菱形有一个内角是120。，且较短的对角线长为6c773则菱形的边长为（）

A.6cmB.2-5/3c/nC.D.\2cm

3.若菱形A8CD的周长是12,ZBCD=60°,那么这个菱形的对角线8。的长是（

A.473B.2A/3C.3D.4

4.如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，4点坐标为（8,0）,ZAOC=60°,

则对角线交点E的坐标为（）

5.如图，四边形ABCD为菱形，A,8两点的坐标分别是（-蓊，2）,（-1,-V3）.对角线相交于点

O,则点C的坐标为（）

6.小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示能够活动的菱形学具，并测得/B=60°,AC=f)cm9接

着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）

7.如图，△A8C中，DE//BC,EF//AB,要判定四边形08五E是菱形，还需要添加的条件可以是（)

A.AB=ACB.AD=BDC.BE平分/48CD.BELAC

8.如图，在△ABC中，点。、E、F分别在边AB、BC、CA±,且OE〃C4,DF//BA.

下列四种说法：①四边形AEZJF是平行四边形：②如果NBAC=90°,那么四边形AEZ邛是矩形；③如

果AD平分N84C,那么四边形尸是菱形；

④如果ACBC且A8=AC,那么四边形AEQF是菱形.其中，正确的有（）个

9.如图，在菱形ABCO中，ND4B=45°,DE，8c于点E,交对角线AC于点尸，过点尸作PFLC。于

点F.若APDF的周长为8.则菱形ABCD的面积为（）

A.16B.16&C.32D.32&

10.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF,AE=BC.若AB=2,BC

=6,则图中重叠（阴影）部分的面积为（）

A.此B.275C.皎D.A/12

33

11.如图，在菱形ABCQ中，ZB=60°.△4£：/的两顶点E,尸分别落在边BC,CD上.从给出的四个条

件中任选一个：①/E4尸=60°；②/AE广=60°；③AE=A凡®EA=EF,能够推出为等边三

角形的有（）

A.①②B.②④C.①②④D.①③④

12.已知菱形。48c在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5,0),。8=4遥，点P是对角线上

的一个动点，D(0,1),当CP+DP最短时，点P的坐标为()

A.(0,0)B.(1,2)C(1D.

2

二.填空题

13.已知菱形ABCO中，对角线AC与交于点O,NBAO=120°,AC=4,则该菱形的面积是.

C

14.如图，在NMON的两边上分别截取04、08,使0A=08；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧,

两弧交于点C；连接AC、BC、A8、OC.若AB=2cm,四边形OACB的面积为业苏.则OC的长为cm.

15.如图，在边长为2的菱形ABCC中，NB=45°,AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得

△ABiE,则AABiE与四边形AECO重叠部分的面积是.

16.如图，菱形ABCO的周长为40,P是对角线BO上一点，分别作P点到直线AB、的垂线段PE、PF,

若PE+PF=8,则菱形ABCD的面积为

17.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、4c的中点，要使四边形EFGH是菱

形，四边形4BCQ还应满足的一个条件是

三.解答题

18.如图，菱形A8CD的对角线AC、BO相交于点0,过点力作力E〃4C且£>E=OC,连接CE、0E,连

接AE交。。于点尸.

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形ABC/)的边长为6,N4BC=60°,求AE的长.

19.如图，团ABCD的对角线4C、8力相交于点0,BD=12cm,4c=6加，点E在线段8。上从点8以\cmls

的速度向点。运动，点尸在线段0D上从点。以2cmls的速度向点。运动.

(1)若点E、尸同时运动，设运动时间为f秒，当f为何值时，四边形AEC尸是平行四边形.

(2)在(1)的条件下，当4B为何值时，回AEC尸是菱形；

(3)求(2)中菱形AEC尸的面积.

20.已知：如图，在团ABCD中，对角线AC、BO相交于点。，点G、，分别是AD、BC的中点，点E、0、

F分别是对角线8。上的四等分点，顺次连接G、E、H、F.

(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；

(2)若四边形GE//F是菱形.

①线段4B和有何位置关系？请说明理由.

②若AB=2,8D=2AB时，求四边形GE/""的面积.

AGD

上

BHC

21.如图，在四边形48CD中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,交于点0,4C平分NBA。，过点C

作CELAB交AB延长线于点E,连接。£

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若0E=2j§,ZDAB=60a,求四边形ABCD的面积.

2___________c

BE

22.如图，在RtZsABC中，ZACB=90Q,过点C的直线。为48边上一点，过点。作£>E_L

BC,交直线MN于E,垂足为凡连接C。、BE.

