2021年中考数学 二轮汇编：等腰三角形（含答案）

2021中考数学二轮专题汇编：等腰三角形

一、选择题

1.如图，等边三角形ABC中,AO_LBC,垂足为。，点E在线段AO上，NEBC=45°,

则NACE等于（）

A.150B.300C.45°D.60°

2.如KI9-6,BD是△ABC的角平分线，AELBD,垂足为E若NABC=35。，Z

C=50°,则NCDE的度数为（）

EC

A.350B.40°C.450D.5O0

3.如图，ZAOB=50°,OM平分NAOB,MA_LOA于点A,于点8,则

NMAB等于（）

4.（2019•广西）如图，在AABC中，AC=BC,ZA=40°,观察图中尺规作图的痕

迹，可知NBCG的度数为

A.40°B.45°C.50°D.60°

5.（202。玉林）如图，A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35。方向，

8岛在A岛的北偏东80。方向，C岛在8岛的北偏西55。方向，则A,B,C三岛

组成一个（）

北*

小

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形

6.（2020・绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中,ZABC=90°,BA=BC,将8c

绕点8顺时针旋转0（0。<0<90。），得到BP,连结CP,过点A作AHJ_CP交

CP的延长线于点"，连结AP,则NRV7的度数（）

A.随着0的增大而增大B.随着0的增大而减小C.不变D.随着。的增大,

先增大后减小

7.如图在AABC中，AB=AC,BC=12,E为AC边的中点，线段BE的垂直

平分线交边BC于点。.设tan/AC8=y,则（）

A.x-/=3B.2x-/=9

C.3x一尸=15D.4x一尸=21

8.（202。烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数

学活动课上，小明用边长为Acm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设

计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5c加2的是（）

A.B.C.D.

二、填空题

9.若等腰三角形的顶角为120。，腰长为2cm,则它的底边长为

10.（2020•襄阳）如图，在△ABC中，AB=AD=DC,ZBAD=20°,则NC=

11.如图，AD是AABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出4ABC

是等腰三角形的是.（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①/BAD=NACD②NBAD=NCAD

（3）AB+BD=AC+CD④AB—BD=AC—CD

12.（2020.营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6,AD±BC,垂足为点

。，点£和点F分别是线段AO和4?上的两个动点，连接CE,EF,则CE+EE

的最小值为.

13.如图，80平分NCSA,CO平分NACB,MN过点、。且MN〃BC,设AB=12,

AC=18,则AAMN的周长为.

14.一个等腰三角形的一边长是2,一个外角是120。，则它的周长是.

15.(2019・哈尔滨)在八钻。中，ZA=50。，"=30。，点。在A3边上，连接CO,

若△ACO为直角三角形，则NBCD的度数为.

16.(202。聊城)如图，在直角坐标系中，点A(l,1),8(3,3)是第一象限角平

分线上的两点，点C的纵坐标为1,且C4=CB,在y轴上取一点。，连接AC,

BC,AD,BD,使得四边形AC3O的周长最小，这个最小周长的值为.

17.如图，在△ABC中,AB=AC,于点D

⑴若NC=42。，求NBA。的度数；

(2)若点E在边A3上，EF//ACAD的延长线于点E求证:

18.已知：如图，B,E,F,C四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,ZB

=NC.求证：OA=OD.

AD

BE

19.如图，在△ABC中，AO是边上的中线，E是AB边上一点，过点。作

CF//AB交ED的延长线于点F.

(1)求证:△BDE出ACDF;

(2)当AO_L3C,AE=\,CF=2时，求AC的长.

20.如图，在△A8C中，CO是45边上的高，BE是AC边上的中线，KBD=CE.

求证:(1)点。在8E的垂直平分线上；

⑵/BEC=3/ABE.

21.如图，在四边形A3CO中，ND48=NABC=90。，AB=BC,E是A8的中点,

CELBD,连接AC交。E于点M.

⑴求证：AD=BE；

(2)求证：AC是线段EO的垂直平分线;

◎)△OBC是等腰三角形吗？说明理由.

22.如图，已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),

PE是^ABP的外接圆。0的直径.

(1)求证：△APE是等腰直角三角形；

(2)若。0的直径为2,求PC2+PB2的值.

