中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十五圆(原卷版+解析)

专题三十五圆思维导图知识要点知识要点1．圆的定义和圆的方程(1)直线的倾斜角定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准x−a2＋y−b2＝γ圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：

半径r＝2.点与圆的位置关系(1)几何法：比较点到圆心的距离与半径的大小关系．点M(x0，y①d＝r⇔点在圆上；②d>r⇔点在圆外；③d<r⇔点在圆内．(2)代数法：圆的标准方程x−a2＋y−b2＝γ2①x0−a2＋y②x0−a2＋y③x0−a2＋y3．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：x−a2＋y−b方法位置关系几何法

代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<04.圆与圆的位置关系设圆O1：x−a12+y−b1方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1+无解外切d＝r1+一组实数解相交|r1−r2|<d<两组不同的实数解内切d＝|r1−r2|(一组实数解内含0≤d<|r1−r2|(无解典例解析典例解析【例1】根据下列各条件求圆的方程．(1)求以点A(3，－5)为圆心，且与直线3x＋4y＋1＝0相切的圆的方程；(2)已知A(3，－2)，B(－5，4)，求以AB为直径的圆的方程；(3)若圆过A(2，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，求这个圆的方程．【变式训练1】(1)求过两点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程；(2)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，求以线段AB为直径的圆的方程；(3)求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)的圆的方程．【例2】已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程________．【变式训练2】求圆心在y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．【例3】直线l：x＋y－16＝0与圆(x－2)2＋(y－2)2＝9的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【变式训练3】对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【例4】(1)点P(2，5)与圆x2A．点P在圆外B．点P在圆内C．点P在圆上D．不确定(2)直线l：x－y＋2＝0和圆C：x2+yA．相离B．相切C．相交过圆心D．相交不过圆心【例4】(3)圆x−12+y2＝1与圆A．外离B．外切C．相交D．内切【变式训练4】圆x+22+yA．内切B．相交C．外切D．相离【例5】求直线y＝x＋2被圆x2【变式训练5】求直线l：x＋2y＝0被曲线x2高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)以点(1，－2)为圆心，且与直线x－y－1＝0相切的圆的方程是(A)A．x−12+y+2C．x+12+y−22．(四川省2016年对口升学考试试题)已知直线l与直线y＝－x平行，且与x轴的交点为(－4，0)．(1)求直线l的方程；(2)设圆心为(1，－1)的圆C与直线l相切，求圆C的标准方程．3．(四川省2017年对口升学考试试题)过原点O作圆x24．(四川省2018年对口升学考试试题)已知直线l1：x＋2y－2＝0与直线l2垂直，且直线l2与y轴的交点为A(0，4)．(1)求直线l2的方程；(2)设直线l1与x轴的交点为B，求以AB的中点为圆心并与x轴相切的圆的标准方程．5．(四川省2019年对口升学考试试题)设圆O的方程是x2+y2＝1，三点A(2，2)，B(b，同步精练同步精练选择题1．圆心为点(0，1)，半径为2的圆的标准方程为()A．x−12+yC．x2+y−12．圆x2A．(1，2)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1，2)3．已知圆x−12＋y+2A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离4．圆x2+yA．x＋y－2＝0B.x＋y－2＝0C．x－y－4＝0D.x＋y－4＝05．圆x26．圆心坐标为(－1，1)，半径是2的圆的标准方程为_______．7．圆x28．直线l：kx－y＋1＝0被圆x29．已知圆心坐标为(1，0)的圆经过点.(1)求圆的标准方程；(2)若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与该圆相切，求a的值．10．求过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程．11.已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆x−12＋y−2(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．12．已知方程x2+y(1)求t的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t的值．专题三十五圆思维导图知识要点知识要点1．圆的定义和圆的方程(1)直线的倾斜角定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准x−a2＋y−b2＝γ圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：

半径r＝2.点与圆的位置关系(1)几何法：比较点到圆心的距离与半径的大小关系．点M(x0，y①d＝r⇔点在圆上；②d>r⇔点在圆外；③d<r⇔点在圆内．(2)代数法：圆的标准方程x−a2＋y−b2＝γ2①x0−a2＋y②x0−a2＋y③x0−a2＋y3．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：x−a2＋y−b方法位置关系几何法

