(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题2.4直线的方程(一)：直线方程的几种形式(原卷版+解析)

专题2.4直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·广西·高二阶段练习）直线2x−y+2=0在x轴上的截距是（

）A．−1 B．1 C．−2 D．22．（3分）(2023·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．x+4y+7=0 B．x−4y+7=0C．4x+y+7=0 D．4x−y+7=03．（3分）(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°A．3x−y−53=0 C．x+y−3=0 4．（3分）（2023·安徽·高二期中）过点P(−1,2)且方向向量为a=(−1,2)的直线方程为（

A．2x+y=0 B．x−2y+5=0 C．x−2y=0 D．x+2y−5=05．（3分）(2023·山东·高一阶段练习）直线l:mx+2(2m−1)y−6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（

）A．2 B．−23 C．3 6．（3分）(2023·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．x+y−7=0或x−y+1=0 B．x+y−7=0或x−y+1=0或4x−3y=0C．x−y−7=0或x+y+1=0 D．x+y−7=0或x−y+1=0或3x−4y=07．（3分）(2023·福建·高二阶段练习）直线l1:ax−y+b=0，l2:bx+y−a=0（ab≠0，a、A． B． C． D．8．（3分）(2023·全国·高二单元测试）对于直线l：ax+ay−1a=0①无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变；②无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限；③无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；④当a取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·广东肇庆·高二期末）对于直线l:x+y−1=0，下列说法正确的有（

）A．直线l过点0,1 B．直线l与直线y=x垂直C．直线l的一个方向向量为1,1 D．直线l的倾斜角为45°10．（4分）(2023·江苏·高二开学考试）下列说法正确的是（

）A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x+y=aa∈B．方程mx+y−2=0m∈C．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanD．经过两点P1x1,11．（4分）（2023·福建·高二阶段练习）下列说法正确的是（

）A．截距相等的直线都可以用方程xaB．方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线C．经过点(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=D．经过两点P1(12．（4分）(2023·福建省高二阶段练习）关于直线l:mx−y−4=0，下列说法正确的是（

）A．直线l在y轴上的截距为4 B．当m=0时，直线l的倾斜角为0C．当m≥0时，直线l不经过第二象限 D．当m=1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是8三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·上海市·高二阶段练习）过两点A(1,3),B(−3,2)的直线的一般式方程是.14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.15．（4分）（2023·广东·高二阶段练习）已知直线l的一个方向向量d=3,4，且过点−1,2，则直线l的点斜式方程为16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45∘和30∘角，过点P1,0作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=12四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·江苏·高二专题练习）过点P(1,4)作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．18．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是直线l上一点，且n是直线l的一个方向向量，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)P(3,−5),n(2)P(0,5),n19．（8分）(2023·河南省高二阶段练习）求符合下列条件的直线l的方程：(1)过点A2,1，且斜率为−(2)过点A1,4，B(3)过点P2,120．（8分）(2023·辽宁·高二开学考试）已知直线l:ax+1−2a(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l经过点P−1,2(1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；(2)设l的斜率k>0，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程．22．（8分）(2023·江苏南京·高二开学考试）已知直线l：kx−y+2+k=0k∈(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程.专题2.4直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·广西·高二阶段练习）直线2x−y+2=0在x轴上的截距是（

）A．−1 B．1 C．−2 D．2【解题思路】根据截距的概念运算求解.【解答过程】令y=0，则2x−0+2=0，解得x=−1∴直线2x−y+2=0在x轴上的截距是−1故选：A.2．（3分）(2023·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．x+4y+7=0 B．x−4y+7=0C．4x+y+7=0 D．4x−y+7=0【解题思路】根据直线的两点式方程求解即可.【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为y−2x−1=3−2故选：B.3．（3分）(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°A．3x−y−53=0 C．x+y−3=0 【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k=tan所以直线方程为y+23=−x−故选：D．4．（3分）（2023·安徽·高二期中）过点P(−1,2)且方向向量为a=(−1,2)的直线方程为（