23.(1)如图①，在四边形A3C。中，AB〃OC,点£是3c的中点，若AE是NBA。

的平分线，试判断AB,AD,。。之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证

FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD,。。转化在一个三角形中即可判断.

AB,AD,0c之间的等量关系为;

(2)问题探究:如图②，在四边形ABC。中，AB//CD,A/与。C的延长线交于点

R点E是BC的中点，若AE是的平分线，试探究AB,AF,CF之间的

等量关系，并证明你的结论.

24.如图，在△ABC中，AB=AC=

5cm,BC=6cm,AO是边上的高.点尸由C出发沿CA方向匀速运动.速

度为1cm/s.同时，直线£尸由3c出发沿D4方向匀速运动，速度为1cm/s,E^/BC,

并且EE分别交AB、A。、AC于点E,Q,F,连接PQ.若设运动时间为r(s)(OVf

<4),解答下列问题:

⑴当f为何值时，四边形是平行四边形？

(2)设四边形QDCP的面积为y(cm，求出y与，之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻3使点。在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时

点F到直线尸。的距离加若不存在，请说明理由.

2021中考数学二轮专题汇编：等腰三角形•答案

一、选择题

1.【答案】A［解析「.'△ABC是等边三角形，

，ZABC=ZACB=60°,

'：ADA.BC,

：.BD=CD,A。是的垂直平分线，

ABE=CE,:.NEBC=/ECB=45°,

.,.ZEC4=60o-45°=15°.

2.【答案】C［解析］因为BD平分NABC,AELBD,BF=BF,所以△ABF出AEBF,

易得8。是线段AE的垂直平分线，NBAF=NBEF,所以4。=矶＞,所以=

ZDAE,所以NBAD=/BED=180°-35o-50o=95°,

所以/CDE=NBED-ZC=95°-50°=45°,

故选C.

3.【答案】C［解析］:0M平分NAOB,MALOA于点A,MB_LOB于点B,

二ZAOM=/BOM=25°,MA=MB.，NOMA=NOMB=65°.二NAMB=130°.

ZMAB=|x(180°-l30。)=25°.故选C.

4.【答案】C

【解析】由作法得CG_LAB,•.•45=AC,，CG平分ZACB,ZA=ZB,

VZACB=180°-40°-40°=100°,/.ZBCG=-ZACB=50°.故选C.

2一

5.【答案】A

【解析】如图所示:

CC岛在A岛的北偏东35。方向，：.ZCAD=35°,

•.•3岛在A岛的北偏东80。方向，：.ZBAD=S0°,：.ZCAB=ZBAD-ZCAD=

45°,

丁。岛在5岛北偏西55。方向,：.ZCBE=55°,

%：Dk//EB,

：.ZABE+ZBAD=\SQ°,：.ZABE=100°,

VZCBE=55°,/.ZCBA=100°-55°=45°,：.ZCBA=ZCAB,：.CA=CB,

在△ABC中，/.ZC=180°-Z/lBC-ZG4B=180o-45o-45o=90°,/.AABC

为等腰直角三角形，故选：C.

6.【答案】C

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质.由旋转

得BC=BP=BA,.•.△BCP和4ABP均是等腰三角形.在4BCP中，NCBP=0,

BC=BP,.•.NBPC=90°-；0.在4ABP中，NABP=90°-0,同理得NAPB=45°+g。，

AZAPC=ZBPC+ZAPB=135°,又;NAHC=90°,ZPAH=45°,即其度数是

个定值，不变.因此本题选C.

7.【答案】B【解析】连接DE,过点A作AF1BC,垂足为F,过E作EG1BC,

垂足为G：AB=AC,AF±BC,BC=12,，BF=FC=6,又是AC的中点,

1EG

，〃•..在中，相〃

EGLBC,EGAF,.•.CG=FG=TzTCF=3,RdCEGC=cRu,.'.EG

=CGxs〃C=3y；，DG=BF+FG—BD=6+3-x=9-x,VHD是BE的垂直

平分线，，BD=DE=x,•.•在RdEGD中，由勾股定理得，ED2=DG2+EG2,

.,.x2=(9—x)2+(3y)2,化简整理得，2x—y2=9.

