高考数学一轮复习考点探究与题型突破第35讲等差数列及其前n项和(原卷版+解析)

第35讲等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.考点1等差数列的基本运算[名师点睛]1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[典例]1．(2023·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（

）A． B． C． D．2．(2023·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差(

)A．1 B． C．2 D．3．(2023·山东泰安·模拟预测）若等差数列满足，则它的前13项和为（

）A． B． C． D．4．(2023·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（

）A．10 B．11 C．12 D．13[举一反三]1．(2023·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（

）A．9 B．8 C．7 D．62．(2023·浙江·海宁中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若数列也是等差数列，则其首项与公差的比（

）A． B． C． D．3．(2023·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．(2023·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（

）A． B．-1 C．1 D．5．（多选）(2023·福建·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，则（

）A． B．C． D．6．（多选）(2023·河北衡水·二模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（

）A． B．C． D．7．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．8．(2023·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．9．(2023·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，则数列的前13项和为______．10．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=_______．11．(2023·山东淄博·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，，则______．12．(2023·河北唐山·一模）记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.考点2等差数列的判定与证明[名师点睛]1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.[典例](2023·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{eq\r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.[举一反三]1．(2023·江苏常州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)若，求证：数列是等差数列；(2)求出数列的通项公式和前n项和．2．(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知数列满足.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2).已知数列的前项和为，求证：.考点3等差数列的性质及应用[名师点睛]1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.[典例]1．(2023·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．142．(2023·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35 B.42 C.49 D.634.(2023·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块5．(2023·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7[举一反三]1．(2023·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）设是等差数列的前n项和，，，则（

）A．90 B．100 C．120 D．2003．(2023·广东广州·二模）已知数列是等差数列，且，则（

）A． B． C． D．4．(2023·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．60 B．70 C．120 D．1405．(2023·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．80886．(2023·广东佛山·模拟预测）已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（多选）(2023·福建泉州·模拟预测）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则（

）A． B．，，为等差数列 C．数列是等比数列 D．是的最小值8．（多选）(2023·湖南永州·三模）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（

）A． B．C． D．、均为的最大值9．(2023·湖南·模拟预测）设是等差数列的前项和，，则的最小值为______________．10．(2023·广东·模拟预测）已知和均为等差数列，若，则的值是__________.11．(2023·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，当取得最小值时，______.12．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，_____.13．（2023·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．14．(2023·重庆·三模）公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，．(1)求；(2)数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．第35讲等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.考点1等差数列的基本运算[名师点睛]1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[典例]1．(2023·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得，由等差数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得：，.故选：D.2．(2023·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差(

)A．1 B． C．2 D．答案：B分析：根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可．【详解】由题可知．故选：B．3．(2023·山东泰安·模拟预测）若等差数列满足，则它的前13项和为（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则因为，所以，即.所以.故选：B.4．(2023·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（

）A．10 B．11 C．12 D．13答案：B【详解】因为，又，所以，所以，故选：B．[举一反三]1．(2023·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（

）A．9 B．8 C．7 D．6答案：C【详解】因为，又，所以，所以，即，设等差数列的公差为，则，所以，又，所以，所以．故选：C.2．(2023·浙江·海宁中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若数列也是等差数列，则其首项与公差的比（

）A． B． C． D．答案：D【详解】设等差数列，则因为数列也是等差数列，所以，则，所以即有，解得故选：D．3．(2023·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【详解】由题意可得，则，因为，可得，则，设等差数列的公差为，则，由题意可得，可得.即的取值范围是.故选：C.4．(2023·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（

）A． B．-1 C．1 D．答案：C【详解】解：在等差数列中，，，故，又，故，则，故.故选：C.5．（多选）(2023·福建·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，则（

）A． B．C． D．答案：ABC【详解】取，则，解得，即A正确；由A可知，，则，即B正确；于是有，因为，且，即C正确；因为，即D错误.故选：ABC6．（多选）(2023·河北衡水·二模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（

