高考数学微专题集专题21抛物线的焦点弦微点2抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练(原卷版+解析)

专题21抛物线的焦点弦微点2抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练专题21

抛物线的焦点弦微点2

抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练一、单选题1．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．2．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定(2023·山西太原·二模）3．过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若，，则的值为（

）A． B． C．或3 D．或24．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(

)A．2 B． C．1 D．(2023·江苏·高二）5．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（

）A．24 B．22 C．20 D．166．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（

）A． B．4 C． D．2(2023全国·高二月考）7．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（

）A． B． C． D．(2023辽宁·高二月考）8．已知抛物线方程为，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且，则的面积是（

）A． B． C． D．(2023·广西梧州·高二期末）9．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．10．阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（

）A．x-2y-1=0 B．2x+y-2=0C．x+2y-1=0 D．2x-y-2=011．抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过，，作抛物线的准线的垂线，，，垂足分别是，，，其中交抛物线于点.下列说法不正确的是A． B．C．是线段的一个三等分点 D．(2023·山西吕梁·模拟预测）12．已知抛物线：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为∠DFA的角平分线，则（

）A． B． C． D．二、多选题(2023·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）13．已知抛物线的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，下列结论正确的是（

）A．存在点A，B，使 B．的最小值为4C．平分 D．若点是弦的中点，则直线m的方程为(2023·云南昆明·高二期末）14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（

）A．直的斜率为 B．C． D．直线与的倾斜角互补(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）15．已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若为抛物线上的动点，，则D．若为抛物线上的点，则(2023·辽宁朝阳·高二期末）16．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（

）A．若直线的倾斜角为，则B．若，则直线的斜率为C．若为坐标原点，则三点共线D．三、填空题(2023·河北沧州·二模）17．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点（点在轴上方），过分别作的垂线，垂足分别为，连接.若，则直线的斜率为__________.(2023·浙江·温州中学高二期末）18．抛物线的焦点为，准线为是抛物线上过焦点的一条直线，且倾斜角为.求线段的值是___________.(2023·河南·封丘一中高二期末）19．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过E上一点A作l的垂线，垂足为M，线段AF的中点为N，若，则___________.(2023·山东潍坊·三模）20．已知是抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且的最小值是64，则抛物线的方程为______．(2023·山东省实验中学模拟预测）21．已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．(2023·江苏省天一中学高二期中）22．设抛物线的焦点为F，过焦点的弦为AB，若均为整数，则弦AB的长度为____________．四、解答题(2023·河南·模拟预测）23．已知抛物线的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，．(1)求C的方程；(2)设P为x轴上一点，且，证明：的外接圆过定点．(2023·河南·模拟预测）24．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．(1)当l的倾斜角为时，若，求；(2)设点，且，求l的方程．(2023·全国·模拟预测）25．直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．(1)若，，成等差数列，求实数k的值；(2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上．专题21抛物线的焦点弦微点2抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练专题21

抛物线的焦点弦微点2

抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练一、单选题1．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．2．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定(2023·山西太原·二模）3．过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若，，则的值为（

）A． B． C．或3 D．或24．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(

)A．2 B． C．1 D．(2023·江苏·高二）5．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（

）A．24 B．22 C．20 D．166．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（

）A． B．4 C． D．2(2023全国·高二月考）7．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（

）A． B． C． D．(2023辽宁·高二月考）8．已知抛物线方程为，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且，则的面积是（

）A． B． C． D．(2023·广西梧州·高二期末）9．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．10．阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（

）A．x-2y-1=0 B．2x+y-2=0C．x+2y-1=0 D．2x-y-2=011．抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过，，作抛物线的准线的垂线，，，垂足分别是，，，其中交抛物线于点.下列说法不正确的是A． B．C．是线段的一个三等分点 D．(2023·山西吕梁·模拟预测）12．已知抛物线：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为∠DFA的角平分线，则（

）A． B． C． D．二、多选题(2023·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）13．已知抛物线的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，下列结论正确的是（