8.【答案】最小的等腰直角三角形的面积=：*；*42=1(0"2),平行四边形面积

为2cm2,中等的等腰直角三角形的面积为2cM,最大的等腰直角三角形的面积

为4cm2，则

A、阴影部分的面积为2+2=4(cm2),不符合题意;

B、阴影部分的面积为1+2=3(c〃?2),不符合题意;

C、阴影部分的面积为4+2=6(cm2),不符合题意;

。、阴影部分的面积为4+1=5Cem2),符合题意.

故选：D.

二、填空题

9.【答案】【解析】如解图，由已知得，ZB=ZC=|(180°-120°)=30°,

AB=2,，底边长为：BC=2BD=2ABcos30°=2S(。〃).

10.【答案】40.

【解析］\"AB=AD=DC,：.ZABD=ZADB,ZDAC=ZC.：NBA。=20。,

1Q()o_nnoi

/.ZADB=—_—=80°.又•.•NAOB=NOAC+NC,：.ZC=-ZADB=

22

40°.故答案为40.

11.【答案】②③④【解析】

序号正误逐项分析

△BAD与aACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的

①X角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB=

AC

NBAD=NCAD结合AD是^ABC的边BC上的高，可得NB=

②V

NC,所以AB=AC,因而aABC是等腰三角形

由于AD是4ABC的边BC上的高，所以NADB=NADC=90°,

因而AB2-BD2=AC2-CD2,于是(AB+BD)(AB—BD)=(AC+

③VCD)(AC-CD),由AB+BD=AC+CD，得AB-BD=AC-CD,

两式相加得2AB=2AC,所以，AB=AC,得aABC是等腰三角

形

由于AD是4ABC的边BC上的高，所以NADB=NADC=90°,

因而AB2-BD2=AC2-CD2,于是(AB+BD)(AB—BD)=(AC+

④V

CD)(AC—CD),由AB—BD=AC—CD，得AB+BD=AC+CD,

两式相加得2AB=2AC,所以AB=AC,得^ABC是等腰三角形

12.【答案】3邪

【解析】如图1,根据两点之间线段最短，可得CE+EFNCF,又根据垂线段最短

可得，当CFLAB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E(如图2),

在RrAAFC中，AC=6,ZAFC=90°,ZFAC=60°,AFC=AC-sin60°=6x2^=373.

2

VZOBM=ZOBC,

/.ZMOB=ZOBM.

.•.MO=MB.同理NO=NC.

/.△AMN的周长=AM+MO+AN+NO=AM+MB+AN+NC=AB+AC

=30.

14.【答案】6［解析］已知三角形的一外角为120。，则相邻内角度数为60。，那

么含有60。角的等腰三角形是等边三角形.已知等边三角形的一边长为2,则其

周长为6.

15.【答案】60。或10°

【解析】分两种情况：

①如图1,当NADC=90。时,

ZB=30°,Z./BCD=90°-30°=60°；

②如图2,当NACD=90。时，

D

VZA=50°,ZB=30°,ZACB=180°-30°-50°=100°,

48=100°-90°=10°,

综上，则/BCD的度数为60。或10。.故答案为：60。或10。.

16.【答案】4+2有

【解析】先求点C的坐标，再利用最短路径知识确定D点位置，最后求四边形

ACBD的最小周长即可.由点A与点C的纵坐标均为1,可知AC〃x轴，又点

A,B是第一象限角平分线上的两点，.,.NBAC=45。，又,.•CA=CB,.•.NCBA

=45°,AACIBC,，C(3,1),则AC=BC=2.

如图，作点A关于y轴的对称点E,连接BE交y轴于点D,此时AD+BD的值

最小，为线段BE的长.由轴对称性可知AE=2,则EC=4.在R/Z\BCE中，根

据勾股定理，得

BE=^BC2+EC2="+42=2后.：.四边形ACBD的最小周长为2+2+

275=4+275.

三、解答题

17.【答案】

解:⑴(方法一):'.•AB=AC,ZC=42°,

.•.N8=NC=42°,

ZBAC=180°-ZB-ZC=180°-42°-42°=96°.

VADIBC,

，ZB/lD=-ZBAC=-x96o=48o.

22

(方法二):,.,AB=AC,ZC=42°,

：.ZB=ZC=42°.

'：ADLBC于点D,：.NAO3=90°,

，ZBAD=180°-90°-42°=48°.

(2)证明:'.•EF〃AC,：.ZCAF=ZF,

\'AB=AC,ADLBC,：.ZCAF=ZBAF,

：.ZF=ZBAF,：.AE=FE.