）A． B．C． D．答案：ABD【详解】解：由题意得：对于选项A：取，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：因为，即C错误；对于选项D：因为，且，即D正确.故选：ABD.7．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．答案：2【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.8．(2023·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．答案：4【详解】设公差为，则，解得：，所以故答案为：49．(2023·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，则数列的前13项和为______．答案：【详解】解：设等差数列的公差为d，因为，，，则，故答案为：．10．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=_______．答案：【详解】是等差数列，设公差为，又，，，.故答案为：.11．(2023·山东淄博·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，，则______．答案：4【详解】由题意得：，，则等差数列的公差，则，，解得：或（舍去）.故答案为：412．(2023·河北唐山·一模）记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.答案：【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得：，.故答案为：.考点2等差数列的判定与证明[名师点睛]1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.[典例](2023·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{eq\r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以eq\r(Sn)＝neq\r(a1)，所以eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝(n＋1)eq\r(a1)－neq\r(a1)＝eq\r(a1)(常数)，所以数列{eq\r(Sn)}是等差数列.①②⇒③.已知{an}是等差数列，{eq\r(Sn)}是等差数列.设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(1,2)n2d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.因为数列{eq\r(Sn)}是等差数列，所以数列{eq\r(Sn)}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－eq\f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{eq\r(Sn)}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{eq\r(Sn)}的公差为d，d＞0，则eq\r(S2)－eq\r(S1)＝eq\r(4a1)－eq\r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{an}是等差数列.[举一反三]1．(2023·江苏常州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)若，求证：数列是等差数列；(2)求出数列的通项公式和前n项和．【解】(1)证明：由，得．

相减得，即．

所以，故数列是等差数列．(2)解：当时，，则，由于数列是等差数列，故，∴．

∴．2．(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知数列满足.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2).已知数列的前项和为，求证：.【解】(1)证明：由，得.又，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列.故，，故；(2)解：由（1）得，则，故数列是以为首项，公比为的等比数列，故，又，故，即得证.考点3等差数列的性质及应用[名师点睛]1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.[典例]1．(2023·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．14答案：C分析：根据等差数列的求和公式，求得，结合等差数列的性质，化简得到，即可求解.【详解】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，则.故选：C.2．(2023·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.答案：1分析：根据题意，利用等差数列等差中项的性质即可求得和，进而求得公差.【详解】设这个等差数列为，则，，所以，，所以公差.故答案为：1.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.4.(2023·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块答案C解析设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq\f(27×26,2)×9＝3402(块).5．(2023·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B分析：根据题中等式求解出等差数列的公差，进而求解出数列的前项和，最后根据的表达式求解出结果【详解】设公差为则，因此，所以当时，取最大值故选：B[举一反三]1．(2023·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据等差数列性质若，则，可得．【详解】∵，则∴故选：B．2．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）设是等差数列的前n项和，，，则（

）A．90 B．100 C．120 D．200答案：B分析：由等差数列前n项和公式及等差数列下标和性质，即可求.【详解】由.故选：B3．(2023·广东广州·二模）已知数列是等差数列，且，则（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用等差数列的性质求出，再利用此性质结合诱导公式计算作答.【详解】在等差数列中，，则有，即，所以.故选：D4．(2023·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．60 B．70 C．120 D．140答案：B分析：根据等差数列的性质可求得，利用等差数列前n项和公式并化简，可得答案.【详解】在等差数列中，，则，故，故选：B5．(2023·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．8088答案：C分析：根据等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】由等差数列知，，所以，故选：C6．(2023·广东佛山·模拟预测）已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A分析：由已知分析可得，公差，讨论当时，当，时，与的关系，计算即求得的取值范围,得出结果.【详解】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差，当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则当，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则,则有，综合可得：分析选项可得：BCD符合题意；故选：A7．（多选）(2023·福建泉州·模拟预测）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则（

）A． B．，，为等差数列 C．数列是等比数列 D．是的最小值答案：ACD分析：对于A，由已知条件直接求解即可，对于B，由等差数列的性质判断，对于C，由等比数列的定义判断即可，对于D，求出等差数的通项公式判断即可【详解】由，所以，所以，故A正确；由等差数列性质，，，所以，，不是等差数列，故B错误；因为，所以，所以数列是等比数列，故C正确；当时，，即