人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题05利用基本不等式求最值(原卷版+解析)

专题05利用基本不等式求最值考点预测：1.重要不等式，有，当且仅当时，等号成立.2.基本不等式如果，，则，当且仅当时，等号成立.叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.【典型例题】例1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，求的最小值．例2．(2023·山东·惠民县第二中学高一阶段练习）已知正数满足.(1)求的取值范围；(2)求的最小值.例3．(2023·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？例4．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）（1）已知，，求的取值范围；（2）已知x，y，z都是正数，求证：．【过关测试】一、单选题1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最大值为（

）A． B． C． D．2．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．3．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．(2023·全国·高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（

）A．20m B．50m C．m D．100m5．(2023·全国·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立6．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．(2023·全国·高一课时练习）若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（

）A． B．3 C． D．1二、多选题9．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）下列命题中，真命题的是（

）A．，都有 B．，使得C．任意非零实数，都有 D．函数的最小值为10．(2023·全国·高一专题练习）设，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．11．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值12．(2023·湖北黄石·高一期末）下列说法正确的有（

）A．若，则的最大值是-1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是三、填空题13．(2023·河南·高一阶段练习）若，则的最小值为___________.14．(2023·全国·高一阶段练习）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．15．(2023·全国·高一单元测试）已知为正实数，则的最小值为__________．16．(2023·四川南充·高一期末（文））若实数，满足，则的取值范围为______．四、解答题17．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）（1）求函数的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.18．(2023·福建省永泰县第一中学高一开学考试）（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正数，且满足，求的最小值.19．(2023·全国·高一课时练习）已知a，b，c均为正实数.(1)求证：.(2)若，求证：.20．(2023·全国·高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．21．(2023·河南·高一阶段练习）已知，且.(1)求的最小值.(2)是否存在正实数，使得？请说明理由.22．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）设函数.(1)解关于x的不等式；(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.专题05利用基本不等式求最值考点预测：1.重要不等式，有，当且仅当时，等号成立.2.基本不等式如果，，则，当且仅当时，等号成立.叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.【典型例题】例1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，求的最小值．【解析】（1）当时，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为；（2）由得：，（当且仅当，即，时取等号），，即的最小值为.例2．(2023·山东·惠民县第二中学高一阶段练习）已知正数满足.(1)求的取值范围；(2)求的最小值.【解析】（1）因为是正数，且，所以由基本不等式得，即，所以，当且仅当时，取等号；因为是正数，所以，所以的取值范围；（2）因为正数满足，所以，当且仅当即时，取等号，所以的最小值为18例3．(2023·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【解析】（1）由题意有，得故∴（2）由（1）知：当且仅当即时，有最大值.答:2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.例4．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）（1）已知，，求的取值范围；（2）已知x，y，z都是正数，求证：．【解析】（1）令所以，得所以因为，所以，所以，即故的取值范围为．（2）证明：由x，y，z都是正数，则，，相加可得，，当且仅当时，取得等号．【过关测试】一、单选题1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最大值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得：；（当且仅当，即时取等号），的最大值为.故选：D.2．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】对于A：因为，为非零实数，所以，则，即，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：当、异号时，故B错误；对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B3．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号；故选：C4．(2023·全国·高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（

）A．20m B．50m C．m D．100m答案：B【解析】设，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小．故选：B．5．(2023·全国·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立答案：D【解析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．6．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．7．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】至少存在一组使得成立，即，又由两个正实数满足，可得，当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.8．(2023·全国·高一课时练习）若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（

）A． B．3 C． D．1答案：C【解析】∵不等式对任意正数a，b恒成立，∴（，）恒成立，∵，当且仅当且，即时等号成立.∴.故选：C.二、多选题9．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）下列命题中，真命题的是（

）A．，都有 B．，使得C．任意非零实数，都有 D．函数的最小值为答案：AB【解析】对于A，，所以，都有成立，故为真命题.对于B，显然当时，成立，故为真命题.对于C，当时，则，故不成立，为假命题.对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题.故选:AB.10．(2023·全国·高一专题练习）设，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．答案：ABC【解析】∵，，∴，∴，∴.，∴，故A正确；，∴，故B正确；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故C正确；∵，∴，∵，∴，，∴，∴，故D不正确.故选：ABC11．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值答案：BCD【解析】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确.故选：BCD.12．(2023·湖北黄石·高一期末）下列说法正确的有（

）A．若，则的最大值是-1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是答案：ABD【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．三、填空题13．(2023·河南·高一阶段练习）若，则的最小值为___________.答案：【解析】，当且仅当时，取得最小值.故答案为：.14．(2023·全国·高一阶段练习）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．答案：【解析】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），因为“，不等式恒成立”，故,故答案为：15．(2023·全国·高一单元测试）已知为正实数，则的最小值为__________．答案：6【解析】由题得，设，则.当且仅当时取等.所以的最小值为6.故答案为：616．(2023·四川南充·高一期末（文））若实数，满足，则的取值范围为______．答案：【解析】由于，(当且仅当时取等号)，∴，又，所以，故，即的取值范围为.故答案为：．四、解答题17．(2023·江苏省如皋中学高一开学考试）（1）求函数的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【解析】（1），，，当且仅当时，即时，函数有最小值；（2）由题意，，又，，，当且仅当，即是等号成立，结合，知时，有最小值为.18．(2023·福建省永泰县第一中学高一开学考试）（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正数，且满足，求的最小值.【解析】（1）因为，即，由基本不等式可得，即当且仅当时，即，等号成立.所以的最大值为（2）由基本不等式，可得当且仅当，即当时，等号成立，所以的最小值为19．(20