高考数学第一轮复习附 高考新题型讲义及试题

【标题】高考新题型题型（一）多项选择题的特点及求解策略多项选择题是新高考中新出现的选择题题型，最大的特点是“在每道题给出的选项中，有多个选项符合题目要求”，此外，还具有考查容量大、考查知识点全面、解题思路多样化的特点.近几年新高考试题考查的多选题大致分为以下五种类型：（1）概念理解（辨析）类；（2）性质、定理应用类；（3）思想方法应用类；（4）数据、信息分析类；（5）创新迁移类.一、概念理解（辨析）类概念理解（辨析）类多选题就是根据不同概念、定义、定理、公理间的联系与区别等命制的题目.解决该类型的问题，需要对概念、定理等充分理解，并据此对选项进行逐项推理论证.【例1】（1）（2020·新高考Ⅰ卷）已知曲线C：mx2＋ny2＝1. （）A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为nC.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±-mD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线（2）袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个白球、2个黑球，从袋中有放回地摸取两次，每次摸取1个球，事件甲表示“第一次摸到白球”，事件乙表示“第二次摸到黑球”，事件丙表示“两次都摸到白球”，则 （）A.甲与乙互斥B.乙与丙互斥C.甲与乙相互独立 D.甲与乙互为对立解析（1）对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±-mnx，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1（2）对于A，第一次摸到白球，第二次摸到黑球时，甲、乙同时发生，即甲、乙不是互斥事件，A错误；对于B，事件“第二次摸到黑球”与“两次都摸到白球”不会同时发生，是互斥事件，B正确；对于C，由于是有放回地随机摸取，所以甲、乙是相互独立事件，C正确；对于D，事件甲和乙会同时发生，即甲、乙不是对立事件，D错误.故选B、C.答案（1）ACD（2）BC点评概念理解（辨析）类多选题的思维步骤①理解透彻研究对象的本质；②根据已知条件，将题目涉及的相关模块知识进行分类梳理；③把题目中出现的不同对象按特征进行逐类分析，辨明异同；④利用相关定义、定理、性质等逐项判断，选出符合题设要求的选项.二、性质、定理应用类性质、定理应用类多选题就是根据题中已知条件，通过应用相应的性质、定理对所研究的问题进行推理论证与分析，从而做出判断的问题.【例2】（1）若P是双曲线C：x29－y2m＝1上一点，C的一个焦点坐标为F（4，0），则下列结论中正确的是A.m＝5B.渐近线方程为y＝±73C.｜PF｜的最小值是1D.焦点到渐近线的距离是7（2）（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点2π3,0中心对称，则 A.f（x）在区间0,B.f（x）在区间-πC.直线x＝7π6是曲线y＝f（x）D.直线y＝32－x是曲线y＝f（x）解析（1）对于A，m＋9＝42，所以m＝7，故错误；对于B，渐近线方程y＝±bax＝±73x，故正确；对于C，｜PF｜的最小值是c－a＝4－3＝1，故正确；对于D，焦点到渐近线的距离是bca2+b2＝b＝7，故正确.（2）由题意，得f2π3＝sin4π3+φ＝0，所以4π3＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－4π3＋kπ，k∈Z.又0＜φ＜π，所以φ＝2π3.故f（x）＝sin2x+2π3.选项A，当x∈0,5π12时，u＝2x＋2π3∈2π3,3π2.由y＝sinu的图象，知y＝f（x）在区间0,5π12上单调递减，故正确.选项B，当x∈-π12,11π12时，u＝2x＋2π3∈π2,5π2.由y＝sinu的图象，知y＝f（x）在区间-π12,11π12内只有1个极值点，故错误.选项C，当x＝7π6时，2x＋2π3＝3π，则f7π6＝0，所以直线x＝7π6不是曲线y＝f（x）的对称轴，故错误.选项D，令f'（x）＝2cos2x+2π3＝－1，得cos2x+2π3＝－12，则2x＋2π3＝2π3＋2kπ，k∈Z或2x＋2π3＝4π3＋2kπ，k∈Z，解得x＝kπ，k∈Z或答案（1）BCD（2）AD点评性质、定理应用类多选题的思维步骤①确定对象：即根据已知和选项确定该题的模块知识归属和研究对象；②逐项判断：即根据各个选项涉及内容的性质，如函数的性质、不等式的性质、数列的性质等，采用相应的方法对选项逐一进行判断；③确定结果：即根据各个选项的判断确定正确结果.