2023年中考数学锐角三角函数必背知识含（公式、定理、结论图表）

2023年中考数学锐角三角函数必背知识含（公式、定理、结论图表）

知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）

1、思维导图

考点一、锐角三角踊的出念

如图斫示，在RtAABC中，NC=9Q°，NA所对的边BC记为a,叫做NA的对边，也叫做NB的邻边,

NB所对的边AC记为b.叫做NB的对边，也是NA的邻边，直角C所对的边AB

记为c,叫做斜边.

乙4的对边

锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA，即sinH

锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作COSA，即85匹=乙鬻边=1

科）2c

乙#1对边_g

锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA，IDtan,4=

上我邻边=3

噌警上cos"绯黑，；"黑"

同理sin3

斜边c斜边cZB的邻迈a

要点诠释：

（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的

比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.

⑵sinA，cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成51n•』，8s•4，

t3n,月，不能理解成sin与NA,cos与NA,tan与NA的乘积.书写时习惯上省略NA的角的记号“N”，

但对三个大写字母表示成的角（如NAEF），其正切应写成“tan/AEF"，不能写成“tanAEF"；另外，（811//、

（cos4）2、（tan⑷/写成sin?4、cod/、tan，.

⑶任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.

（4）由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<ZA<90°之间变化时，0<sin4<l，0<cos>4<1，tanA>0.

典例1：（2022•扬州）在△H3C中，ZC=90°.0、八c分另"为Nd、N5、NC的对边，若星=ac，则sinJ

的值为^11..

【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可.

t解答】解：在A13C中，ZC=90°，

••・/=热点，

•：0=ac，

••c*=ci^ac，

等式两边同时除以也得：

£=AH,

ac

令生=*则有>l=x+l，

cx

・・・-―i=0，

解得：刈=近二1,土区（舍去）,

22

当、=近2时，》0，

2

.•*=《！是原分式方程的解，

2

■,•sm.4=—=

c2

故答案为：近二1.

2

【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练室提勾股定理和锐角三角困额的定义是解答本题的关键.

（1）通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90。角的各三角函数值，它的另一个应用就是：

如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若sin9=玄，则锐角8=45°.

2

（2）仔细研究表中数值的规律会发现：

sin0°、sin30°、sin45*、sin&T、sin90°的值依次为0、由、遐、在、1，而cos0°、cos30*、

222

cos45*'cos60*、8s90。的值的顺序正好相反，tan30*、tan45*、tan60°的值依次增大，其变化规律

可以总结为：

当角度在0°</A<90°之间变化时，

①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或咸小）

②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而臧小（或增大）.

典例2：（2022•天津）tan45。的值等于（）

A.2B.1C・返D.近

23

【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【解答】解：tan450的值等于1，

故选：B.

1点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练茎握特殊角的三角函数值是18题的关键.

考点三、锐角三角•之间的关系

如图斯示，在RtAABC中，ZC=90°.

(1)互余关系：$in4=cos(90°-4)=cosB,cosA=sin(90<>-ZL4)=sinB

⑵平方关系：si-4+cos3/=1；

1

⑶倒数关系：^加/日初。09—乙4）=［或=高了；

（4）商数关系：cos4.

要击诠暮：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角图数的计算中，计算

时巧用这些关系式可使运尊简便.

考点四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在RtZkABC中，Zc=90°，NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：@2+匕k（勾股定理）.

②锐角之间的关系：NA+NB=90°.

⑤边角之间的关系：

..a.b.a

sinJ4=—COS/=—tanA=—

c，c，b,

sin5=-cos8=色tan5=—

c，c,a.

Sgc——<ib=-ch

®22,h为斜边上的高.

要点诠释：

（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90。），是已知的值.

（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.

（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直妮地理解.

考垃i、解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形翘已知条件解法步骤

由tan2=3求NA，

b

两直角边（a,b）ZB=90°-ZA，

c~qj+b2

两

边由sin4=g"求NA，

c

斜边，一直角边（如c，a）ZB=90°-NA，

RtAAK

b=42

B

ZB=90°-NA，

锐角、邻边

b

（如NA,b）c=-----

——-------'Ca=6tanA,cosA

Q一直角边

和一锐角

边ZR=90°-八，

锐角、对边

a.a

（如NA,a）c=----b=-----

sinA,tanA

角

ZB=90°-NA，

斜边、锐角（如C，ZA）

a=csinA,b=ccosA

要点诠释:

1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是

已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角'再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

典例3：(2022•丹东)如图，是。。的直径，点£在0。上，连接.”和班，BC平分NW3E交0。于

点C，过点C作CD_L3E，交3E的延长线于点。，连接CE.

(1)清判断直线CD与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若sinNECD=《，C£=5>求。。的半径.

5

【分析】(1)结论：CZ)是。。的切线，证明OC±CD即可；

(2)设OH=OC=r，设Wff交。C于点J.证明四边形CDE；是矩形，推出CZ>=E7=4,CJ=DE=3>

再利用勾股定理构建方程求解.

【解答】解：(1)结论：CQ是。。的切线.

理由：连接

，：OC=OB，

•••乙OCB=ZOBC，

"BC平分Nas。，

Z05C-NCBE，

...Z0C5="BE，

^OC//BD>

■:CDLBD、

••-CD±OC，

•JOC是半径，

•••CO是。。的切线；

(2)设。H=OC=r,设££交。C于点J.