）A．存在点A，B，使 B．的最小值为4C．平分 D．若点是弦的中点，则直线m的方程为(2023·云南昆明·高二期末）14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（

）A．直的斜率为 B．C． D．直线与的倾斜角互补(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）15．已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若为抛物线上的动点，，则D．若为抛物线上的点，则(2023·辽宁朝阳·高二期末）16．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（

）A．若直线的倾斜角为，则B．若，则直线的斜率为C．若为坐标原点，则三点共线D．三、填空题(2023·河北沧州·二模）17．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点（点在轴上方），过分别作的垂线，垂足分别为，连接.若，则直线的斜率为__________.(2023·浙江·温州中学高二期末）18．抛物线的焦点为，准线为是抛物线上过焦点的一条直线，且倾斜角为.求线段的值是___________.(2023·河南·封丘一中高二期末）19．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过E上一点A作l的垂线，垂足为M，线段AF的中点为N，若，则___________.(2023·山东潍坊·三模）20．已知是抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且的最小值是64，则抛物线的方程为______．(2023·山东省实验中学模拟预测）21．已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．(2023·江苏省天一中学高二期中）22．设抛物线的焦点为F，过焦点的弦为AB，若均为整数，则弦AB的长度为____________．四、解答题(2023·河南·模拟预测）23．已知抛物线的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，．(1)求C的方程；(2)设P为x轴上一点，且，证明：的外接圆过定点．(2023·河南·模拟预测）24．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．(1)当l的倾斜角为时，若，求；(2)设点，且，求l的方程．(2023·全国·模拟预测）25．直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．(1)若，，成等差数列，求实数k的值；(2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上．参考答案：1．B分析：由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，代入抛物线方程得，可得，根据抛物线的定义可知直线AB的长为．故选：B．2．A分析：根据抛物线的定义可得焦点弦，，联立过焦点的直线方程和抛物线方程，根据韦达定理即可求解.【详解】抛物线的焦点，准线x＝－1，设，把它代入得，设，，则，由抛物线定义可得，，∴，，∴m＋n＝mn．故选:A3．D分析：直接根据抛物线中切点弦的性质即可得结论.【详解】在抛物线中，由焦点弦的性质可得，解得或，所以或，故选：D.4．B分析：求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解．【详解】由题知，，，，∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取，则，原点O到直线AM的距离为：，∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒故选：B﹒5．A分析：由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.【详解】设直线，的斜率分别为，由抛物线的性质可得，，所以，又因为，所以，所以，故选：A.6．A分析：利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，则，，因为，所以，所以，所以，所以，，所以.因为，所以，解得，所以，点F到AM的距离为，所以.法二：因为，所以，所以，即.连接FM，又，所以为等边三角形.易得，所以.故选：A.7．D分析：分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.【详解】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，则，，则，，，则故选：D8．D分析：不妨设A在第一象限，B在第四象限，设出AB的方程与抛物线方程联立由A，B的纵坐标之积为－8，解出，再结合，可以解出A，B的纵坐标，根据的面积为可得答案.【详解】不妨令A在第一象限，B在第四象限，设AB的方程为，由得，则，所以.又因为，所以，即，代入可得，由B在第四象限，则，所以所以.故选：D9．D分析：根据抛物线的定义，得到点到焦点的距离等于到准线的距离，得到，即可求解.【详解】由题意，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，解得故选：D.10．A分析：线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由“阿基米德三角形”的特征可得P点坐标，从而得直线PF的斜率，又PF⊥AB，即得直线AB斜率，由点斜式可求直线AB的方程．【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由△PAB为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上，则点P（﹣1，4），直线PF的斜率为：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线的性质，考查直线方程的求解，考查学生分析问题的能力，是中档题．