代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<04.圆与圆的位置关系设圆O1：x−a12+y−b1方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1+无解外切d＝r1+一组实数解相交|r1−r2|<d<两组不同的实数解内切d＝|r1−r2|(一组实数解内含0≤d<|r1−r2|(无解典例解析典例解析【例1】根据下列各条件求圆的方程．(1)求以点A(3，－5)为圆心，且与直线3x＋4y＋1＝0相切的圆的方程；(2)已知A(3，－2)，B(－5，4)，求以AB为直径的圆的方程；(3)若圆过A(2，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，求这个圆的方程．答案：解：(1)∵圆心为A(3，－5)，半径为r＝∴圆的标准方程为x−3+(2)∵A(3，－2)，B(－5，4)，∴以AB为直径的圆的圆心为(－1，1)，半径r＝(或r＝|AB|)，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25.（3）解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有②－①得12＋2D＝0，∴D＝－6，代入①得4－12＋F＝0，∴F＝8，代入③得4＋2E＋8＝0，∴E＝－6，∴D＝－6，E＝－6，F＝8，∴圆的方程是x2【思路点拨】(1)根据已知条件直接可求点到直线的距离，即半径．从而得出圆的标准方程．(2)由中点坐标公式确定圆的圆心，利用两点间的距离公式确定半径，从而可得圆的方程．(3)设所求圆的方程为x2【变式训练1】(1)求过两点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程；(2)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，求以线段AB为直径的圆的方程；(3)求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)的圆的方程．解：(1)∵线段AB的垂直平分线的方程为x＋2y－4＝0，联立解得∴圆心为(2，1)，半径r＝.所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.(2)AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝∴圆的方程为x2＋y2＝2.解：(3)设圆的一般方程为x2则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.∴所求圆的方程为x2【例2】已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程_x+12+【思路点拨】先由条件确定选用圆的标准方程，后由条件确定圆的圆心坐标与半径．．【变式训练2】求圆心在y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．解：∵圆心在直线y＝－4x上，设圆的圆心为(a，－4a)，半径为r.由已知得解得∴所求圆的方程为x−12＋y+4【例3】直线l：x＋y－16＝0与圆x−22+y−2A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【思路点拨】考查圆心到直线的距离与半径的大小关系．易知圆的圆心坐标为(2，2)，它到直线l的距离d＝>3，∴直线与圆是相离的位置关系．【变式训练3】对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2+yA．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心解：x2+y2＝2的圆心(0，0)到直线y＝kx＋1的距离d＝【例4】(1)点P(2，5)与圆x2+yA．点P在圆外B．点P在圆内C．点P在圆上D．不确定【思路点拨】(1)圆x2＋y2＝24的圆心O(0，0)，半径r＝∵点P(2，5)与圆心O(0，0)的距离|OP|＝＝>r＝2，∴点P在圆外．(2)直线l：x－y＋2＝0和圆C：x2+yA．相离B．相切C．相交过圆心D．相交不过圆心【思路点拨】(2)圆x2+y【例4】(3)圆x−12+y2＝1与圆A．外离B．外切C．相交D．内切【思路点拨】圆x−12+y2＝1与圆x2【变式训练4】圆x+22+y2＝4与圆A．内切B．相交C．外切D．相离【思路点拨】两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．【例5】求直线y＝x＋2被圆x2解：x2+y故圆心坐标为(2，2)，半径为3.∴圆心到直线x－y＋2＝0的距离是，故弦长的一半是∴弦长为2.【思路点拨】先求出圆心到直线的距离即得弦心距，并求出圆的半径，再利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长．