(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题3.4椭圆的简单几何性质(原卷版+解析)

专题3.4椭圆的简单几何性质-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（上海市高二课时练习）离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆C1:x24+y23A．C1 B．C．相同 D．无法判断2．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率3．（3分）(2023·四川·高二期中（文））与椭圆9x2+4y2A．x225+y220=1 B．4．（3分）(2023·上海·高二期末）下列关于曲线Γ:x2A．曲线Γ是椭圆 B．y的取值范围是[−3,3]C．关于直线y=x对称 D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于65．（3分）(2023·全国·高三阶段练习（理））椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P,Q均在A．32 B．22 C．126．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆C:x2m+y215=1的右焦点，点A2,352在C上，直线AF与A．514 B．154 C．−137．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（

A．13 B．12 C．228．（3分）(2023·内蒙古赤峰·三模（文））椭圆C:x24①过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点，则△AB②椭圆C上存在点P，使得PF③椭圆C的离心率为32④P为椭圆x24+y2=1一点，则以下选项正确的是（

）A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为32，且过点(2,1)，则椭圆C的标准方程为（

A．x28+y22=1 B．10．（4分）(2023·吉林·高二开学考试）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的短轴长为2N+RM+R千米 B．椭圆的短轴长为C．椭圆的焦距为M−N千米 D．椭圆的长轴长为M+N+2R千米11．（4分）(2023·山东滨州·高二期末）已知椭圆C的两个焦点分别为F1−2,0，F22,0，离心率为12A．椭圆C的方程为xB．PF2C．当PF1D．椭圆x24+12．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（

A．该椭圆的离心率为3−12 C．该椭圆的焦距为32−6三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x240+y214．（4分）(2023·全国·高二课时练习）以椭圆x225+y215．（4分）(2023·福建省高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点为B0,b，右焦点为F16．（4分）(2023·全国·高二单元测试）若F1、F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A①椭圆C的离心率为35；

②存在点A使得A③若AF2+BF2=8四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·全国·高二专题练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：(1)x2(2)4x18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；(3)经过点P−23,1(4)与椭圆x24+19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C的离心率为23，焦点F1−2,0(1)求椭圆C的方程；(2)已知A−3,0、B3,0，PxP,yP是椭圆20．（8分）（2023·广东·高二期中）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点A0,1，点B在椭圆C上，求线段AB21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4nmile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8nmile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求椭圆C的方程；(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5:3，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点F1，F专题3.4椭圆的简单几何性质-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（上海市高二课时练习）离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆C1:x24+y23A．C1 B．C．相同 D．无法判断【解题思路】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁.【解答过程】在椭圆C1:x24+y在椭圆C2:x25+y∵e1=12>故选：A.2．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得a,b,c以及离心率的值，即可求解.【解答过程】将椭圆方程x2+2y其焦点在x轴上，a1=2，b1=1将椭圆方程2x2+y2=1整理得x2则c2=a故选:D．3．（3分）(2023·四川·高二期中（文））与椭圆9x2+4y2A．x225+y220=1 B．【解题思路】求出椭圆9x【解答过程】椭圆9x2+4y2设所求椭圆的长半轴长为a，则a=2故所求椭圆的标准方程为y2故选：B.4．（3分）(2023·上海·高二期末）下列关于曲线Γ:x2A．曲线Γ是椭圆 B．y的取值范围是[−3,3]C．关于直线y=x对称 D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得y4≤1，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线【解答过程】解：因为曲线Γ:所以曲线Γ不是椭圆，故A正确；因为曲线Γ:所以y4≤1，所以曲线Γ:x29+若曲线Γ:x2则点0,3也在曲线Γ:又09+9=9≠1，所以点0,3不在曲线所以曲线Γ:x2对于D，曲线Γ:x2则以±3,0,0,±1四点为顶点的四边形的面积为所以曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.故选：D.5．（3分）(2023·全国·高三阶段练习（理））椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P,Q均在A．32 B．22 C．12【解题思路】设P(x0,y0【解答过程】设P(x0,y0又x02a2+y0故选：B.6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆C:x2m+y215=1的右焦点，点A2,352在C上，直线AF与A．514 B．154 C．−13【解题思路】由题可得椭圆C:x216+y215【解答过程】由题可得22∴m=16，即椭圆C:x∴F1,0，直线AF方程为y=∴B0,−35设Px0,y0∴PA===116x∴当x0=4时，PA⋅故选：C.7．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（

A．13 B．12 C．22【解题思路】利用球的对称性，作出截面图，从而判断∴a=22【解答过程】如图，l1,l与底面交于点B,D，∴AC=2R=22,R=11,过C作CE//BD交l1,l2于在△ACE中，CEsin90o=ACsin60∴c=4那么椭圆中b=22，∴c=4∴e=c故选：B.8．（3分）(2023·内蒙古赤峰·三模（文））椭圆C:x24①过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点，则△AB②椭圆C上存在点P，使得PF③椭圆C的离心率为32④P为椭圆x24+y2=1一点，则以下选项正确的是（

）A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④【解题思路】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断①，根据椭圆的性质及余弦定理求∠F1PF2的最大值，进而确定其范围判断②，直接法求离心率判断③【解答过程】由题设，椭圆参数为a=2,b=1,c=3，且F1(−①由椭圆定义知：|AF1|+|AF②当P在y轴上时，|PF1|=|PF2|=a=2，而|F1F2|=2c=2③椭圆C的离心率为e=c④由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为(±1,0)，所以|PQ|∈[0,a+1]=[0,3]，故P,Q的最大距离为3，正确.故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为32，且过点(2,1)，则椭圆C的标准方程为（