三、思想方法应用类【例3】（1）（2022·新高考Ⅱ卷）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 （）A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1（2）设函数f（x）＝min{｜x－2｜，x2，｜x＋2｜}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值，下列说法正确的有 （）A.函数f（x）为偶函数B.当x∈[1，＋∞）时，f（x－2）≤f（x）C.当x∈R时，f（f（x））≤f（x）D.当x∈[－4，4]时，｜f（x）－2｜≥f（x）解析（1）对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝(x+y)24－(x-y)24，所以（x＋y）2－3(x+y)24-(x-y)24＝1，即1＝(x+y)24＋3(x-y)24≥(x+y)24，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy（2）由题设知，f（x）＝min{｜x－2｜，x2，｜x＋2｜}＝|x+2|,x由图知f（x）为偶函数，故A正确；当x∈（3，＋∞）时，f（x－2）＝｜x－4｜，f（x）＝｜x－2｜，f（x－2）＜f（x）；当x∈[1，3]时，f（x－2）＝（x－2）2，f（x）＝｜x－2｜，易得f（x－2）≤f（x），故B正确；当x∈{0，1，2，3}时，f（f（x））＝f（x）；当x∈（0，1）时，0＜f（x）＜x＜1，则f（f（x））＝[f（x）]2＜f（x）；当x∈（1，2）时，0＜f（x）＜1＜x＜2，当x∈（2，3）时，0＜f（x）＜1＜2＜x＜3，则当x∈（1，2）∪（2，3）时，均有0＜f（x）＜1，所以f（f（x））＝（x－2）2＜f（x）＝｜x－2｜；当x∈（3，＋∞）时，1＜f（x）＜x，则f（f（x））＝｜｜x－2｜－2｜＜f（x）＝｜x－2｜.所以f（f（x））≤f（x）在[0，＋∞）上恒成立.根据偶函数图象的对称性，得f（f（x））≤f（x）在（－∞，0）上也成立，故C正确；在[－4，4]上，当x＝4时，｜f（4）－2｜＝｜2－2｜＝0＜f（4）＝2，故D错误.故选A、B、C.答案（1）BC（2）ABC点评思想方法应用类多选题的思维步骤①熟悉各类数学思想方法解决问题的特点和规律；②分析题目所考查的知识点及题目的设问形式，确定解题大致所用的知识、思想和方法；③以题目中的知识点为载体，重点考查数学思想方法的应用能力.四、数据、信息分析类数据、信息分析类多选题一般涉及到概率与统计中的图表识读、信息数据的提取、整理、分析，并根据变化趋势进行分析判断的问题.【例4】（1）（2021·新高考Ⅱ卷）下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是 （）A.样本x1，x2，…，xn的标准差B.样本x1，x2，…，xn的中位数C.样本x1，x2，…，xn的极差D.样本x1，x2，…，xn的平均数（2）房地产市场与城市经济发展密切相关，房屋销售量与房价有密切关系.如图是某市过去一年中七个楼盘的成交均价与成交面积折线图，据此判断，下列结论中正确的是 （）A.这七个楼盘中，每个楼盘的成交均价都在[8880，12000]内B.这七个楼盘中，楼盘2的成交总额最大C.这七个楼盘成交面积的平均值低于20000米2D.这七个楼盘的成交面积与成交均价成负相关解析（1）能够度量样本离散程度的统计量有：极差、方差、标准差.故选A、C.（2）由楼盘2，3，4，5的数据可知，A错误；计算七个楼盘各自的成交总额可知，B正确；成交面积的平均值为17×（11200＋38900＋42100＋24000＋19700＋8000＋1100）＝1450007＞20000，C错误；七个楼盘整体呈现成交均价越低，成交面积越大的趋势，D正确.故选答案（1）AC（2）BD点评数据、信息分析类多选题的思维步骤①提取数据：根据选项研究的问题，结合统计图表的功能，从统计图表中提取相应的数据；②分析数据：分析所提取数据的特征，如变化率、变化趋势、最值等，根据各选项研究的问题进行分析计算和推理；③确定选项：根据数据分析的结果逐项判断各选项的正误，从而得出正确结论.五、创新迁移类创新迁移类多选题是利用已有的数学知识判断新定义（概念、运算）下的选项是否正确的一类题目.其目的是考查学生的创新思维能力及迁移应用能力.【例5】已知集合M＝{（x，y）｜y＝f（x）}，若∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合：M1＝{（x，y）｜y＝x2＋1}，M2＝{（x，y）｜y＝x+1}，M3＝{（x，y）｜y＝ex}，M4＝{（x，y）｜y＝sinx＋1}.其中是“互垂点集”的集合为 （A.M1 B.M2C.M3 D.M4解析由题意得，∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，即在M中，对于任意一点P（x1，y1），总存在另一个点P'（x2，y2），使得OP⊥OP'（O（0，0））.