【变式训练5】求直线l：x＋2y＝0被曲线x2解：由x2+y则圆心(3，1)到直线l的距离d＝，又圆的半径r＝5，∴弦长l＝2【思路点拨】两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)以点(1，－2)为圆心，且与直线x－y－1＝0相切的圆的方程是(A)A．x−12+y+2C．x+12+y−2【提示】设点(1，－2)到直线x－y－1＝0的距离为d，则d＝，圆的半径为，∴所求圆的标准方程为x−12+y+22．(四川省2016年对口升学考试试题)已知直线l与直线y＝－x平行，且与x轴的交点为(－4，0)．(1)求直线l的方程；(2)设圆心为(1，－1)的圆C与直线l相切，求圆C的标准方程．解：(1)设所求直线为x＋y＋c＝0，又过(－4，0)点，求得c＝4，∴直线l的方程x＋y＋4＝0.(2)由圆C与直线l相切，∴d＝r，∵d＝∴r＝∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝8.3．(四川省2017年对口升学考试试题)过原点O作圆x2解：(1)圆的标准方程为＋(y－5)2＝，切线过原点．假设切线斜率存在且为0，y＝0不符合条件．假设切线斜率存在且不为0，设直线斜率为k，设切点坐标为解得∴切线方程为y＝x.假设切线斜率不存在，则x＝0，符合条件．综上所述，切线方程为x＝0，y＝.解：(2)由(1)得P，Q坐标为(4，3)，(0，5)，则PQ＝2，∴OP＝OQ＝5，△OPQ为等腰三角形．设PQ的中点为E，则PE＝，OE＝，S△ABC＝·PQ·OE＝10.4．(四川省2018年对口升学考试试题)已知直线l1：x＋2y－2＝0与直线l2垂直，且直线l2与y轴的交点为A(0，4)．(1)求直线l2的方程；(2)设直线l1与x轴的交点为B，求以AB的中点为圆心并与x轴相切的圆的标准方程．解：(1)直线l1：x＋2y－2＝0的斜率为－.所以直线l2的斜率为2.又直线l2与y轴交点为A(0，4)．因此，直线l2的方程为y＝2x＋4.(2)直线l1：x＋2y－2＝0与x轴的交点为B(2，0)，AB的中点为(1，2)，由圆与x轴相切可知半径r＝2.故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.5．(四川省2019年对口升学考试试题)设圆O的方程是x2＋y2＝1，三点A(2，2)，B(b，b2－2)，C(c，c2－2)互不重合，直线AB与圆相切．(1)证明：3b2证明：(1)直线AB的斜率k＝＝b＋2直线AB的方程为y－2＝(b＋2)(x－2)，即b+2x∵直线AB与圆O相切，∴＝1，∴3b2＋4b－1＝0.①证明：(2)由(1)可知直线AC的方程为c+2x∵直线AC与圆O相切，∴＝1.∴3c2＋4c－1＝0.②由①－②，且b≠c，得b＋c＝，由①＋②，得3(b2＋c2)＋4(b＋c)－2＝0，配方得3(b＋c)2＋4(b＋c)－2＝6bc，从而，bc＝，直线BC的斜率kBC＝＝b＋c，直线BC的方程为y－(b2－2)＝(b＋c)(x－b)，即(b＋c)x－y－2－bc＝0亦即4x＋3y＋5＝0.又因为圆心O到直线BC的距离d＝＝1＝r.故直线BC与圆O也相切．同步精练同步精练选择题1．圆心为点(0，1)，半径为2的圆的标准方程为(C)A．x−12+yC．x2+y−1【提示】由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以求出．2．圆x2+yA．(1，2)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1，2)【提示】圆的圆心为(1，2)．3．已知圆x−12＋y+22＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离【提示】圆心到直线的距离d＝<.4．圆x2+y2＝4在点P(1，－A．x＋y－2＝0B.x＋y－2＝0C．x－y－4＝0D.x＋y－4＝0【提示】∵kOP＝，∴切线的斜率为，∴切线方程为x－y－4＝0.5．圆x2+y【提示】由圆心到直线的距离d≤r可得．6．圆心坐标为(－1，1)，半径是2的圆的标准方程为___x+12+y−17．圆x2+y【提示】把圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心坐标为(1，1)，圆的半径r＝1，∴圆心到直线x－y＝2的距离d＝，则圆上的点到直线x－y＝2的距离最大值为d＋r＝＋1.8．直线l：kx－y＋1＝0被圆x2+y【提示】由x2＋y2－4y＝0得x2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标是C(0，2)，半径是2.∵直线l：kx－y＋1＝0过定点P(0，1)，且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2＋y2－4y＝0截得的最短弦长为9．已知圆心坐标为(1，