新疆和田地区2024-2025学年高二数学上学期期中试题含解析

Page19留意事项考生在答题前请细致阅读本留意事项及各题答题要求1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3．作答选择题，必需用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必需用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在长方体中，等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【详解】如图，可得，，所以.故选：B2.已知点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由条件可得，然后由即可算出【详解】双曲线的渐近线方程为所以由点在双曲线的渐近线上可得所以故选：A【点睛】在椭圆中有，在双曲线中有.3.若双曲线的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由双曲线的离心率为，得，又由的值，进而求解双曲线的渐近线方程，得到答案.【详解】由题可知，双曲线的离心率为，即，又由，所以双曲线的渐近线方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简洁的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其几何性质，合理精确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题.4.已知圆，直线，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，数形结合推断出圆上到直线的距离等于1的点的个数.【详解】圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，设交点分别为，则劣弧上的点到直线的最大距离为，故在劣弧上只有一个点到直线的距离等于1，优弧上到直线的距离就确定有2个，所以..故选：C5.设抛物线yx2焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝3，则点P到x轴的距离为（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】写出抛物线的准线方程，依据抛物线的定义可以求出点P到x轴的距离.【详解】抛物线yx2的准线为：，又因为|PF|＝3，所以依据抛物线的定义可以知道点P到准线的距离也为3，因此点P到x轴的距离为2.故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线焦点的位置及准线方程.6.已知圆C：，设为直线上一点，若C上存在一点，使得，则实数的值不行能的是（）A. B.0 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由题可知圆心在直线上，然后利用圆的性质可知，再利用弦长公式可得，即得.【详解】由圆C：，可得，圆心，半径为，∴圆心在直线上，∵为直线上一点，若C上存在一点，使得，∴，又，∴，即，∴实数的值可能是，0，4；实数的值不行能是2.故选：C.7.已知椭圆的右焦点、右顶点、上顶点分别为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据椭圆方程求出点的坐标，即可求出三角形的面积.【详解】解：，，，，故选：【点睛】本题考查椭圆的简洁几何性质，属于基础题.8.如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cosθ=|cos〈，〉|=.二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）.A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BC【解析】【分析】依据空间向量共面定理的学问确定正确答案.【详解】依题意构成空间的一个基底，A选项，由于，所以，，共面.B选项，由于不存在实数使，所以，，不共面，B选项正确.C选项，，由于不存在实数使，所以，，不共面，C选项正确.D选项，由于，所以，，共面.故选：BC10.已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（）A.外离 B.外切 C.内含 D.内切【答案】ABD【解析】【分析】依据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不行能内含．故选：ABD．11.已知O为坐标原点，椭圆C：的左､右焦点分别为，，两点都在上，且，则（）A.的最小值为4 B.为定值C.存在点，使得 D.C的焦距是短轴长的倍【答案】BCD【解析】【分析】由题知关于原点对称，，，，进而推断AD；再依据椭圆的对称性可推断B正确；依据当在轴上时，为钝角推断C正确.【详解】解：因为，，，所以，，，所以,C的焦距是短轴长的倍，D正确.因为，故关于原点对称，所以，最小值为，故A错误；所以，由椭圆的对称性知，，所以B正确.当在轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，故C正确.故选：BCD12.棱长为的正方体的绽开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（）A.与是异面直线 B.与所成角为C.平面平面 D.若，则点的运动轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】由绽开图还原正方体，依据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；依据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.【详解】由绽开图还原正方体如下图所示，对于A，，四边形为平行四边形，，与是共面直线，A错误；对于B，，与所成角即为，，为等边三角形，，即与所成角为，B正确；对于C，平面，平面，；又，，平面，平面，又平面，平面平面，C正确；对于D，由正方体性质可知平面，取中点，连接，则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，点的轨迹长度为，D正确.故选：BCD.三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知直线和相互平行，则实数的值为___________.【答案】【解析】【分析】依据直线平行的充要条件即可求出实数的值.【详解】由直线和相互平行，得，即.故答案为：.14.