对于M1，在y＝x2＋1的图象中，当P点坐标为（0，1）时，不存在点P'，使得OP⊥OP'，所以M1不是“互垂点集”.对于M2，在平面直角坐标系中作出y＝x+1的图象（图略），将坐标轴进行任意旋转，x轴，y轴均与函数图象有交点，所以在M2中，对任意一点P（x1，y1），总存在另一个点P'（x2，y2），使得OP⊥OP'，所以M2是“互垂点集”.对于M3，在y＝ex的图象中，当P点坐标为（0，1）时，不存在对应的点P'，使得OP⊥OP'，所以M3不是“互垂点集”.对于M4，在平面直角坐标系中作出y＝sinx＋1的图象（图略），将坐标轴进行任意旋转，x轴，y轴与函数图象均有交点，所以M4是“互垂点集”.答案BD点评创新迁移类多选题的思维步骤创新迁移类问题大致可以分为两种：一种是定义没有学习过的内容（概念、运算等）；另一种是定义新的形式，内涵还是原来学习过的内容.解第一种新定义问题重在“按部就班”，直接利用新定义计算即可；解第二种新定义问题重在转化与化归.总之，由于新高考多选题的赋分标准（全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）可知，多选题“得分更容易，得满分更难”.所以求解多项选择题更要讲究策略与方法，常用方法为：（1）选项分析法：通过分析多选题中选项之间的关系，从而确定正确的选项.分析选项时，注意以下几个方面：①注意内容相互对立的选项；②注意相近选项或类似选项；③注意有承接关系或递进关系的选项.（2）宁缺毋滥法：做多选题时，一般先选出有把握的选项，在有足够把握确定还有其他正确选项时才继续选择，否则不选，要坚持宁缺毋滥的原则.1.已知函数f（x）＝log2（1＋4x）－x，则下列说法正确的是 （）A.函数f（x）是偶函数B.函数f（x）是奇函数C.函数f（x）在（－∞，0]上为增函数D.函数f（x）的值域为[1，＋∞）解析：AD根据题意，函数f（x）＝log2（1＋4x）－x，其定义域为R，有f（－x）＝log21+14x＋x＝log2（1＋4x）－x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，则A正确，B错误；对于C，f（－1）＝1og252＞1＝f（0），f（x）在（－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f（x）＝log2（1＋4x）－x＝log212x+2x，设t＝12x＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f（x）≥log22＝1，即函数的值域为[12.已知数列{an}满足a2＝3，an·an＋1＝3n（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和，则 （）A.{an}是等比数列B.{a2n}是等比数列C.S2024＝2（31012－1）D.{an}中存在不相等的三项构成等差数列解析：BC数列{an}中，n∈N*，a2＝3，an·an＋1＝3n，则a1＝1，an+2an＝an+1an+2anan+1＝3n+13n＝3，因此数列{a2n－1}是以a1＝1为首项，公比为3的等比数列，a2n－1＝3n－1，数列{a2n}是以a2＝3为首项，公比为3的等比数列，a2n＝3n，B正确；因为a2a1＝3，a3a2＝1，则数列{an}不是等比数列，A不正确；S2024＝（a1＋a3＋a5＋…＋a2023）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a2024）＝31012-12＋3(31012-1)2＝2（31012－1），C正确；假定{an}中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为3k，3l，3m，且0≤k＜l＜m，k，l，m∈N，则有3k＋3m＝2×3l⇔13l-k＋3m－l＝3.如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE与棱PC平行，且与棱PA交于点E，则下列结论中正确的是（）A.E为PA的中点B.异面直线PB与CD所成的角为πC.BD⊥平面PACD.三棱锥C－BDE与四棱锥P－ABCD的体积之比为1∶4解析：ACD如图，设AC与BD交于点F，连接EF，则平面PAC∩平面BDE＝EF.又PC∥平面BDE，PC⊂平面PAC，所以EF∥PC.因为四边形ABCD是正方形，所以AF＝FC，所以AE＝EP.故A选项正确.因为CD∥AB，所以∠PBA为异面直线PB与CD所成的角（或其补角）.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB.