江苏省无锡市四校2024-2025学年高三数学下学期开学考试试题

2024-2025学年春学期期初学情调研试卷高三数学留意事项：答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如须要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A. B. C. D.2．已知a,b,c是空间的一个基底，则可以与向量pA.a B．b C．a+2b D3．若直线l1:ax+(1-a)yA．-3 B．-12 C．0或-324．已知等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261A．30 B．29 C．28 D．275．如图，一个底面边长为23π3cm的正四棱柱形态的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽视不计，则该圆锥的侧面积为（

A．17πcB．4πcC．32D．26．某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有()A．18种 B．36种 C．60种 D．72种7．双曲线C:x29-y216=1的右支上一点P在第一象限，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，I为△PFA. 323B.12 C. 24D.8．已知函数f(x)=|x-1|,x<2,2(x-3)2-1,x≥2,A.4 B.8 C.10 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a、bA．bB．若A>BC．aD．若(AB|AB|+AC10．设a为常数，，，则()A. B.恒成立

C. D.满意条件的不止一个11．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是()A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．不存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知α∈0,π,13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1-x四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．（15分）数列{an}中，a1(1)求数列{a(2)设Sn=|a(3)设bn=1n(12-a使得对随意n∈N*，均有Tn17．（15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,（Ⅰ）求证：C1（Ⅱ）求二面角B-（Ⅲ）求直线AB与平面DB18．（17分）已知M，N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:(ⅰ)求C2的渐近线方程(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1,(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C219．（17分）已知Am=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮①a②对随意k∈1,2,3,⋯,n，存在i∈1,2,⋯,m,j∈1,2,⋯,m使得ai,j(1)推断A3=123(2)若Γ2数表A4满意da(3)证明：对随意Γ4数表A10，存在1≤i<2024-2025学年春学期期初学情调研试卷参考答案1．B[试题解析]，，故选：B2．D[试题解析]因为a，p=a+b，因为b，p=a+b，因为a+2b，p=a+因为a+2c，p=a+3．D[试题解析]∵l1⊥l2，∴a(a-1)+(1-a)×(2a+3)=0，即(a-1)(a+3)=0故选：D．4．B[试题解析]奇数项共有n+1项，其和为a1+a2n+12⋅n+1=25．C[试题解析]依题意可得圆锥的体积V=1×23π32=4π3cm3，又6．B[试题解析]因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则状况如下：①A在1号位置，B有2,4,5号三种选择，有3Aeq\o\al(3,3)＝18种出场次序；②A在2号位置，B有4,5号两种选择，有2Aeq\o\al(3,3)＝12种出场次序；③A在4号位置，B有5号一种选择，有Aeq\o\al(3,3)＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.7．A[试题解析]解：由题意，作图如下：

设圆I与x轴、PF2、PF1分别切于点E、H、F，

因为双曲线C的右顶点为A3,0，F1-5,0，F25,0，

所以AF1-AF2=3+5-5-3=6，又F1-5,0，F25,0，IF1=65,IF2=5C[试题解析]解：在同一坐标系中作y=f(x)，y=12若由图象视察可知，0<x1<1<x2<2<x3<3<x4<4，

当f(f(x))=12时，

由f(x)=x1，0<x1<1存在4个不同根，

f(x)=x2，1<x9．ACD[试题解析]A：由asinA=bsinB：当A=π3,B=C：sinBcosC+sinCcosB=D：如图，AE=AB|AB|,AF=AC|AC|是单位向量，则AB|AB|+AC10．ABC[试题解析]令，可得，因为，所以正确.

令，可得，代入，，可得

同理，令，可得，代入，，可得

即原等式变形为，C正确.

令可得，即函数取值非负.

令可得，即，解得，B正确.

因此仅有一个函数关系式满意条件，故D错误.故选ABC11．CD[试题解析【详解】A：由题意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以与不相交，故A错误；B：连接，如图，当点为的中点时，，又，所以，若点在平面的射影为，则平面，垂足为，所以，设正方体的棱长为2，则，在中，，所以，即不成立，故B错误；C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，所以异面直线与所成角为直线与所成角，设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，则，所以，所以，又，得，解得，符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；D：如图，由等体积法可知，又，为定值，所以为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：CD.12．-429[试题解析]因为sinα-π6=所以α-所以cosα-所以sin2cos2α+π613．【试题解析】分别设两条曲线的切点分别为依据切点处的导数即为切线斜率和切点即在曲线上又在切线上列方程组，然后求解可得.设直线与曲线和分别相切于因为，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或因为，所以故答案为：

14．149+解：由题意得，圆C:(x+3)2+(y+2)2=13，圆心C(-3,-2)

设点P(x0,y0)，则|x0-4|+|y0-6|=215．(1)；(2).【试题解析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.【详解】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.16．解：(1)由题意，an+2-an+1=an+1-an，

∴{an}为等差数列，设公差为d，

由题意得2=8+3d⇒d=-2，

∴an=8-2(n-1)=10-2n．

(2)若10-2n≥0，则n≤5，

当n≤5时，

Sn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+an=8+10-2n2×n=9n-n2，

n≥6时，Sn=a1+17．（15分）解：依题意，以C为原点，分别以CA、CB、CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C1(0,0,3)、A1(2,0,3)、B1（Ⅰ）依题意，C1M=(1,1,0)从而C1M⋅（Ⅱ）依题意，CA=(2,0,0)是平面BEB1=(0,2,1)设n=(x,y,z)为平面D则{n⋅E不妨设x=1，可得n=(1,-1,2)cos<∴sin所以，二面角B-B1E-D（Ⅲ）依题意，AB=(-2,2,0)由（Ⅱ）知n=(1,-1,2)为平面DB1所以，直线AB与平面DB1E18．（17分）解：(1)由题意得e1=a2-1a，e2=a2+1a，所以e1e2=a4-1a2=154，

又a>0，解得a2=4，

(i)故双曲线C2的渐近线方程为y=±12x；

(ii)设直线AB的方程为x=ty+4，

则x=ty+4,x24-y2=1,消元得：(t2-4)y2+8ty+12=0，Δ>0且t≠±2，

所以y1+y2=-8tt2-4,y1y2=12t2-4,

故1y1+1y2=y1+y2y1y2=-2t3，

又直线AA119．（17分）解：(1)

A3=1232d((2)由题可知

d(ai,j,a当

ai+1,j=1

时，有

d(所以

ai,j+当

ai+1,j=2

时，有

d(所以

ai,j+所以

a所以

a1,1+a1,2+a2,3+aa2,1+a3,2+aa1,4=1

或

a1,4=2

，

a4,1=1故各数之和

⩾6+3+3+4+4+1+1=22

，(3)由于

Γ4

数表

A10

中共

100必定存在

k∈1,2,3,4

，使得数表中

k

的个数满意

设第

i

行中

k

的个数为

r当

ri≥2

时，将横向相邻两个

k则该行有

ri-1所以