(1)求证：CE=AD；

(2)当。在AB中点时，四边形BEC。是什么特殊四边形？说明你的理由

Mg£N

7W

23.菱形ABC。中，NB=60°,点E在边8c上，点F在边CD上.

(1)如图1,若E是BC的中点，ZAEF=60°,求证：BE=DF；

(2)如图2,若/E4尸=60°,求证：是等边三角形.

ADAD

BECBEC

图1图2

24.如图，平行四边形ABC£>中，ABLAC,AB=\,BC=45-对角线AC,BD相交于点0,将直线AC

绕点。顺时针旋转，分别交BC,AO于点E,F.

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形4BEF是平行四边形；

(2)试说明在旋转过程中，线段4F与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形BE。尸可能是菱形吗？如果不能，请说明理由;如果能，说明理由并求出此

时AC绕点。顺时针旋转的度数.

参考答案与解析

一.选择题

1.解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；

8、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；

C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原命题是假命题；

。、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；

故选：D.

2.解：：四边形A8CD是菱形；

J.AD//BC-,

:菱形的一个内角为120°；

；.NB=180°-120°=60°；

又；菱形的边AB=2C；

.•.△ABC是等边三角形；

，8C=AC=6(cm)；

故选：A.

3.解：:四边形A3CO是菱形，是对角线;

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC；

'：ZBCD=60°；

・•・△BCD是等边三角形；

：.CB=BD=CD；

・・•菱形A3。的周长是12；

：.CB=3；

：.BD=3；

故选：C.

4.解：过点E作ERLx轴于点尸;

;四边形0ABe为菱形，ZAOC=60°；

ZAOE=—ZAOC=30°,ZME=60°；

2

VA(8,0)；

・\OA=8；

.'.AE=—AO=4；

2

22

-'>AF=^AE=2,EF=VAE-AF=742-22=2\/3;

AOF=AO-AF=S-2=6；

(6,2V3)：

故选：D.

5.解：：四边形ABC。是菱形；

."O=CO,BO=DO；

•••A,B两点的坐标分别是(-蓊，2),(-1,-V3);

.•.点C(2愿，-2),点。(1,M)；

故选反

6.解：如图1,图2中，连接4c.

图1图2

图1中，•..四边形ABC。是菱形；

：.AB=BC；

・・・/8=60°；

:•△ABC是等边三角形；

.\AB=BC=AC=6cm；

在图2中，:四边形A8CO是正方形；

：.AB=BC,NB=90°；

・・・△ABC是等腰直角三角形；

AC=—6^2cm；

故选：C.

7.解：当5E平分N4?。时，四边形O8FE是菱形;

理由：VDE//BC；

：.ZDEB=ZEBC；

■:NEBC=/EBD；

：.ZEBD=ZDEB；

：.BD=DE；

,:DE〃BC,EF//AB；

・•・四边形DBFE是平行四边形；

■:BD=DE；

・・・四边形DBFE是菱形.

其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形;

故选：C.

8.解：*：DE//CA,DF//BA；

・・・四边形4ED尸是平行四边形，选项①正确;

若NBAC=90°；

・•・平行四边形4EQ尸为矩形，选项②正确；

若AO平分N84C；

：.ZEAD=ZFAD；

5LDE//CA,：.ZEDA=ZFAD-,

:.NEAD=NEDA；

：.AE=DE；

.♦•平行四边形AEQF为菱形，选项③正确；

若AB=AC,ADLBCi

.•.A£>平分NBAC；

同理可得平行四边形AED尸为菱形，选项④正确；

则其中正确的个数有4个.

故选：D.

9.解：•••四边形ABCD是菱形；

：.BC=CD,NBCD=NBAD,ZACB=ZACD,AD//BC；

.,.ZBAD+ZB=180°；

"：ZDAB=45°；

.,./BC£)=Na4O=45°；

VDE±BC；

...△CQE是等腰直角三角形；

/.ZCDE=45°,CD=®DE；

\'PF±CD；

••.△OPF是等腰直角三角形；

：.PF=DF,PD=®PF；

设PF=DF=x,则PD=®x；

;△P。尸的周长为8；

；.x+x+V^x=8；

解得：x=8-4A/25

VZACB^ZACD,DEIBC,PFLCD-,

：.PE=PF=x；

:・DE=x+®*=(1+V2)X(8-472)=4&；

：.BC=CD=42DE=S；

菱形ABC。的面积=8CX£)E=8X4圾=32加；

故选：D.