A．2x+y=0 B．x−2y+5=0 C．x−2y=0 D．x+2y−5=0【解题思路】根据直线的方向向量求得直线的斜率，再根据点斜式即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的方向向量为a=(−1,2)所以直线的斜率为2−1所以过点P(−1,2)且方向向量为a=(−1,2)的直线方程为y−2=−2即2x+y=0.故选：A.5．（3分）(2023·山东·高一阶段练习）直线l:mx+2(2m−1)y−6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（

）A．2 B．−23 C．3 【解题思路】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解.【解答过程】很显然，直线l与x轴和y轴既不平行也不垂直，当x=0时，y=32m−1，当y=0时，所以直线l与x轴和y轴的交点分别为(6m,0)因为直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为3，所以有12×6m×故选：D.6．（3分）(2023·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．x+y−7=0或x−y+1=0 B．x+y−7=0或x−y+1=0或4x−3y=0C．x−y−7=0或x+y+1=0 D．x+y−7=0或x−y+1=0或3x−4y=0【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.【解答过程】①当直线经过原点时，斜率k=4−03−0=43②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa+ya=1，将点A3,4代入，的3a③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xa+y−a=1，将点A3,4代入，的3a综上所述，直线方程为：4x−3y=0或x+y−7=0或x−y+1=0.故选：B.7．（3分）(2023·福建·高二阶段练习）直线l1:ax−y+b=0，l2:bx+y−a=0（ab≠0，a、A． B． C． D．【解题思路】首先假定每个选项中的l1图象正确，则可得a,b正负，由此可确定l【解答过程】将l1:ax−y+b=0化为将l2:bx+y−a=0化为对于A，若l1图象正确，则a>0，b>0，∴对于B，若l1图象正确，则a>0，b<0，∴对于C，若l1图象正确，则，则a>0，b>0，∴对于D，若l1图象正确，则a<0，b>0，∴故选：D.8．（3分）(2023·全国·高二单元测试）对于直线l：ax+ay−1a=0①无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变；②无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限；③无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；④当a取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【解答过程】直线l：ax+ay−1a=0（a≠0），可化简为：x+y−1a2=0，即y=−x+1a2，则直线的斜率为−1，倾斜角为135°，故①正确；直线在y轴上的截距为1a故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·广东肇庆·高二期末）对于直线l:x+y−1=0，下列说法正确的有（

）A．直线l过点0,1 B．直线l与直线y=x垂直C．直线l的一个方向向量为1,1 D．直线l的倾斜角为45°【解题思路】根据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、互相垂直两直线的性质逐一判断即可.【解答过程】解析：直线l:x+y−1=0化成斜截式为y=−x+1，所以当x=0时，y=1，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线y=x的斜率为1，−1×1=−1，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为1,−1故选：AB．10．（4分）(2023·江苏·高二开学考试）下列说法正确的是（

）A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x+y=aa∈B．方程mx+y−2=0m∈C．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanD．经过两点P1x1,【解题思路】举例说明可判断A选项错误；由直线方程求得直线的斜率判断B选项；由倾斜角α=90°的直线的斜率不存在判断C选项；由两点求斜率，再由点斜式写出直线方程判断D选项.【解答过程】对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如y=2x但不能用x+y=aa∈R对于B选项，方程mx+y−2=0m∈R表示的直线的斜率为－m对于C选项，若α=90°，则直线斜率不存在，故C选项错误；对于D选项，经过两点P1x1,y1，故选：BD.11．（4分）（2023·福建·高二阶段练习）下列说法正确的是（

）A．截距相等的直线都可以用方程xaB．方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线C．经过点(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=D．经过两点P1(【解题思路】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于y轴的直线，斜率不存在，令m=0，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.【解答过程】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程xa对于B，当m=0时，方程为x−2=0，此时所表示的直线与y轴平行，故B正确；对于C，当θ=90∘时，tanθ对于D，当x1≠x2时，由斜率公式，可得当x1=x2时，方程故选：BD.12．（4分）(2023·福建省高二阶段练习）关于直线l:mx−y−4=0，下列说法正确的是（

