高考数学大题精做专题04直线与抛物线相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题04直线与抛物线相结合问题类型对应典例直线与抛物线相结合求直线方程典例1直线与抛物线的位置关系典例2抛物线中的弦长问题典例3抛物线中的中点弦问题典例4抛物线中的焦点弦问题典例5【典例1】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.【典例2】【东北三省三校2019届高三第三次模拟】抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【典例3】【山西省忻州市第一中学2020届月考】在平面直角坐标系中，直线的方程为，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与相交于两点，与轴的交点为.若，求.【典例4】【福建省厦门市2020届检测】已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点，交抛物线于A、B两点.（1）若P为中点，求l的方程；（2）求的最小值.【典例5】【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.（1）求抛物线C的方程；（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.【针对训练】1.【陕西省咸阳市2020届检测】设定点，动圆过点且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设为直线上任意一点，过点作轨迹的两条切线和，证明：．2.【山东省烟台市2019届高三高考一模考试】已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线与两点，当直线与轴垂直时，.（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标.3.【安徽省铜陵市第一中学2020届月考】已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.4.【云南省昆明市2019届高三高考模拟】设抛物线：的焦点为，是上的点．（1）求的方程：（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．5．【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.6.【2019届江西省赣州市高三年级调研】已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题04直线与抛物线相结合问题类型对应典例直线与抛物线相结合求直线方程典例1直线与抛物线的位置关系典例2抛物线中的弦长问题典例3抛物线中的中点弦问题典例4抛物线中的焦点弦问题典例5【典例1】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.【思路引导】（1）直曲联立表示出抛物线弦长，得到关于的方程，求出，得到抛物线的方程.（2）直线与抛物线联立，得到、，再根据题意，得到点和点的坐标，用和表示出，代入、的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线的方程.【详解】（1），直线的方程为，由，联立，得，，，，抛物线的方程为：.（2）设，，直线的方程为：，联立方程组消元得：，∴，.∴.设直线的方程为，联立方程组解得，又，∴.同理得.∴.令，，则.∴.∴当即时，取得最小值.此时直线的方程为，即.【典例2】【东北三省三校2019届高三第三次模拟】抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【思路引导】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【典例3】【山西省忻州市第一中学2020届月考】在平面直角坐标系中，直线的方程为，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与相交于两点，与轴的交点为.若，求.【思路引导】（1）结合抛物线第一定义即可求解；（2）需要将问题转化，设的中点为，结合可得，联立直线和抛物线方程，表示出对应的弦长，由点到点距离公式求得长度，解方程即可解得，进而求解弦长【详解】（1）由题可知，圆心轨迹到定点的距离等于到定直线的距离，故点的轨迹为抛物线，抛物线焦点为，则的方程为；（2）由可知，线段，设的中点为，则，联立，则，将代入直线得，直线与轴交点为：，则，由弦长公式可得，又，联立化简可得，解得（负值舍去），则【典例4】【福建省厦门市2020届检测】已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点，交抛物线于A、B两点.（1）若P为中点，求l的方程；（2）求的最小值.【思路引导】（1）方法一：利用点差法求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意验证所求直线与抛物线有两个交点；方法二：设中点弦所在直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意考虑中点弦直线斜率不存在的情况是否满足题意；（2）由抛物线的定义转化，方法一：设直线l：，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，注意比较直线斜率不存在的情况的值；方法二：设直线l：，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，此种设法已包含直线斜率不存在的情况.【详解】解：（1）方法一：设，，，则，，，化简得，因为的中点为，，，∴l的方程为，即.经检验，符合题意.方法二：设，，当斜率不存在时，显然不成立.当斜率存在时，设直线l：，显然，由得易知，，因为的中点为，，即，解得，∴l的方程为（2）方法一：由抛物线的定义可知当斜率不存在时，直线l：，当斜率存在时，设直线l：，显然，由得，易知，，时，的最小值为综上，的最小值为方法二：由抛物线的定义可知显然直线l不平行于x轴，设直线l：，由得，易知，，，时，的最小值为【典例5】【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.（1）求抛物线C的方程；（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.