18.【答案】

证明：VBE=CF,

；.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.

fAB=DC,

在AABF和ADCE中，SZB=ZC,

IBF=CE,

.,.△ABF^ADCE.

，AF=DE,ZAFB=ZDEC.

/.OF=OE.

，AF—OF=DE—OE,即OA=OD.

19.【答案】

解:⑴证明:二。〃⑷3,

：.ZB=ZFCD,NBED=/F.

•.'A。是8C边上的中线，

：.BD=CD,:BDE2ACDF.

(2)V△BDEm△CDF,：.BE=CF=2,

：.AB=AE+BE=l+2=3.

'：ADLBC,BD=CD,：.AC=AB=3.

20.【答案】

证明:(1)如图，连接0E.

•.•CD是A3边上的高,

B.C

：.CDLAB.

：.ZADC=90°.

\'AE=CE,

：.DE=-AC=CE=AE.

2

•:BD=CE,

：.DE=BD.

点D在线段BE的垂直平分线上.

(2)VBD=DE,：.ZADE=2/ABE.

'：DE=AE,

：.NA=NADE=2NABE.

：.ZBEC=ZABE+ZA=3AABE.

21.【答案】

解：(1)证明:VZABC=90°,

/.ZABD+ZDBC=90o.

VCE±BD,

.,.ZBCE+ZDBC=90°.

，/ABD=NBCE.

在^DAB和^EBC中，

jNABD=NBCE,

|AB=BC,

LZDAB=ZEBC=90°,

二ADABgAEBC(ASA).

AAD=BE.

(2)证明：..任是AB的中点，，AE=BE.

VBE=AD,

/.AE=AD.

...点A在线段ED的垂直平分线上.

VAB=BC,ZABC=90°,

.•.ZBAC=ZBCA=45°,

VZBAD=90°,

，/BAC=NDAC=45。.

在^EAC和^DAC中，

jAE=AD,

{NEAC=NDAC,

[AC=AC,

.'.△EAC且△DAC(SAS).

，CE=CD.

...点C在线段ED的垂直平分线上.

AAC是线段ED的垂直平分线.

◎)△DBC是等腰三角形.

理由：由(1)知△DAB四△EBC,，BD=CE.

由(2)知CE=CD.

/.BD=CD.

...△DBC是等腰三角形.

22.【答案】

【思路分析】(1)因为PE是直径，所以NPAE=90。，要证△PAE是等腰直角三角

形，只要证PA=EA,由已知得NPBA=45。，而NPEA与NPBA是同弧所对的

圆周角，所以NPEA=NPBA,问题得证；(2)由(1)得△PAC之AEAB,所以PC

=BE,因为PE是直径，所以NPBE=90。，所以PC2+PB』BE2+PB2=PE2=

(1)证明：如解图，•••△ABC是等腰直角三角形,

，AC=AB,ZCAB=90°,ZPBA=45°,

•.•在＜30中，NPEA与NPBA都是⑪所对的圆周角,

，NPEA=NPBA=45。，

「PE为。。的直径，

/.ZPAE=90°,（4分）

.,.△PAE为等腰直角三角形且AP=AE；（5分）

（2）VZPAE=ZCAB=90°,

:.ZCAB-ZPAB=ZPAE-ZPAB,

：.ZCAP=ZBAE,

.'.△CAP丝△BAE（SAS）,（8分）

ZC=ZABE=45°,

ZPBE=ZPBA+ZABE=90°（10分）

在ROPBE中,PC2+PB2=PE2=4.（12分）

23.【答案】

解:⑴AO=AB+OC

［解析］延长AE交DC的延长线于点F,

'：AB//DC,

；.NBAF=NE

•.•E是8C的中点，

Z.CE=BE.

fZ.BAF=ZF,

在^AEB和^FEC中，＜z_AEB=Z.FEC,

、BE=CE,

：.△AEBQAFEC,

：.AB=FC.

二'AE是NBA。的平分线，

，NDAF=NBAF,

：.ZDAF=ZF,

：.DF=AD,

：.AD=DC+CF=DC+AB.

故答案为:AO=A3+OC.

（2）AB=AF+CF.

证明:如图，延长AE交。F的延长线于点G,

A

D,

C7由----B

F\\

\、\

•••E是BC的中点，

:.CE=BE,

\'A