10.解：设BC交AE于G,AO交CF于4,如图所示：

•.•四边形4BC。、四边形AEC尸是全等的矩形；

：.\B=CE,ZB=ZE=90°,AD//BC,AE//CF；

/.四边形AGCH是平行四边形；

在△ABG和ACEG中；

，ZB=ZE

，NAGB=/CGE；

AB=CE

:.△ABG9XCEG(A45)；

：.AG=CGx

四边形AGC”是菱形；

设AG=CG=x,则8G=8C-CG=6-x；

在RtZXABG中，由勾股定理得：22+(6-%)2-?；

解得：尸独；

3

二菱形AGCH的面积=CGXAB=』^X2=2^；

33

即图中重叠(阴影)部分的面积为致；

3

11.解：①/EAF=60。；

•..四边形ABC。是菱形;

：.AB=BC,AB//CD；

连接AC；

VZB=60°；

AZ£CF=Z180°-ZB=120°:

...△ABC为等边三角形；

：.AB±CAfZACB=ZBAC=6^°；

：.ZACF=ZECF-Z£CA=120°-60°=60°；

VZEAF=60°；

：.ZEAF-ZEAC=ZBAC-NE4G

：・NCAF=NBAE；

在△ABE和△AC/中；

2B=NACF

,AB=AC；

ZBAE=ZCAF

A/XABE^AACF(ASA)；

：.AE=AF；

\*AE=AFf/EAF=60°；

ZAEF=ZAFE=180°~60°=60°；

2

...可以推出结论，△4EF为等边三角形；

②/AEF=60°:

作EG〃AB交4c于点G,如图3所示：

则NGEC=NB=60°；

:四边形ABC。是菱形；

：.AB=BC=CD=DA,ZD=ZB=60°,ZACB=ZACD；

.♦.△ABC是等边三角形，ZBCF=120°；

AZACB=60°；

.•./AC8=NGEC=60°:

...△GEC是等边三角形；

：.EG=EC,Z£GC=60°；

/EGA=120°；

VZAEF=60°=NGEC；

,,.Z1=Z2；

在△4EG和△FEC中；

'N1=N2

>EG=EC；

ZEGA=ZECF=120°

AAAEG^AFEC(ASA)；

：.AE=EF-,

VZA£F=60°；

...△AEF为等边三角形.

③条件太少，不能推出尸为等边三角形；

如图，过点E作EN，C£>,交。C的延长线于点M在A8匕截取8H=BE,连接防，过点A作AM,

EH,交E”的延长线于点M；

:BH=BE,ZB=60°；

是等边三角形；

；・NBHE=/B=60°=NAHM；

'：AB=BC,BH=BE；

:.AH=EC；

又,；NM=NN=90°,NAHM=NECN=60°；

:.LAHM冬AECN(AAS)；

:.AM=EN；

又；AE=EF；

.,.RtAAEM^RtAEFN(HL)；

：.NAEM=4EFN；

：.NAEM+NCEF=ZEFN+CEF=NECN=60°；

/.Z/lEF=60o；

又：AE=EF；

...△AE尸是等边三角形；

故选：C.

12.解：如图连接AC,AD,分别交08于G、P,作BK_LOA于K.

•..四边形043c是菱形；

：.AC1,OB,GC=AG,0G=BG=2娓,A、C关于直线08对称;

，PC+PD=PA+PD=DA；

,此时PC+P£＞最短；

在RtAAOG中，AG=JOA2_0G2=yl52-(245)2=遥；

，AC=2遥；

；OA・BK=1・AC・O2；

2

：.BK=4,AK={AB2-BK2=3；

二点8坐标(8,4)；

二直线08解析式为丫=上.直线4。解析式为夕=-Lx+1；

25

_110

y=yxx-y

由，1解得＜

.5

y=-rx+i

0y~7

...点p坐标（蛇，$）.

77

故选：D.

二.填空题

13.解：•.•四边形ABCQ是菱形;

J.ACLBD,OA=OC=2AC=LX4=2,ZBAC=—ZBAD=^X120°=60°；

2222

；.AC=4,ZAOB=90°；

...乙48。=30°；

.♦.48=204=4,08=2我；

，8。=208=4收；

,该菱形的面积是：a4小80=94义4y=8历

故答案为：873.

14.解：根据作图，AC=BC=OA；

'：OA=OB；

：.OA=OB=BC=AC；

四边形OACB是菱形；

\'AB=2cm,四边形OACB的面积为4a£

.•工8・OC=』X2XOC=4；

22

解得0C=4a%.

故答案为：4.

