高考数学大题精做专题05正态分布与原则(第四篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第四篇概率与统计专题05正态分布与三原则类型对应典例非标准正态分布转化为标准正态分布的应用计算概率典例1非标准正态分布应用计算概率典例2平均值（期望）和方差与正态分布的联系典例3三原则的应用判断典例4正态分布与线性相关相联系典例5正态分布与频率分布直方图想联系典例6【典例1】【河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位?某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布.)考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当时，令，则.(2)当时，，，.【思路引导】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩的分布，利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线.（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为，由此判断出甲能获得高薪职位.【典例2】【河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试】2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：组别(单位：百元）频数31120272613(1)由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价，μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求；(2)在(1)的条件下，该公司为增加销售额，特别为这100家超市制定如下抽奖方案：①令m表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”，其中.若，则该超市获得1次抽奖机会；，则该超市获得2次抽奖机会；，则该超市获得3次抽奖机会；，则该超市获得4次抽奖机会；，则该超市获得5次抽奖机会；，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为.设超市A参加了抽查，且超市A在3天内进货总价百元.记X（单位：元)表示超市A获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望.附参考数据与公式：，若，则，，.【思路引导】（1）利用频数分布表，计算出平均数，根据题目所给参考数据求得，根据正态分布的对称性以及题目所给参考数据，求得指定区间的概率.（2）先计算出的值，由此确定抽奖次数，根据二项分布概率计算公式，计算出概率，结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和数学期望.【典例3】【河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高三12月联考】为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量满足正态分布在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.（参考数据：，，，，）【思路引导】（1）由频率分布直方图结合均值和方差公式可求出和；（2）由正态分布求得再根据n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式求有3名乘客候车时间超过15分钟的概率从而得出结论.【典例4】【辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量（分钟）表示步行到校的时间，可以认为．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量，则％，％，％．【思路引导】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，求出％．若骑车到校，则不迟到概率记为，（％，％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，％．比较即可做出选择；（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出和，再求的期望与方差.【典例5】【九师联盟2019-2020学年高三12月质量检测数学】每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身高都是有差异的，我们国家会定期进行0～18岁孩子身高体重全国性调查，然后根据这个调查结果制定出相应的各个年龄段的身高标准.一般测量出一个孩子的身高，对照一下身高体重表，如果在平均值标准差以内的就说明你的孩子身高是正常的，否则说明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根据科学研究0～18岁的孩子的身高服从正态分布.在某城市随机抽取100名18岁男大学生得到其身高（）的数据.（1）记表示随机抽取的100名18岁男大学生身高的数据在之内的人数，求及的数学期望.（2）若18岁男大学生身高的数据在之内，则说明孩子的身高是正常的.（i）请用统计学的知识分析该市18岁男大学生身高的情况；（ii）下面是抽取的100名18岁男大学生中20名大学生身高（）的数据：1.651.621.741.821.681.721.751.661.731.671.861.811.741.691.761.771.691.781.631.68经计算得，，其中为抽取的第个学生的身高，.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和的值.（精确到0.01）附：若随机变量服从正态分布，则，.【思路引导】（1）由原则知抽取的名岁男大学生身高的数据在之外的概率为，得到，由二项分布的知识可求得所求概率和期望；（2）（i）由（1）中身高正常的概率可得统计结论；（ii）首先确定剔除数据为，计算剩余数据的平均值和标准差即为和的估计值.【典例6】【山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考】某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中的值；(2)技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在(187.8，212.2)内的概率；(3)设生产成本为y元，质量指标值为，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．参考数据：,．【思路引导】（1）根据频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1可求得a；（2）利用频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求得平均数，再利用正态分布中的得解；（3）根据分段函数的解析式，将每组区间的中间值代入相应的解析式所得的值乘以每组小矩形的面积的积再求和可得解.【针对训练】1.【山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考】2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：得分频数2515020025022510050（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于“的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）2040概率现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．附：①；②若，则，，，2.【山东省烟台市2019届高三高考一模考试】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求．(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0．0001)以及的数学期望．参考数据：．若，则．3.【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)】某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从农场存储的优质棉花中随机抽取了处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：）的均值，收集到个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布，其中.①利用正态分布，求；②纺织厂将农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取处测量其纤维均值，数据如下：若个样本中纤维均值的频率不低于①中，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由.附：若，则4.【河南省开封市2019届高三第三次模拟数学】为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值.（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行判定（P表示相应事件的概率）：①P(μ−σ<X⩽μ+σ)⩾0.6826；②P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)⩾0.9544；③P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)⩾0.9974.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备M的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在(μ−2σ⋅μ+2σ)之外的零件认定为是“次品”.