又PA＝AB，所以∠PBA＝π4，故异面直线PB与CD所成的角为π4，故B选项不正确.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.故C选项正确.由题意可得VC－BDE＝VE－BCD＝12VE－ABCD，又E为PA的中点，所以VC－BDE＝14VP－ABCD，故三棱锥C－BDE与四棱锥P－ABCD的体积之比为1∶4.故D选项正确.故选A、题型（二）阅读理解题的特点及求解策略阅读理解题通过给出一个新概念，或定义一种新运算，或给出新的问题情境，要求在读懂题目的基础上，将新旧知识相联系，剖开现象看本质，实现新信息向已学的知识和方法迁移，达到创新解题的目的.这类问题既能考查学生的阅读理解能力和数学语言转换能力，又能考查学生的探究能力.一、新概念题【例1】（多选）（2021·新高考Ⅱ卷）设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω（n）＝a0＋a1＋…＋ak.则 （）A.ω（2n）＝ω（n）B.ω（2n＋3）＝ω（n）＋1C.ω（8n＋5）＝ω（4n＋3）D.ω（2n－1）＝n解析由n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，则2n＝0·20＋a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，ω（2n）＝0＋a0＋a1＋…＋ak＝ω（n），A正确.选项B，取n＝2可排除.或者ω（2n＋3）＝ω[2（n＋1）＋1]＝ω[2（n＋1）]＋1＝ω（n＋1）＋1，不能保证与ω（n）＋1恒等.B错误.选项C，ω（8n＋5）＝ω（8n＋4＋1）＝ω（8n＋4）＋1＝ω（2n＋1）＋1＝ω（2n）＋2＝ω（n）＋2；ω（4n＋3）＝ω（4n＋2）＋1＝ω（2n＋1）＋1＝ω（n）＋2.C正确.选项D，∵2n－1＝20＋21＋22＋…＋2n－1，∴ω（2n－1）＝n.或者，当n≥2时，ω（2n＋1－1）＝ω[2（2n－1）＋1]＝ω[2（2n－1）]＋1＝ω（2n－1）＋1.又∵ω（3）＝2，ω（1）＝1，∴ω（3）＝ω（1）＋1.即对∀n∈N*有ω（2n＋1－1）＝ω（2n－1）＋1，∴{ω（2n－1）}为首项为1，公差为1的等差数列.∴ω（2n－1）＝n.D正确.故选A、C、D.答案ACD点评新概念类试题是指在现有的知识基础上定义一种新概念或新运算或新规则或新性质等，在此情境下设置的新问题.此类试题是典型的信息迁移题，解决该类问题的关键是提升学生的阅读理解能力、获取信息能力、处理信息能力以及挖掘新规则内涵，准确找出新特点的能力.二、新情境题【例2】2022年北京冬奥会仪式火种台（如图①）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊（如图②），造型风格与火炬、火种灯和谐一致.仪式火种台采用了尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”.顶部舒展开阔，寓意着迎接纯洁的奥林匹克火种.祥云纹路由下而上渐化为雪花，象征了“双奥之城”的精神传承.红色丝带飘逸飞舞、环绕向上，与火炬设计和谐统一.红银交映的色彩，象征了传统与现代、科技与激情的融合.现建立如图③所示的平面直角坐标系，设图中仪式火种台外观抽象而来的曲线对应的函数表达式为f（x）＝ln（｜x｜－1）.（1）求函数f（x）的图象在点（2，0）处的切线方程；（2）求证：ln（x－1）≤x－2.解（1）由｜x｜－1＞0得x＞1或x＜－1，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），当x＞1时，f（x）＝ln（x－1），f'（x）＝1x则f'（2）＝12-1故所求切线方程为y＝x－2.（2）证明：设g（x）＝ln（x－1）－（x－2）＝ln（x－1）－x＋2，x＞1，则g'（x）＝1x-1－1由g'（x）＞0得1＜x＜2，由g'（x）＜0得x＞2，所以函数g（x）在（1，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（2）＝ln（2－1）－2＋2＝0，故g（x）＝ln（x－1）－x＋2≤g（2）＝0，则ln（x－1）≤x－2得证.点评新情境试题多以优秀传统文化、现代科学技术、现实生活、学科间的交汇、社会热点等为背景创设，旨在突出新时代教育总方针——立德树人.正确解答这类问题的关键是认真阅读理解题意，快速准确的获取信息，理性思维，排除题目背景中的干扰因素，抓住关键信息，实现数学思想、方法、能力的迁移运用.三、材料题【例3】（1）（多选）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，Pn，….