是直径，

•••Z.l£5=900，

­.'OCA.DC，CD'DB，

AZD=ZZ>CJ=ZD£7=90°，

二四边形CDE7是矩形，

AZCJE=90°，CD=EJ»CJ=DE,

•••0C•L5

:.AJ=EJ»

1"£8=迈=3,CE=5>

CE5

:.DE=3、8=4，

■'：4J=EJ=CD=4>CJ=DE=3,

在RiA。。中，»=(r-3):+42.

*.*7r-_.2...5.,

6

【点评】本题考查SJg直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型

考点六、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数里关系

化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几

何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问

题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边'角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展:

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念:

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示.

I=-=tana

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离/的比叫做坡度，用字母J表示，则/，如图,

坡度通常写成J=%:/的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，

如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向

PA,PB>PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

①

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标

方向线OA,OB，OC>OD的方向角分别表示北偏东3。°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：

东南方向指的是南偏东45。，东北方向指的是北偏东45。，西南方向指的是南偏西45。，西北方向指的是

北偏西45°.

要点诠释：

1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画

出它的示意图.

2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当弓I辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

例如：

3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，

进而根据条件选择合适的方法求解.

典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300

米，此时小明看山顶的角度为60。，山高为（）米

A.600-250/5B.600V3-250C.3处350百D.500向

【分析】设E尸=5x米，根据坡度的概念用x表示出3尸，根据勾股定理求出x,根据正切的定义列出方

程，解方程得到答案.

【解答】解：设£F=5x米，

•.•斜坡3m的坡度为5：12，

二万斤=12x米,

由勾股定理得：（5x）4（12x）:=（1300）2>

解得：x=100»

则EF=500米，8斤=1200米，

由题意可知，四边形QCKE为矩形，

二次，=昉=500米，DE=CF，

在RtA.W£中，tanNAED=—,

DE

则DE=_=旦AD，

tan603

在RiA4c3中，tan4MC=费，

.500+ADy/2

1200^-AD2

J

解得：ao=600百-750，

二山高.4C=.4ZW)C=600V^-750+500=(600^-250)米，

故选：B.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，室握坡度是坡面的铅直高

典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物.4点处测得乙建筑物。点的俯角a为45°，C

点的俯角R为58。，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度8为6力，则甲建前物的高度

.■13为16ni.

(sin58°八0.85,cos580*053,tan58°*1.60,结果保留整数).

t分析】过点。作DEL3于点E，则3m=8=6加，Z.1D£=45°，N」C3=58°，在RtAlDW中，

Z.1D£=45°，设一lErm，贝i]DE=x””BC=xm，,iB=.iE^BE=（6+a）m，在RtAdBC中，tan乙4C3

=tan580=仪01*1.«），解得x=10,进而可得出答案.

BCx

t解答】解：过点。作DEL13于点W，如图.

BC

贝I]3E=CD=6TW，4IDE=45°，ZjC3=58°，

在RiZUTM中，NADE=45°，

设.4£=工冽，贝IIQEN.XTW,

••BC=xm，AB=AE+BE=(6+x)w，

在RiA.45C中，

tanZ-4CS=tan5So=基金1刃.60,

BCx

解得x=10，

••A3~16tn・

故答案为：16-

t点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练革提锐角三角函数的定义是解答本题的关键

典例6：（2022•资阳）小明学了《解百角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地则里.如图

斫示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100五米后到达

点。，此时刻得点八在他的东北方向上，端点3在他的北偏西60°方向上，（点d、3、C、。在同一平面

内）

（1）求点。与点X的距离；

（2）求隧道.”的长度.（结果保留粮号）

BA

t分析】（1）根据方位角图，易知448=60°，NADC=90°，j^RtAtDC即可求解；

（2）过点。作QE_Laa于点E.分别解RtAdDE，求出HE和8E，即可求出隧道.45的长.

t解答】解；（1）由题意可知：ZJCD=150+45。=60。，Z.4Z）C=180°-45°-45°=90。，

在RiA.-LDC中，

■,■AD=DCXtanZACD=100/3Xtan60*=10073xV3=300（米），

答：点。与点.4的距离为300米.

（2）过点。作0EL13于点£，

北

B

,•.iB是东西走向，

­,■Z.<D£=45°，Z5D£=60°，

在RtAlDE中，

•'-DE=AE=ADXsinZADE=300Xsin45,=300殍=150祗<*>>

在RiABDE中，

••■BE=DEXtanZBDE=150/2Xtan60*=15（V2X</3=15oV6（米），

•,■AB=AE+BE=（15（h/2+150V6）（米卜

答：隧道£8的长为（15西+150遍）米.

I点评】本题考查了露直角三角形的应用一方向角问题，茎握方向角的概念，基提特殊角的三角函数值

是解题的关键.

考点七、解直角三角形相关敬识

如图所示，在RtZiABC中，ZC=90°，

(1)三边之间的关系：a:+b2=c:i

(2)两锐角之间的关系：ZA+ZB=90°；

(3)边与角之间的关系：sinJ=cosB=—，cosJ=cos3=—，cos^4=sin5=—>tanJ=—=--—

btanB

(4)如图，若直角二角形ABC中，CDJLAB于点D，设CD=h，AD=q,DB=p，则

由△CBDSAAK：，得a=pc；

由△CADsAB尤，得b=qc；

由△ACDSACBD，ffh=pq；

由△ACDs2\AK：或由△ABC面积，得ab=ch.