①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数Y的数学期望E(Y)；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数Z的数学期望E(Z).5.【河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月】第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.（参考数据：；；.）6.【河北省2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学】近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．猪生长的三个阶段阶段幼年期成长期成年期重量（Kg）根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．（参考数据：若，则，，）7.【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数】从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作，）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）若使的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？（ii）若该企业又生产了这种产品件，且每件产品相互独立，则这件产品质量指标值不低于的件数最有可能是多少？附：参考数据与公式：，；若，则①；②；③．8.【2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模】某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为、，则“尺寸误差”为，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是，、，、，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．（ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元，求的分布列及数学期望．（ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量服从正态分布，则；，，．9.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第四篇概率与统计专题05正态分布与三原则类型对应典例非标准正态分布转化为标准正态分布的应用计算概率典例1非标准正态分布应用计算概率典例2平均值（期望）和方差与正态分布的联系典例3三原则的应用判断典例4正态分布与线性相关相联系典例5正态分布与频率分布直方图想联系典例6【典例1】【河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位?某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布.)考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当时，令，则.(2)当时，，，.【思路引导】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩的分布，利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线.（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为，由此判断出甲能获得高薪职位.解：(1)设考生成绩为，则依题意应服从正态分布，即.令，则.由分及其以上的高分考生名可得即，亦即.则，解得，设最低录取分数线为，则则，.即最低录取分数线为分或分.(2)考生甲的成绩，所以能被录取.，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以他能获得高薪职位.【典例2】【河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试】2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：组别(单位：百元）频数31120272613(1)由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价，μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求；(2)在(1)的条件下，该公司为增加销售额，特别为这100家超市制定如下抽奖方案：①令m表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”，其中.若，则该超市获得1次抽奖机会；，则该超市获得2次抽奖机会；，则该超市获得3次抽奖机会；，则该超市获得4次抽奖机会；，则该超市获得5次抽奖机会；，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为.设超市A参加了抽查，且超市A在3天内进货总价百元.记X（单位：元)表示超市A获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望.附参考数据与公式：，若，则，，.【思路引导】（1）利用频数分布表，计算出平均数，根据题目所给参考数据求得，根据正态分布的对称性以及题目所给参考数据，求得指定区间的概率.（2）先计算出的值，由此确定抽奖次数，根据二项分布概率计算公式，计算出概率，结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和数学期望.解：（1）由题意得，因为，所以，，所以，，，所以，，（2）因为，所以，所以，超市A获得4次抽奖机会，从而，X的可能取值为0，1000，2000，3000，4000，又因为每次抽奖不中的概率为，所以，，，，.所以，X的分布列为X01000200030004000P所以，X的数学期望为元.【典例3】【河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高三12月联考】为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量满足正态分布在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的。在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.（参考数据：，，，，）【思路引导】（1）由频率分布直方图结合均值和方差公式可求出和；（2）由正态分布求得再根据n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式求有3名乘客候车时间超过15分钟的概率从而得出结论.解：（1），（2），设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为，，，准点率正常【典例4】【辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量（分钟）表示步行到校的时间，可以认为．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量，则％，％，％．【思路引导】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，求出％．若骑车到校，则不迟到概率记为，（％，％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，％．比较即可做出选择；（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出和，再求的期望与方差.解：（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，取，，则，，％．若骑车到校，则不迟到的概率记为，取，，则，，，则％，％，∴（％，％）若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，取，，则，，％．综上，三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为％，∴，∴％，％．又∵，∴（元），（元2）【典例5】【九师联盟2019-2020学年高三12月质量检测数学】每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身高都是有差异的，我们国家会定期进行0～18岁孩子身高体重全国性调查，然后根据这个调查结果制定出相应的各个年龄段的身高标准.一般测量出一个孩子的身高，对照一下身高体重表，如果在平均值标准差以内的就说明你的孩子身高是正常的，否则说明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根据科学研究0～18岁的孩子的身高服从正态分布.在某城市随机抽取100名18岁男大学生得到其身高（）的数据.（1）记表示随机抽取的100名18岁男大学生身高的数据在之内的人数，求及的数学期望.（2）若18岁男大学生身高的数据在之内，则说明孩子的身高是正常的.（i）请用统计学的知识分析该市18岁男大学生身高的情况；（ii）下面是抽取的100名18岁男大学生中20名大学生身高（）的数据：1.651.621.741.821.681.721.751.661.731.671.861.811.741.691.761.771.691.781.631.68经计算得，，其中为抽取的第个学生的身高，.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和的值.（精确到0.01）附：若随机变量服从正态分布，则，.【思路引导】（1）由原则知抽取的名岁男大学生身高的数据在之外的概率为，得到，由二项分布的知识可求得所求概率和期望；（2）（i）由（1）中身高正常的概率可得统计结论；（ii）首先确定剔除数据为，计算剩余数据的平均值和标准差即为和的估计值.