已知P0是边长为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作而得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k＝0，1，2，…）.记Pn的周长为Ln，面积为Sn.对于n∈N，下列结论不正确的是 （）A.SnLn为等差数列 BC.∃M＞0，使Ln＜M D.∃M＞0，使Sn＜M（2）先阅读下面的文字：“求2+2+2+…的值时，采用了如下的方式：令2+2+2+…＝x，则有x＝2+x，两边平方，可解得x的值（负值舍去）”.那么，可用类比的方法，求出解析（1）易知封闭曲线的周长数列{Ln}的首项L0＝3，公比为43，故Ln＝3×43n.易知Pk的边数为3×4k，边长为13k，故Pk＋1的面积比Pk的面积增加了3×4k×34×13k+12＝312×49k，所以Sk＋1＝Sk＋312×49k（k＝0，1，2，…），所以Sn＝235－3320×49n.所以SnLn＝83-33×49n60×43n，所以SnLn不为等差数列也不为等比数列，所以A、B（2）由题观察可类比得t＝4＋1t，t2－4t－1＝0，t＝2＋5（负值舍去答案（1）ABC（2）2＋5点评此类问题的求解策略是能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系；了解熟悉的数学命题的条件与结论之间的逻辑关系；掌握一些基本命题与定理的证明，并有条理地表述论证过程.1.研究药物、毒物及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄的动态过程及这些过程与药理反应间定量规律的学科分支称为药物动力学.为了揭示药物在机体内的动力学规律，通常从注射药物后的一系列时间采取血样，测定血药浓度，然后对所得到的数据进行理论分析.已知在恒速静脉滴注停止后的血药浓度C（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化可以用指数模型C（t）＝C0e－Kt描述，假定某药物的消除速率常数K＝0.15（单位：h－1），初始药物浓度C0＝67.5mg/L，则该药物在机体内的血药浓度达到22.5mg/L需要的时间约为（ln3≈1.1）（）A.2.7h B.4.6hC.7.3h D.10.1h解析：C依题意可得C（t）＝67.5e－0.15t，设该药物在机体内的血药浓度达到22.5mg/L需要的时间为t1h，C（t1）＝67.5e-0.15t1＝22.5，则e-0.15t1＝13，所以0.15t1＝ln32.（多选）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）是双纽线，则下列结论正确的是 （）A.曲线C的图象关于原点对称B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3D.若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（－∞，－1]∪[1，＋∞）解析：ACD把（－x，－y）代入（x2＋y2）2＝9（x2－y2）得（x2＋y2）2＝9（x2－y2），所以曲线C的图象关于原点对称，故A正确；令y＝0解得x＝0，或x＝±3，即曲线经过（0，0），（3，0），（－3，0），结合图象，－3≤x≤3，令x＝±1，得y2＝-11+1532＜1，令x＝±2，得1＜y2＝-17+3692＜2，因此结合图象曲线C只经过3个整点，（0，0），（3，0），（－3，0），故B错误；由（x2＋y2）2＝9（x2－y2）可得x2＋y2＝9(x2-y2)x2+y2≤9，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离d＝x2+y2≤3，即都不超过3，故C正确；直线y＝kx与曲线（x2＋y2）2＝9（x2－y2）一定有公共点（0，0），若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，所以(x2+y2)2=9(x2-y2),y=kx,整理得x4（1＋k2）2＝9x2（1－题型（三）开放、探究题的特点及求解策略开放类试题是一类具有开放性和发散性的问题，此类问题一般条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己去探索，结合已知条件进行分析、比较和概括，因此是考查创新能力、数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型.其中开放类试题又可分为条件开放型、结论开放型、存在判断型、规律探究型等，每种题型的求解策略有所不同，因此在求解时，必须先辨明考查类型，再根据所属类型选择解题策略.一、条件开放型问题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：.