）A．直线l在y轴上的截距为4 B．当m=0时，直线l的倾斜角为0C．当m≥0时，直线l不经过第二象限 D．当m=1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是8【解题思路】利用直线方程的斜截式的性质，逐项分析即可.【解答过程】对于A，直线l:mx−y−4=0可化为y=mx−4，由斜截式可知直线l在y轴上的截距为−4，故A错误；对于B，当m=0时，直线l为y=−4，即k=0，故直线l的倾斜角为0，故B正确；对于C，当m≥0时，l:y=mx−4有k>0，在y轴上的截距为−4，如图易得直线l不经过第二象限，故C正确；对于D，当m=1时，直线l为y=x−4，如图，易知直线l与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为4，故S=1故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·上海市·高二阶段练习）过两点A(1,3),B(−3,2)的直线的一般式方程是x−4y+11=0.【解题思路】利用两点式即可写出直线，再化简为一般方程即可.【解答过程】由题意知直线为：y−23−2化简得：x−4y+11=0.故答案为：x−4y+11=0.14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.【解题思路】直线的斜率存在且不为0，设出直线截距式方程，利用已知条件求出截距就能得到直线方程.【解答过程】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为xa则有a+b=62a+1b=1，解得a＝直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.15．（4分）（2023·广东·高二阶段练习）已知直线l的一个方向向量d=3,4，且过点−1,2，则直线l的点斜式方程为y−2=4【解题思路】根据直线的方向向量可得直线l的斜率，再写出点斜式方程即可.【解答过程】因为直线l的一个方向向量d=3,4，所以直线l所以直线方程为y−2=4故答案为：y−2=416．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45∘和30∘角，过点P1,0作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=12【解题思路】由题意求出直线OA,OB的方程，设Am,m,B−3n,n得到AB的中点的坐标，由A，P，B【解答过程】由题意可得kOAkOB所以直线lOA设Am,m所以AB的中点Cm−3由点C在直线y=12x上，且A，Pm+n解得m=3，所以A又P1,0，所以kAB=所以lAB即直线AB的方程为3+3故答案为：3+3四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·江苏·高二专题练习）过点P(1,4)作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．【解题思路】由题意设直线的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，则可得1【解答过程】解：设直线的方程为xa把点P(1,4)代入可得1a∴a+b=(a+b)(1当且仅当b=2a=6时取等号，a+b的最小值为9，此时直线的方程为x318．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是直线l上一点，且n是直线l的一个方向向量，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)P(3,−5),n(2)P(0,5),n【解题思路】设Mx,y是直线l上另一点，表达出PM，利用PM∥n得到等量关系，整理得直线l【解答过程】解：(1)设点Mx,y是直线l上另一点，则PM=x−3,y+5，由PM则y+5−2x−3=0，即(2)设点Mx,y是直线l上另一点，则PM=x,y−5，由PM则3y−5+4x=0，即19．（8分）(2023·河南省高二阶段练习）求符合下列条件的直线l的方程：(1)过点A2,1，且斜率为−(2)过点A1,4，B(3)过点P2,1【解题思路】（1）利用点斜式写直线方程即可；（2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程；（3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程.【解答过程】解：（1）∵所求直线过点A2,1，且斜率为−12，∴y−1=−（2）∵所求直线过A1,4，B2,3，∴∴y−4=−x−1，即x+y−5=0（3）当直线过原点时，设直线方程为y=kx，∵直线过P点2,1，∴k=1−02−0=12当直线不过原点时，设直线方程为xa将点P2,1代入上式，得2a+故直线的方程为x+y−3=0，综上，直线方程为x−2y=0或x+y−3=0．20．（8分）(2023·辽宁·高二开学考试）已知直线l:ax+1−2a(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）先求出a≠0且a≠12，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.【解答过程】解：（1）由条件知，a≠0且a≠1在直线l的方程中，令y=0得x=a−1a，令x