解：（1）抽取的名岁男大学生身高的数据在之内的概率为在之外的概率为：，故，（2）（i）由（1）知，岁男大学生的身高是正常的概率为在该市中，岁男大学生的身高是正常的比例为（ii）当，时，区间为，故除去的数据为剩下数据的平均数为：的估计值为又，剔除剩下数据的样本方差为：其标准差为的估计值为典例6【山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考】某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中的值；(2)技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在(187.8，212.2)内的概率；(3)设生产成本为y元，质量指标值为，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．参考数据：,．【思路引导】（1）根据频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1可求得a；（2）利用频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求得平均数，再利用正态分布中的得解；（3）根据分段函数的解析式，将每组区间的中间值代入相应的解析式所得的值乘以每组小矩形的面积的积再求和可得解.解：（1）由，解得.（2）依题意，，故所以故测量数据落在内的概率约为.（3）根据题意得故生产该疫苗的平均成本为75.04.【针对训练】1.【山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考】2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：得分频数2515020025022510050（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于“的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）2040概率现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．附：①；②若，则，，，【思路引导】(1)先求出，再根据正态分布的知识求出即可；(2)先求出的所有可能情况元，再求的的分布列及数学期望即可.解：（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得；又，，所以．（2）根据题意可以得出所得话费的可能值有20，40，60，80元，得20元的情况为低于平均值，概率，得40元的情况有一次机会获得40元，两次机会获得2个20元，概率，得60元的情况为两次机会，一次40元，一次20元，概率，得80元的情况为两次机会，都是40元，概率，所以变量的分布列为：20406080所以其期望为．2.【山东省烟台市2019届高三高考一模考试】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求．(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0．0001)以及的数学期望．参考数据：．若，则．【思路引导】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知，，则，求出，结合已知公式求解．（ⅱ）由（i）知，可得，由求解，再由正态分布的期望公式求的数学期望．解：（1），；（2）（i）由题知，，∴，．∴；（ⅱ）由（i）知，可得，.∴的数学期望.3.【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)】某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从农场存储的优质棉花中随机抽取了处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：）的均值，收集到个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布，其中.①利用正态分布，求；②纺织厂将农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取处测量其纤维均值，数据如下：若个样本中纤维均值的频率不低于①中，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由.附：若，则【思路引导】（1）将数据代入公式，即可求解．（2）①根据正态分布的性质及条件，即可求解；②，分析表中数据可得>0.97715，满足条件，即可做出判断．解：（1）（2）棉花的纤维长度，其中，①利用正态分布，则②，故>0.97715故满足条件，所以认为该批优质棉花合格.4.【河南省开封市2019届高三第三次模拟数学】为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值.（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行判定（P表示相应事件的概率）：①P(μ−σ<X⩽μ+σ)⩾0.6826；②P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)⩾0.9544；③P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)⩾0.9974.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备M的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在(μ−2σ⋅μ+2σ)之外的零件认定为是“次品”.①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数Y的数学期望E(Y)；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数Z的数学期望E(Z).【思路引导】（I）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备M的性能等级。（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出E(Y)。②根据古典概型求概率的公式，可以求出Z的每种取值的概率，进而求出E(Z)。解：（I）μ−σ=62.8，μ+σ=67.2，μ−2σ=60.6，μ+2σ=69.4，μ−3σ=由图表知，P(μ−σ<X≤μ+σ)=80P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=94100=0.94<0.9544所以该设备M的级别为丙级.（Ⅱ）①从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是6100依题意，Y～B(2,350)②从100件样品中任取2件，次品数Z的可能取值为0，1，2，P(Z=0)=C60C94故E(Z)=0×14575.【河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月】第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.（参考数据：；；.）【思路引导】（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），计算P（51＜X＜93）即可；（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．解：（1）由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则X服从正态分布，所以；（2）显然，，所以所有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15304560P所以，需要的总金额为：.6.【河北省2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学】近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．猪生长的三个阶段阶段幼年期成长期成年期重量（Kg）根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．（参考数据：若，则，，）【思路引导】（1）根据正态分布的相关知识进行计算即可；（2）根据甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，，分别求出，，，写出分布列和期望即可.解：（1）由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为∴，∴（头）；同理，，∴（头）；，∴（头）.所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，.，，，所以的分布列为：所以（元），由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为（元）.7.【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数】从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作，）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）若使的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？（ii）若该企业又生产了这种产品件，且每件产品相互独立，则这件产品质量指标值不低于的件数最有可能是多少？附：参考数据与公式：，；若，则①；②；③．【思路引导】（Ⅰ）根据频率分布直方图估计平均数的方法可直接求得；利用方差计算公式可求得样本方差；（Ⅱ）（i）根据原则可验证出，求得即为结果；（ii）根据原则可得到，从而得到这产品的质量指标值不低于的件数服从于，；根据二项分布概率公式构造不等式，解不等式可求得，从而可得结果.解：（Ⅰ）（Ⅱ）由题意知：（i）∴时，满足题意即合格标准的质量指标值约为：（ii）由可知每件产品的质量指标值不低于