①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0；③f'（x）是奇函数.解析本题属于开放性问题，答案不唯一.例如取f（x）＝x2，x4，x6，…，都可以，还可以取f（x）＝x23，x43，答案f（x）＝x2（x∈R）（答案不唯一）点评求解条件开放型问题的一般思路：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，这是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆行追索，由果寻因.二、结论开放型问题【例2】如图，O为坐标原点，过点P（0，3）作圆O的两条切线分别交椭圆E：x24＋y23＝1于点A，B和点（1）若圆O和椭圆E有4个公共点，求直线AB和CD的斜率之积的取值范围；（2）四边形ABCD的对角线是否交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解（1）若圆O和椭圆E有4个公共点，设圆O的半径为r，则r2∈（3，4），设过点P的切线方程为y＝kx＋3，则r＝31+k2∈（3，2），得k2∈5联立切线方程与椭圆方程，得y=kx+3,x24+y23=1,消去y得（3＋4Δ＝96（2k2－3）＞0，得k2＞32，由①②得k2∈32所以kAB·kCD＝－k2∈-2（2）设直线AC：y＝k'x＋t，A（x1，y1），C（x2，y2），联立方程，得y=k'x+t,x24+y23=1,消去y得（3＋4k'2）则x1＋x2＝－8k't3+4k'2，由题设条件易知kPA＋kPC＝0，所以kPA＋kPC＝y1-＝x＝x＝2k'x即2k'x1x2＋（t－3）（x1＋x2）＝2＝24k'(t-1)所以t＝1，即直线AC过定点（0，1），同理可得直线BD也过定点（0，1），所以四边形ABCD的对角线交于定点（0，1）.点评求解结论开放型问题的一般思路：要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归类、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象.然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维方式.它要求解题者要依据条件进行大胆合理的猜想，发现规律得出结论.三、条件、结论同时开放型问题【例3】已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.

解析∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β.又∵④m⊥α，∴②α⊥β.即①③④⇒②.若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α.又∵④m⊥α，∴①m⊥n.即②③④⇒①.答案①③④⇒②（或②③④⇒①）点评此类题目不仅要求考生有较好的空间想象能力和逻辑思维能力，还要掌握发散思维方法和对陌生情景有较强的适应能力.解答该类问题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性和探索性.四、存在探究类开放型问题【例4】已知向量m＝（2sinθ，sinθ＋cosθ），n＝（cosθ，－2－m），函数f（θ）＝m·n的最小值为g（m）（m∈R）.（1）当m＝1时，求g（m）的值；（2）已知定义在R上的奇函数h（x）为严格增函数，问：是否存在这样的实数m，使不等式h（f（θ））＞h4sinθ+cosθ-3-2m对所有θ∈0,π2解（1）f（θ）＝2sinθcosθ－（m＋2）（sinθ＋cosθ）＝sin2θ－2（m＋2）sinθ+π4＝－cos2θ+π2－2（又－cos2θ+π2＝2sin2令t＝sinθ+π4∈[－1，所以f（θ）＝φ（t）＝2t2－2（m＋2）t－1，当m＝1时，对称轴为t＝2(m+2)4所以f（θ）的最小值为φ（1）＝1－32.所以g（m）的值为1－32.（2）由奇函数h（x）在R上为严格增函数，要使h（f（θ））＞h4sinθ+cosθ-3即f（θ）＝2sinθcosθ－（m＋2）（sinθ＋cosθ）＞4sinθ+cosθ－3－2m在θ令t＝sinθ＋cosθ∈[1，2]，则2sinθcosθ＝t2－1，则t2－1－（m＋2）t＞4t－3－2m整理得（t2＋2）（t－2）＋mt（2－t）＞0，所以t2＋2＜mt，故m＞t＋2t在[1，2]上恒成立由对勾函数的性质知t＋2t在[1，2]上的最大值为3，即m＞3故存在实数m，且m的取值范围为（3，＋∞）.点评“存在”就是有，证明有或者可以找出一个即可.“不存在”就是没有，找不到.如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由，这类问题常用“肯定顺推”法.1.已知函数f（x）为定义在R上的函数满足以下两个条件：①对于任意的实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1；②f（x）在R上单调递减.请写出满足条件的一个f（x）＝.

