高考数学一轮复习考点探究与题型突破第65讲　成对数据的统计、分析(原卷版+解析)

第65讲成对数据的统计、分析1.变量的相关关系(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类：正相关和负相关.(3)线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.2.样本相关系数(1)相关系数r的计算变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：(2)相关系数r的性质①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型(1)经验回归方程与最小二乘法我们将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计，其中(2)利用决定系数R2刻画回归效果，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差.4.列联表与独立性检验(1)2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为xy合计y＝y1y＝y2x＝x1aba＋bx＝x2cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)临界值χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准.(3)独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828考点1成对数据的相关性[名师点睛]判断相关关系的两种方法：(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.(2)决定系数法：利用决定系数判定，R2越趋近1，拟合效果越好，相关性越强.[典例]1.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图1，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图2.由这两个散点图可以判断()图1图2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关2.(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有()A．经验回归直线必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0[举一反三]1.(2023·重庆诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是()A.利润率与人均销售额成正相关关系B.利润率与人均销售额成负相关关系C.利润率与人均销售额成正比例函数关系D.利润率与人均销售额成反比例函数关系2.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A.－1 B.0 C.－eq\f(1,2) D.14.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的决定系数R2为0.98B.模型2的决定系数R2为0.80C.模型3的决定系数R2为0.50D.模型4的决定系数R2为0.25考点2回归分析[名师点睛](1)求经验回归方程：利用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)求eq\o(b,\s\up6(^))；利用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))求eq\o(a,\s\up6(^))，写出经验回归方程.(2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好.(3)非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法①若eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))eq\r(x)，设t＝eq\r(x)，则eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；②若满足对数式：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))lnx，设t＝lnx，则eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；③若满足指数式：y＝c1ec2x，两边取对数解lny＝lnc1＋c2x，设z＝lny，a＝lnc1，b＝c2，则z＝a＋bx.[典例](2023·广州模拟)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示：(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)求y关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少.附：相关系数＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))，经验回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).[举一反三]1．(2023·湖北九师联盟联考)下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表．x23456y3.44.25.15.56.8由上表可得经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为()A．7B．8C．9D．102．用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝lny，其变换后得到经验回归方程为z＝0.5x＋2，则c等于()A．0.5B．e0.5C．2D．e2考点3独立性检验[名师点睛]1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表：(2)根据公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)计算χ2；(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.[典例](2023·全国Ⅲ卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，[举一反三]1．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：男女合计爱好ab73不爱好c25合计74则a－b－c等于()A．7B．8C．9D．102．(多选)某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1.免疫不免疫合计注射疫苗101020未注射疫苗63440合计164460(表1)α0.100.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828(表2)则下列说法中正确的是()A．χ2≈8.35B．P(χ2≥6.635)≈0.001C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系D．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系3.(2023·太原模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：μg/m3)，整理数据得到下表：SO2的浓度空气质量等级[0，50](50，150](150，475]1(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；(2)完成下面的2×2列联表，SO2的浓度空气质量[0，150](150，475]合计空气质量好空气质量不好合计(3)根据(2)中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？第65讲成对数据的统计、分析1.变量的相关关系(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类：正相关和负相关.(3)线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.2.样本相关系数(1)相关系数r的计算变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：(2)相关系数r的性质①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型(1)经验回归方程与最小二乘法我们将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计，其中(2)利用决定系数R2刻画回归效果，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差.4.列联表与独立性检验(1)2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为xy合计y＝y1y＝y2x＝x1aba＋bx＝x2cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)临界值χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准.(3)独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828考点1成对数据的相关性[名师点睛]判断相关关系的两种方法：(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.(2)决定系数法：利用决定系数判定，R2越趋近1，拟合效果越好，相关性越强.[典例]1.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图1，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图2.由这两个散点图可以判断()图1图2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案C解析由题图可得两组数据均线性相关，且图1的经验回归直线的斜率为负，图2的经验回归直线的斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．2.(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有()A．经验回归直线必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0答案ACD解析对于A，经验回归直线必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故A正确；对于B，经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B不正确；对于C，当样本相关系数r>0时，则两个变量正相关，故C正确；对于D，如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0，故D正确．[举一反三]1.(2023·重庆诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是()A.利润率与人均销售额成正相关关系B.利润率与人均销售额成负相关关系C.利润率与人均销售额成正比例函数关系D.利润率与人均销售额成反比例函数关系答案A解析由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误.2.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()答案D解析观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A.－1 B.0 C.－eq\f(1,2) D.1答案A解析因为样本点在直线y＝－eq\f(1,2)x＋1上，呈现完全负相关，样本相关系数为－1.4.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的决定系数R2为0.98B.模型2的决定系数R2为0.80C.模型3的决定系数R2为0.50D.模型4的决定系数R2为0.25答案A解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的决定系数R2越接近1，模型拟合效果越好，在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型1.考点2回归分析[名师点睛](1)求经验回归方程：利用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)求eq\o(b,\s\up6(^))；利用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))求eq\o(a,\s\up6(^))，写出经验回归方程.(2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好.(3)非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法①若eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))eq\r(x)，设t＝eq\r(x)，则eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；②若满足对数式：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))lnx，设t＝lnx，则eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；③若满足指数式：y＝c1ec2x，两边取对数解lny＝lnc1＋c2x，设z＝lny，a＝lnc1，b＝c2，则z＝a＋bx.[典例](2023·广州模拟)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示：(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)求y关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少.附：相关系数＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))，经验回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5.eq\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×1＋3×2＝14，eq\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，eq\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10.＝eq\f(14,\r(20)×\r(10))＝eq\f(7\r(2),10)>0.75，∴可用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(14,20)＝0.7，则eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝5－0.7×5＝1.5，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.5.当x＝12时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×12＋1.5＝9.9，∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克.当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝39.6，则预测2025年该地区的经济收入为39.6百万元[举一反三]1．(2023·湖北九师联盟联考)下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表．x23456y3.44.25.15.56.8由上表可得经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为()A．7B．8C．9D．10答案D解析由表格，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，因为经验回归直线恒过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以5＝0.81×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝1.76，所以经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋1.76，由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤eq\f(824,81)≈10.17，由于x∈N*，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为10.2．用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝lny，其变换后得到经验回归方程为z＝0.5x＋2，则c等于()A．0.5B．e0.5C．2D．e2答案D解析因为y＝cekx，两边取对数得，lny＝ln(cekx)＝lnc＋lnekx＝kx＋lnc，则z＝kx＋lnc，而z＝0.5x＋2，于是得lnc＝2，即c＝e2.考点3独立性检验[名师点睛]1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表：(2)根据公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)计算χ2；(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.[典例](2023·全国Ⅲ卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，解(1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为eq\f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228零假设为H0：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.根据列联表得χ2＝eq\f(100×（33×8－22×37）2,55×45×70×30)≈5.820>3.841＝xα.根据小概率值α＝0.050的χ2独立性检验，可推断H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.[举一反三]1．为了解