A．x28+y22=1 B．【解题思路】分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情况求解，分别设出椭圆的方程，然后由离心率和过点(2,1)求解即可.【解答过程】①当椭圆C的焦点在x轴上时，设椭圆C的标准方程为x2由椭圆C的离心率为32，得a2=4b2因为椭圆过点(2,1)，所以44b2+1b2=1，②当椭圆C的焦点在y轴上时，设椭圆方程为y2由椭圆C的离心率为32，得m2=4n2因为椭圆过点(2,1)，所以14n2+4n2=1，故选：AC.10．（4分）(2023·吉林·高二开学考试）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的短轴长为2N+RM+R千米 B．椭圆的短轴长为C．椭圆的焦距为M−N千米 D．椭圆的长轴长为M+N+2R千米【解题思路】根据远地点以及近地点的距离，列出方程组a+c=M+Ra−c=N+R，可求得a=【解答过程】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则a+c=M+R解得a=M+N+2R所以b2故椭圆的短轴长为2N+R2a=M+N+2R,2c=M−N，故C正确，D正确,故选:ACD.11．（4分）(2023·山东滨州·高二期末）已知椭圆C的两个焦点分别为F1−2,0，F22,0，离心率为12A．椭圆C的方程为xB．PF2C．当PF1D．椭圆x24+【解题思路】根据离心率计算得到a=4，b=23，得到椭圆方程，计算PF2【解答过程】e=ca=12，c=2，故a=4，b=PF2的最大值为4+3PF1+PF椭圆x24+y2故选：AC.12．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（

A．该椭圆的离心率为3−12 C．该椭圆的焦距为32−6【解题思路】先求得BF1，结合椭圆的知识以及正弦定理求得【解答过程】sin60°+45°如图，A,B分别是椭圆的左､右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D因为BD=DF设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a+c=2因为∠A=60由正弦定理得2sin解得a=32+所以ca故选：BC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x240+y2【解题思路】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求k.【解答过程】因为椭圆x240+当椭圆的焦点在x轴上时，因为a2=40，b2=k，所以当椭圆的焦点在y轴上时，因为a2=k，b2=40，所以综上所述，k的值为31或49．故答案为：31或49.14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）以椭圆x225+y2【解题思路】求出椭圆x2【解答过程】椭圆x225+则该椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2则{a所以以此为四个顶点的椭圆的标准方程为y2故答案为：y215．（4分）(2023·福建省高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点为B0,b，右焦点为F【解题思路】设出M的坐标，由BF=2FM得BF=2FM，从而得到M3【解答过程】设M的坐标为x,y，由题知F(c,0)∴∵BF=2FM，∴∴c=2(x−c)−b=2y，即x=把点M的坐标代入椭圆的方程得3∴9c24a故答案为：3316．（4分）(2023·全国·高二单元测试）若F1、F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于①椭圆C的离心率为35；

②存在点A使得A③若AF2+BF2=8【解题思路】对于①，根据方程求出a,b,c，再求离心率，对于②，设A=(3cost,5sint)，表示出F1A,【解答过程】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为e=ca=对②，设A=(3cost,5sint)，得椭圆的参数方程为{x=3costy=5sint（t为参数），F1(0,4)，F2(0,−4)，所以F1A=(3cost,5对③，因为|AB|=12>2a=10，故③错误．对④，当A位于短轴端点时，此时△AF1F2的面积最大，所以故答案为：②④.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·全国·高二专题练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：(1)x2(2)4x【解题思路】把椭圆方程化为标准方程，结合a,b,c的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.【解答过程】(1)x2+9y2=9整理为：x29+y2=1，焦点在x轴上，则a=3，b=1，c=a2−b2=22(2)4x2+2y2a=22,b=2，所以c=2，长轴长为2a=42，短轴长为2b=4，离心率ca=2218．（6分）（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；(3)经过点P−23,1(4)与椭圆x24+【解题思路】（1）分焦点在x轴、焦点在y轴上，设椭圆方程并代入A点坐标可得答案；（2）根据a=2ca−c=3和（3）设方程为mx2+n（4）椭圆x24+y23=1的离心率是a2=4,b2【解答过程】（1）若焦点在x轴上，设方程为x2∵椭圆过点A3,0，∴9a2∵2a=3×2b，∴b=1，∴方程为x2若焦点在y轴上，设方程为x2∵椭圆过点A3,0，∴9b2又2a=3×2b，∴a=9，∴方程为x2综上所述，椭圆方程为x29+（2）由已知，有a=2ca−c=3解得a=23若焦点在y轴上，则x2若焦点在x轴上，x2∴所求椭圆方程为x212+（3）设方程为mx则有12m+n=13m+4n=1，解得m=则所求椭圆方程为x2（4）椭圆x24+y23=1当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是x2∴ca=1∴所求椭圆方程为x2当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为x2∴ca=1∴椭圆的标准方程为x2故所求椭圆标准方程为x28+19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C的离心率为23，焦点F1−2,0(1)求椭圆C的方程；(2)已知A−3,0、B3,0，PxP,yP是椭圆【解题思路】（1）根据已知条件求得c,a,b，从而求得椭圆C的方程.（2）由PA⋅PB<0【解答过程】（1）依题意，c=2,c所以椭圆C的方程为x2（2）依题意，PA=由于∠APB是钝角，所以PA⋅PB由于PxP,所以0<xP<3，且将②代入①得xP2−9+5−5所以xP的取值范围是0,320．（8分）（2023·广东·高二期中）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点A0,1，点B在椭圆C上，求线段AB【解题思路】（1）由题意可得2c=22，e=ca=2a=（2）设Bx【解答过程】(1)依题意，得2c=22⇒c=2所以b=a所以椭圆C的标准方程为x2(2)设Bx0,y所以x0由两点间的距离公式，得|AB=−y因为−2所以当y0=−1,x0=±21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4nmile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视