解析：由①②可设f（x）＝ax＋b（a＜0），由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，可得a（x＋y）＋b＝ax＋b＋ay＋b＋1＝a（x＋y）＋2b＋1，化简可得b＝－1.故f（x）的解析式可为f（x）＝ax－1（a＜0）.取a＝－1可得满足条件的一个f（x）＝－x－1.答案：－x－1（答案不唯一）2.已知三个不等式①ab＞0；②ca＞db；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成个正确命题解析：①②⇒③，①③⇒②（证明略）.由②得bc-adab＞0，又由③得bc－ad＞0，所以ab＞0⇒①.所以可以组成答案：33.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）（b＞c），点B是椭圆C的短轴的一个端点，△OFB的面积为32，椭圆C上的两点H，G关于原点O对称，且｜（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点M（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且使得14OM2＝MP·MQ成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在解：（1）由等差中项的性质和椭圆的对称性知，｜FG｜＋｜FH｜＝4＝2a，∴a＝2.又S△OBF＝12bc＝32，∴bc＝又a2＝b2＋c2＝4，a＞b＞c＞0，∴b＝3，c＝1，故椭圆C的方程为x24＋y2（2）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆相切，不满足条件，故可设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y＝k（x－2）＋1，代入椭圆方程得（3＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋16k2－16k－8＝0，则x1＋x2＝8k(2k-1)3+4kΔ＝32（6k＋3）＞0，∴k＞－12∵14OM2＝MP即4[（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）]＝5，∴4（x1－2）（x2－2）（1＋k2）＝5，即4[x1x2－2（x1＋x2）＋4]（1＋k2）＝5，∴416k2-16k-83+4k2-2×解得k＝±12，又k＞－12，∴k＝∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝12x题型（四）结构不良型试题的特点及求解策略所谓结构不良，就是试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答.不同的选择可能得到相同的结论或得到完全不同的结论.此类题型具有引导考生的思维从知识的习得与记忆更多地转向问题的解决策略的选择上，能深入地考查考生的观察、分析、比较、判断和对问题的把控能力，有效地考查考生思维的灵活性和建构数学问题的能力，以及分析问题和解决问题的能力.对数学理解能力，数学探究能力的考查起到积极地作用.一、选择单一型选择单一型的结构不良型试题，只需从给出的条件中选择一个进行求解即可.一般来说，给出的选择难度都是大致相同的，所以不要过多考虑条件之间的差异性.解题时将选出的条件融合到已知条件中，然后处理相关的问题即可.【例1】在条件①（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC；②asinB＝bcosA+π6；③bsinB+C2＝asinB在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝26，，求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解若选①，由正弦定理得（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2+c2-因为A∈（0，π），所以A＝π3又a2＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc，b＋c＝6，a＝26，所以bc＝4.故S△ABC＝12bcsinA＝12×4×sinπ3若选②，由正弦定理得sinAsinB＝sinBcosA+π6，因为0＜B＜π，所以sinB故sinA＝cosA+π6，化简得sinA＝32cosA－12sinA，得tan因为0＜A＜π，所以A＝π6又a2＝b2＋c2－2bccosπ6，所以bc＝(b+c)2-a所以S△ABC＝12bcsinA＝12×（24－123）×12＝6－若选③，由正弦定理得sinBsinB+C2＝sinAsin因为0＜B＜π，所以sinB≠0，则sinB+C2＝sin又B＋C＝π－A，故cosA2＝2sinA2cos因为0＜A＜π，所以0＜A2＜π2，所以cosA2所以sinA2＝12，A2＝π6，所以又a2＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc，b＋c＝6，a＝26，所以bc＝4.故S△ABC＝12bcsinA＝12×4×sinπ3点评选择单一型结构不良型试题的思维步骤二、选择组合型对于选择组合型的结构不良型试题，需要从给出的条件中选择两个或两个以上进行组合，然后代入问题中求解.一般来说，条件的不同组合会造成问题难度上的差异，因此需要考虑条件之间的适配性和差异性，所以选择组合型结构不良型试题的难度要大一些.【例2】给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点M到其焦点F的距离｜MF｜＝2；④抛物线的准线方程是x＝－2.（1）对于顶点在原点O的抛物线C，从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；（2）过点（4，0）的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两个不同的点，试探究是否总有OA⊥OB，请说明理由.解（1）因为抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）在x轴上，所以条件②不符合题意；又抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以条件④不符合题意；当选择条件①③时，｜MF｜＝1＋1＝2，可得准线方程为x＝－1，故抛物线方程为y2＝4x.故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.（2）由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty＋4，由y2=4x,x=ty+4得y2－4ty－16＝0，则Δ＝（－4t）2设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，所以x1x2＝（ty1＋4）（ty2＋4）＝t2y1y2＋4t（y1＋y2）＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0，所以OA⊥OB.综上所述，无论l如何变化，总有OA⊥OB.点评选择组合型结构不良型试题的思维步骤三、探索条件型【例3】甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知.