15.解：如图，设CD与AB1交于点O；

・・•在边长为2的菱形A8CD中，ZB=45°,AE为边上的高;

；.AE=&；

由折叠易得△ABBi为等腰直角三角形；

.".SMBB\——BA,AB\—2,S^ABE—1；

2

:.CBi=2BE-BC=2®-2；

；.NOCBi=NB=45°；

又由折叠的性质知，ZBi=ZB=45°；

：.CO=OB\=2-&.

：.S^COB\=—OC-OB\=3-2&；

2

,重叠部分的面积为：2-1-(3-2A/2)=242-2.

•..四边形A8C。是菱形；

：.AB=AD-,

♦.•菱形ABC。的周长为40；

：.AB=AD=Wx

PELAB,PFLAD-,

；•菱形ABCD的面积=2SAABO=2X(S^ABP+SAADP)=2(AxiOPE+Ax1OPF)=10(PE+PF)=10

22

X8=8O；

,:EH、G尸分别是△ABC、△BCD的中位线；

：.EH//=^BC,GF//=Age；

22

:.EH"=GF；

：.四边形EFGH是平行四边形.

要使四边形EFG”是菱形，则要使AO=8C,这样，GH=1AD；

2

:.GH=GF；

四边形EFG〃是菱形.

三.解答题

18.(1)证明：•..四边形A8CO是菱形，DE=^AC；

2

：.ACLBD,DE=OC.

'：DE//AC-,

：.四边形OCED是平行四边形；

,JACVBD,四边形OCED是平行四边形；

二四边形OCE。是矩形；

:.OE=CD.

(2)解：*.•菱形ABC。的边长为6；

：.AB=BC=CD=AD=6,BD1AC,AO=CO=-^AC.

2

VZABC=6Qa,AB=BC；

•**/\ABC是等边三角形；

.\AC=AB=6；

:△AO。中3O_LAC,AD=6,AO=3；

0D=22

VAD-AO=3代；

:四边形OCE£＞是矩形；

：.CE=OD=3y/3；

•.•在RtZviCE中，AC=6,CE=3«：

:AE=22

-VAC-K:E=Ve2+(3V3)2=3v7•

19.解：(1)若四边形4EC尸为平行四边形；

，AO=OC,EO=OF；

•；四边形ABCD为平行四边形；

:・BO=OD=6cm、

：.E0=6-tf0F=2t；

・・・6-t=2t；

・'・l=2s；

...当，为2秒时，四边形AECF是平行四边形;

(2)若四边形AEC尸是菱形；

J.ACLBD-,

：.AO2+BO2=AB2；

22

•'-AB-^g+3=35/5;

...当AB为3遥时，EL4ECF是菱形；

(3):四边形AECF是菱形：

：.BOLAC,OE=OF；

•：四边形ABCD是平行四边形；

：.BO=OD；

：.BE=DF；

.•./=6-2r；

r=2；

.BE=DF=2；

：.EF=S；

菱形AECF的面积=LAC・EF=LX6X8=24.

22

20.证明：(1)•..四边形A8co是平行四边形；

：.OA=OC,OB=OD.

V£,0,F分别是对角线8。上的四等分点;

：.E,尸分别为。8,0。的中点；

；G是AO的中点；

；.GF为△AOD的中位线；

：.GF//OA,GF=—OA；

2

同理EH〃OC,EH=』OC；

2

:.EH//GF,EH=GF；

...四边形GEHF是平行四边形；

(2)①ABLBO,理由如下：

如图，连接GH；

：.AD=BC,AD//BC；

•.•点G、H分别是A£＞、8c的中点;

：.AG^—AD,BH=LBC；

22

...四边形AGHB是平行四边形；

C.AB//HG-.

•.•四边形GEHF是菱形;

:.GHLEF；

J.ABVEF,BPABA.BD；

@'：AB=2,BD=2AB-,

：.BD=4-,

•.•点E、。、F分别是对角线8。上的四等分点；

：.EO=OF^\-,

:.EF=2；

•••四边形AGHB是平行四边形；

，GH=AB=2；

••,四边形GEHF是菱形；

四边形GEHF的面积=2XEFXGH=^X2X2=2.

22

21.(1)证明：•:AB//CD；

：.ZACD=NBAC；

：AC平分/BAD；

，ZBAC=ZDAC；

C.AD^CD-,

\'AB=AD；

：.AB=CD；

'JAB//CD；

/.四边形ABCD是平行四边形；

：AB=A。；

•••平行四边形A8CQ是菱形；

(2)解：由(1)可知，四边形ABC。是菱形：

J.AC