11．C分析：利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.【详解】由抛物线的定义，得，.又，则，正确.由，可知是直角三角形，是斜边上的中线，所以，而，所以.所以，可知，所以，正确.在中，，可知，所以，正确.由，可知，所以，即是的中点，故不正确.故选C【点睛】本题考查抛物线的定义，考查平面几何的性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题.12．B分析：根据抛物线的定义，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，然后利用，得到，进而利用，化简，可求出的值【详解】：，则，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，因为FB为∠DFA的平分线，则，又，所以，所以，又，所以．故选：B13．BCD分析：设，直线m的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据判断A，根据焦半径公式判断B，通过计算即可判断C，利用点差法计算判断D；【详解】解：抛物线C的焦点F的坐标为，由题意分析可知，直线的斜率一定存在．设，直线m的方程为，与抛物线联立，得，所以，，所以，所以为钝角，故A错误；（当且仅当时等号成立），故B正确；因为点，因为，即直线和直线的倾斜角互补，所以平分，故C正确；由两式相减得，因为点是弦的中点，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即，故D正确．故选：BCD．14．ABD分析：分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，求出点的坐标，可得出点的坐标，分析可得，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用平面向量与解析几何的相关知识可判断BCD选项的正误.【详解】易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立，可得，即点，因为点为线段的中点，则，则，可得，因为点在抛物线上，则，可得，所以，直线的方程为，即，故直线的斜率为，A对；联立，解得或，即点、，易知点，所以，，，则，B对；易知点，，，故，C错；，，则，所以，直线与的倾斜角互补，D对.故选：ABD.15．ABC分析：圆锥曲线问题，要结合图形进行分析，利用直线与抛物线方程联立，进行求解，利用抛物线的焦半径的相关结论求解.【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；所以|PQ|=64，选项A正确；因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，选项B正确；如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，所以，选项D错误.故选：ABC.16．ACD分析：对于A，求出直线的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出，对于B，设1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由，得，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，对于C，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可，对于D，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可【详解】若直线的倾斜角为，则，令，由消可得，所以，故正确；设1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故错误；设，令，，消可得，所以，即三点共线，故C正确；设，令，由消可得，，所以，即，故正确.故选：ACD.17．分析：根据题意得，再得到，，分析即可得，，从而得到直线的倾斜角，即可求解.【详解】如图，由题意得，所以，，因为，所以，所以，又，所以，所以，故，所以直线的斜率为.故答案为：.18．16分析：首先求出抛物线的焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再根据焦半径公式计算可得；【详解】解：抛物线的焦点坐标为，因为直线过点，且倾斜角为，所以直线的方程为，设、，由，消去整理得，所以，所以；故答案为：19．4分析：根据抛物线的定义可得△AMF为等边三角形，进而求得即可【详解】如图，由抛物线定义可知，又因为是AF的中垂线，所以△AMF为等边三角形，所以.因为，所以，即.故答案为：420．分析：依题意设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角，根据焦点弦公式得到，，再根据二倍角公式及正弦函数的性质求出的最小值，即可求出，从而得解；【详解】解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角，根据焦点弦长公式可得，，所以，因为，所以当时取得最小值，所以，所以，所以抛物线方程为故答案为：21．23分析：设，即可得到的中点坐标，再根据距离公式求出动点的轨迹方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．【详解】解：设，则的中点为，所以，整理得，即动点的轨迹为抛物线，焦点为，由直线过抛物线的焦点，则，其中的证明过程如下：当不垂直于轴时，可设直线的方程为，，，显然．由得:，∴，．当轴时，直线方程为，则，，∴，同上也有．由抛物线的定义知：，，又，所以，且．所以圆圆心为，半径1，，当且仅当，即，时取等号；的最小值为23，故答案为：．22．4或##或4分析：分的斜率存在、不存在，分别求弦AB的长度，当斜率不存在时，由通径求解即可，当斜率存在时，联立抛物线方程，根据根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式求解即可.【详解】由可知焦点，当斜率不存在时，过的方程为，可知，为整数，此时；当斜率存在时，设AB方程为，设，不妨