（1）判断S1，S2，S3的关系；（2）若a1－a3＝3，设bn＝n12｜an｜，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜4甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是S1，S3，S2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.解由S1，S3，S2成等差数列得S1＋S2＝2S3.∴a1＋（a1＋a1q）＝2（a1＋a1q＋a1q2），由题知a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，∴q＝－12以上各步均可逆推，∴该题缺少的条件是q＝－12本题解答如下：（1）∵q＝－12∴S2＝a1－12a1＝12a1，S3＝12a1＋14a1＝又S1＝a1，∴2S3＝S1＋S2，∴S1，S3，S2成等差数列.（2）证明：由已知可得a1－a1-122∴a1＝4，an＝4·-12n-1.∴∴Tn＝131+212Tn＝131①－②得12Tn＝1∴Tn＝431-12n－23·n2n点评探索条件型结构不良型试题的思维步骤由结论出发，探索结论成立的充分条件，常使用分析法，即Q⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件1.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上（A，B异于顶点），l1，l2分别为过点A，B且与抛物线E相切的直线，l1，l2相交于点M（x0，y0）.条件①：点M在抛物线E的准线上；条件②：l1⊥l2；条件③：直线AB经过抛物线的焦点F.在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题是真命题.注：如果选择多个组合分别解答，则按第一个解答计分.解：整理抛物线E的方程得y＝x22p（p＞0），则y'＝xp，则直线l1的斜率k1＝x1p，直线l2所以直线l1的方程为y－y1＝x1p（x－x将x12＝2py1代入，化简整理得x1x＝p（y＋y同理可得直线l2的方程为x2x＝p（y＋y2）.抛物线E：x2＝2py（p＞0）的准线为直线y＝－p2，焦点F的坐标为0若选择①作为条件，②③作为结论，证明如下：由于点M在抛物线E的准线上，可得点M的坐标为x0又l1，l2相交于点M，所以x所以点A，B的坐标满足方程x0x＝py-所以直线AB的方程为x0x＝py-p2，从而直线AB经过抛物线的焦点F0由x0x=py-p2,x2=2py,消去y整理得关于x的方程x22p－x0易得k1·k2＝x1p·x2p＝-p2p2＝－1，所以若选择②作为条件，①③作为结论，证明如下：因为l1⊥l2，所以k1·k2＝x1p·x2p＝－1，即x1x2又l1，l2相交于点M，所以x1x0=p(y0所以点M在抛物线E的准线上，①得证.易知点M的坐标为x0所以x所以点A，B的坐标满足方程x0x＝py-p2，所以直线AB的方程为x0x＝进而直线AB经过抛物线的焦点F0,p2若选择③作为条件，①②作为结论，证明如下：直线AB经过抛物线的焦点F0,p2，设直线AB的方程为y＝kx由y=kx+p2,x2=2py,消去y整理得关于x的方程x2－2pkx－p2＝0，Δ1＞易得k1·k2＝x1p·x2p＝-p2p2＝－1，所以又l1，l2相交于点M，所以x1x0=p(y0+y1),x2x02.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①BA·（PA＋PD）＝0；②PC＝7；③点P在平面ABCD的射影在直线AD上.如图，平面五边形PABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，AD∥BC，AB＝2BC＝2，AB⊥BC，将△PAD沿AD翻折成四棱锥P－ABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且.

（1）求证：AB⊥FM；（2）当EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：（1）证明：如图所示，取AD，CD的中点分别为O，G，连接PO，FG，MG.选择①：因为BA·（PA＋PD）＝0，PA＋PD＝2PO，所以BA·PO＝0，即BA⊥PO.又BA⊥A