如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满意，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率________．【答案】【解析】【分析】依据题意，利用图中几何关系，再几何椭圆的定义，即可得解.【详解】由题知：令连接，所以，且，从而．故答案为：．15.在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________.【答案】##【解析】【分析】取的中点，连接、，依题意、、两两相互垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：取的中点，连接、，依题意可得、、两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，明显平面的法向量可以为，设二面角为，则，故二面角的余弦值为；故答案为：16.已知是椭圆与双曲线的一个公共焦点,分别是在其次、四象限的公共点.若，则的离心率为______．【答案】##【解析】【分析】设左焦点为，右焦点为，再设，，利用椭圆的定义，四边形为矩形，可求出，的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．【详解】如图，设左焦点为，右焦点为，设，，，点为椭圆上的点，，，；，即；由，所以，则四边形为矩形，，则，联立，解得或（舍去），设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，的离心率是．故答案为：．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l过点.（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l与直线平行，且两条平行线间距离为2，求b.【答案】（1）（2）或21【解析】【分析】（1）依据直线的垂直关系，得出斜率，即可得解；（2）依据平行关系设直线方程，利用平行线之间的距离公式求解参数.【详解】（1）直线l与直线垂直，所以直线l斜率为，设所求直线上的方程为，∵直线l过点，∴，即.∴（2）设所求的直线l的方程为.则有，得.∵l与直线间的距离为2，∴，解得或21.【点睛】此题考查依据两条直线的位置关系求解参数的取值，关键在于娴熟驾驭两条直线垂直或平行关系的表示方式，精确计算得解.18.求满意下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；（2）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.（2）依据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.【小问1详解】设双曲线的方程为.由，，得，，，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上.设双曲线的方程为，则，，，所以双曲线的方程为.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱PB中点.（1）求证：平面PCD；（2）设点N是线段CD上一动点，且DN＝λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的法向量，依据可得；（2）表示出，求得平面的一个法向量，由即可求得最大值.【详解】（1）PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，则可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，，，且平面PCD，平面PCD；（2）可得，，，易得平面的一个法向量，设直线MN与平面PAB所成的角为，则，则当时，即时，最大，所以当直线MN与平面PAB所成的角最大时.【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；其次，破“求坐标关”，精确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知椭圆：，其左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，.（1）若直线垂直于轴，求的值；（2）若，直线的斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得关于直线成轴对称？假如存在，求出点的坐标；假如不存在，请说明理由；（3）设直线:上总存在点满意，当的取值最小时，求直线的倾斜角.【答案】(1)5；(2)不存在；(3).【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可得，则，结合勾股定理可得，，则（2）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标分别为，由对称性可求得点坐标为，该点不在椭圆上，则椭圆上不存在满意题意的点.（3）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标为，设直线的y轴截距式方程，与椭圆方程联立有，由题意可知点是线段的中点，据此计算可得，当且仅当时取等号.则直线的倾斜角.试题解析：（1）因为，则，即，设椭圆的半焦距为，则，在直角中，，即解得，，所以.（2）由，，得，因此椭圆方程为，且，的坐标分别为，直线的方程为，设点坐标为，则由已知可得：，解得，而，即点不在椭圆上，所以，椭圆上不存在这样的点，使得关于直线成轴对称.（3）由，得椭圆方程为，且，的坐标为，所以可设直线的方程为，代入得：，因为点满意，所以点是线段的中点，设的坐标为，则，因为直线上总存在点满意，所以，且，所以，当且仅当，即时取等号.所以当时，，此时直线的倾斜角.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要留意：(1)留意视察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算实力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.在平面直角坐标系内，已知点及线段，在线段上任取一点，线段长度的最小值称为“点到线段的距离”，记为.（1）设点，线段，求；（2）设，，，，线段，线段，若点满意，求关于的函数解析式，并写出该函数的值域.【答案】（1）（2），其值域为【解析】【详解】试题分析：(1)由题意结合的定义有；(2)由题意分类探讨可得：当时，；当时，；当时，；结合分段函数的解析式可得函数的值域为.试题解析：（1）在线段任取一点则（当且仅当时取等号）所以（2）数形结合可知：当时，；当时，点Ｐ的轨迹是以点B为焦点，直线为准线开口向上的抛物线的一段，从而；当时，点Ｐ的轨迹是线段BD的中垂线的一部分射线，从而；综上：，其值域为点睛：“新定义”主