高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.1空间几何体及其三视图和直观图(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题8.1空间几何体及其三视图和直观图（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分（二）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环（三）简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．（四）空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．（五）空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【常考题型剖析】题型一：空间几何体的结构特征例1.（2023·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．例2.(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（

）A． B． C． D．例3．【多选题】(2023·福建厦门·高一期末）如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（

）A．圆台的母线长为10B．圆台的侧面积为C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4例4.(2023·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．【特别提醒】1.棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．2.棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．3.注意棱台的所有侧棱相交于一点．4.通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：(1)求几何体的表面积或侧面积；(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．题型二：空间几何体的直观图例5.(2023·天津市求真高级中学高一期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是（

）A． B．12 C．10 D．8例6.(2023·河南新乡·高一期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（

）A．4 B． C．8 D．例7.(2023·山东烟台·高一期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（

）A． B． C． D．【总结提升】直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意“斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：(1)S直观图＝S原图形．(2)S原图形＝S直观图．题型三：空间几何体的三视图例8．（2023·全国·高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（

）A． B． C． D．例9.（2023·全国·高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．例10.（北京·高考真题（文））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为____________【总结提升】画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定连线在投影面上的虚实．专题8.1空间几何体及其三视图和直观图（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分（二）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环（三）简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．（四）空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．（五）空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【常考题型剖析】题型一：空间几何体的结构特征例1.（2023·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.例2.(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为故选：B例3．【多选题】(2023·福建厦门·高一期末）如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（

）A．圆台的母线长为10B．圆台的侧面积为C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4答案：ABD【解析】分析：对A，根据轴截面分析即可；对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C，将圆台侧面展开，再计算即可；对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可【详解】对A，母线长为，故A正确；对B，由A母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B正确；对C，由题意，侧面全展开的圆心角为，因为此时，但线段有小部分不在扇环上，故由点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故C错误；对D，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确；故选：ABD例4.(2023·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．答案：1.【解析】：法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.答案：1【特别提醒】1.棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．2.棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．3.注意棱台的所有侧棱相交于一点．4.通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：(1)求几何体的表面积或侧面积；(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．题型二：空间几何体的直观图例5.(2023·天津市求真高级中学高一期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是（

）A． B．12 C．10 D．8答案：C【解析】分析：由斜二测画法的法则结合勾股定理得出.【详解】因为，所以因为，所以即故选：C例6.(2023·河南新乡·高一期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（

）A．4 B． C．8 D．答案：A【解析】分析：利用斜二测画法画出直观图四边形，再计算面积【详解】如图，画出直观图，过点作，垂足为因为，，所以，，，则，故四边形的面积为．故选：A例7.(2023·山东烟台·高一期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得；【详解】解：由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由，则，，所以，则，，所以，又直棱柱的高，所以棱柱的侧面积，所以.故选：C【总结提升】直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意“斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：(1)S直观图＝S原图形．(2)S原图形＝S直观图．题型三：空间几何体的三视图例8．（2023·全国·高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为.故选：A例9.（2023·全国·高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．答案：③④（答案不唯一）【解析】分析：由题意结合所