【思路引导】（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到，即可求出，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线的斜率一定存在，可设斜率为，直线为，设，，由可得，，，然后对求导，可得到的斜率及方程表达式，进而可表示出，同理可得到的表达式，然后对化简可求出范围。解：（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.∵抛物线的准线为，∴，解得，∴抛物线的方程为.（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.设，，由消去得，，∴，.由于抛物线也是函数的图象，且，则：.令，解得，∴，从而.同理可得，，∴.∵，∴的取值范围为.【针对训练】1.【陕西省咸阳市2020届检测】设定点，动圆过点且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设为直线上任意一点，过点作轨迹的两条切线和，证明：．【思路引导】（1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，焦点到准线的距离，进而求得抛物线的方程；（2）首先判断过点过与曲线相切的直线斜率存在，设切线方程为，与抛物线的方程联立，整理得出判别式等于0，从而求得，利用韦达定理得出，从而得到.【详解】（1）依题意知，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，方程为(2)设，显然过与曲线相切的直线斜率存在，设切线方程为，与曲线联立得，即，依题意，即，，分别是直线和的斜率，.2.【山东省烟台市2019届高三高考一模考试】已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线与两点，当直线与轴垂直时，.（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标.【思路引导】（1）由题意可得，即可求出抛物线的方程，（2）设直线的方程为，联立消去，得，根据韦达定理结合直线，，的斜率成等差数列，即可求出点的坐标.解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得．于是当直线与轴垂直时，，解得．所以抛物线的方程为．（2）因为抛物线的准线方程为，所以．设直线的方程为，联立消去，得．设，，则，.若点满足条件，则，即，因为点，，均在抛物线上，所以，，．代入化简可得，将，代入，解得．将代入抛物线方程，可得．于是点为满足题意的点．3.【安徽省铜陵市第一中学2020届月考】已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.【思路引导】（1）焦点，根据点到直线的距离，求抛物线方程；（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再求直线的方程，得到点的坐标，利用根与系数的关系表示两点间距离，求最值.试题解析：（1）抛物线的焦点为，，得，或（舍去）∴抛物线的方程为.（2）点在抛物线上，∴，得，设直线为，，，由得，；∴，，，由，得，同理；∴；∴当时，，此时直线方程：.4.【云南省昆明市2019届高三高考模拟】设抛物线：的焦点为，是上的点．（1）求的方程：（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．【思路引导】（1）直接把代入抛物线方程中，求出；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简，最后利用，求出的值.【详解】（1）因为是上的点，所以，因为，解得，抛物线的方程为.（2）设，，由得，则，，由抛物线的定义知，，，则，，，解得.5．【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.【思路引导】法一：（1）设P（x，y），x＞0，F（1，0）．由点P在⊙F外，可得点P到⊙F上的点的最小距离为|PF|﹣1，由题意可得：|PF|﹣1＝x，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）设N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．则D（，）．由题意可设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1）（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D，M，N的坐标．再利用三角形面积计算公式即可得出．法二：（1）由题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义求得轨迹方程.（2）设，，由题意可设直线AB的方程为：与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D的坐标，结合，可得，进而求出N的坐标，利用点的位置关系得到面积的关系.法三：（1）与法一同；（2）设，，由题意可设直线AB的方程为：与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D，M的坐标，利用斜率公式计算得到，再利用长度关系得到面积的关系.【详解】解法一：（1）设，依题意，.因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为依题意得，即，化简得的方程为.（2）设，，，则.依题意可设直线的方程，由得.因为，所以，则有，故，由抛物线的定义知.设，依题意得，所以.又因为，所以，解得，所以.，因为在抛物线上，所以，即，所以，，故解法二：（1）设，依题意.因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为.依题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，所以在以为焦点，为准线的抛物线上.所以的方程为..（2）设，，因为直线过，依题意可设其方程由得，因为，所以，则有.因为是的中点，所以.由抛物线的定义得.，设圆与相切于，因为与抛物线相交于，所以，且，所以，即，解得，设，则，且，所以，因为，所以为的中点，所以，又因为为的中点，，所以.解法三：（1）同解法一.（2）设，，连结，.因为直线过，依题意可设其方程由得.，因为，所以，所以.因为，，又因为，所以，解得，所以，所以，故.又因为，所以，从而.所以，又，所以.6.【2019届江西省赣州市高三年级调研】已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；