2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)4.1.2无理指数幂及其运算(分层作业)(夯实基础+能力提升)(原卷版+解析)

4.1.2无理指数幂及其运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·河北·元氏县第四中学高一开学考试）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则＝（

）A．12 B．14 C．16 D．203．(2023·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）下列各式中成立的一项（

）A． B．C． D．4．(2023·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．(2023·全国·高一课时练习）式子的计算结果为（

）A． B． C． D．6．(2023·北京大兴·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．7．(2023·北京房山·高一期末）化简的结果是（

）A． B． C． D．二、多选题8．(2023·全国·高一）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，9．(2023·山东枣庄·高一期末）(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．B．C．)D．10．(2023·全国·高一课时练习）下列各组数符合分数指数幂的定义，且值又相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和三、填空题11．(2023·全国·高一专题练习）化简___________12．(2023·黑龙江·嫩江市高级中学高一阶段练习）已知＝5，则的值为_________．13．(2023·全国·高一专题练习）已知，化简：______．14．(2023·全国·高一专题练习）已知,，则的值为______.15．(2023·全国·高一专题练习）计算：___．四、解答题16．(2023·江苏·南京市雨花台中学高一阶段练习）化简求值：17．(2023·江苏省镇江中学高一阶段练习）（1）化简：（1）；（2）先化简，再求值．已知，，求的值．18．(2023·全国·高一课时练习）计算：（1）______；（2）______．19．(2023·江苏·高一单元测试）（1）求值：；（2）已知，求值：.20．(2023·湖南·高一课时练习）用计算器求值（结果精确到0.001）：(1)；(2)；(3)．21．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）22．(2023·全国·高一专题练习）求值.23．(2023·湖南·高一课时练习）已知，求的值．【能力提升】一、单选题1．(2023·江苏·高一单元测试）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．2．(2023·黑龙江·高一期中）定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（

）A． B． C．1 D．3．(2023·河南平顶山·高一期末）已知函数若，则实数的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（

）A．（） B．C．（） D．（）5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．56．(2023·全国·高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围是A． B．C． D．二、多选题7．(2023·全国·高一单元测试）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．C．为定值 D．8．(2023·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知实数满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．9．(2023·全国·高一）已知函数，，对任意，则（

）A． B．C． D．三、填空题10．(2023·浙江温州·高一期末）写出同时满足以下三个条件的一个函数＝________．①；②；③且．四、解答题11．(2023·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).12．(2023·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2).13．(2023·云南临沧·高一期中）已知函数．(1)记，已知函数为奇函数，求实数b的值；(2)求证：函数是上的减函数．14．(2023·全国·高一课时练习）根据人教2019版必修一P87页的13题介绍：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．题：设函数，且，(其中是常数)，函数．(1)求的值，

并证明是中心对称函数;(2)是否存在点，使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．15．(2023·全国·高一专题练习）设，且x，y，a均为正数，求证：.16．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．17．(2023·江苏·徐州市王杰中学高一阶段练习）（1）计算：；（2）已知，证明：．18．(2023·江苏·高一单元测试）（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数(1)计算；；的值；(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；(3)求的值．20．(2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值：(1)解方程4x﹣2x+1﹣8＝0(2)2﹣1.21．(2023·全国·高一专题练习）（1）计算：；（2）化简：．22．(2023·全国·高一课时练习）对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．23．(2023·湖北省天门中学高一阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.24．(2023·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）（1）计算（2）化简：.4.1.2无理指数幂及其运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·河北·元氏县第四中学高一开学考试）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．答案：D分析：根据指数幂的运算逐一判断即可得到结果.【详解】∵，∴A错误；∵，不是同类项，∴，∴B错误；∵，∴C错误；∵，∴D正确，故选:D．2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则＝（

）A．12 B．14 C．16 D．20答案：B分析：根据指数式的运算即可求解.【详解】因为，所以，则，故选:B．3．(2023·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）下列各式中成立的一项（

）A． B．C． D．答案：D分析：根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.4．(2023·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B分析：根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】取，满足，而无意义，即不能推出；若，则必有，即成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5．(2023·全国·高一课时练习）式子的计算结果为（

）A． B． C． D．答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.【详解】.故选：D.6．(2023·北京大兴·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：B分析：将根式转化为分数指数幂，然后根据幂的运算性质即可求解.【详解】解：因为，所以，故选：B.7．(2023·北京房山·高一期末）化简的结果是（

）A． B． C． D．答案：A分析：利用分数指数幂与根式的互化可得结果.【详解】利用分数指数幂与根式的互化可得.故选：A.二、多选题8．(2023·全国·高一）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，答案：CD分析：根据根式与分数指数幂的互化的知识确定正确选项.【详解】对于A选项，，所以A选项错误.对于B选项，，所以B选项错误.对于C选项，，，所以C选项正确.对于D选项，，，所以D选项正确.故选：CD9．(2023·山东枣庄·高一期末）(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．B．C．)D．答案：BD分析：根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项.【详解】A选项，由于，所以，A选项错误.B选项，正确，B选项正确.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项正确.故选：BD10．(2023·全国·高一课时练习）下列各组数符合分数指数幂的定义，且值又相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和答案：ACD分析：根据分数指数幂的定义及运算性质即可求解.【详解】解：对于A：，故选项A正确；对于B：0的负分数指数幂没有意义，故选项B错误；对于C：，故选项C正确；对于D：，故选项D符合题意．故选：ACD．三、填空题11．(2023·全国·高一专题练习）化简___________答案：分析：将根式化成指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；【详解】解：.故答案为：12．(2023·黑龙江·嫩江市高级中学高一阶段练习）已知＝5，则的值为_________．答案：23分析：根据式子结构，利用完全平方公式即可求解.【详解】因为＝5，所以.故答案为：2313．(2023·全国·高一专题练习）已知，化简：______．答案：分析：根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解.【详解】解：，因为，，所以，所以．故答案为：.14．(2023·全国·高一专题练习）已知,，则的值为______.答案：47分析：由两边平方得，再两边平方可求出结果.【详解】由，得，即，所以，则.故答案为：.15．(2023·全国·高一专题练习）计算：___．答案：##0.5分析：应用有理指数幂的运算法则化简求值即可.【详解】原式.故答案为：四、解答题16．(2023·江苏·南京市雨花台中学高一阶段练习）化简求值：答案：12分析：由指数的运算法则即可求解.【详解】原式故答案为：1217．(2023·江苏省镇江中学高一阶段练习）（1）化简：（1）；（2）先化简，再求值．已知，，求的值．答案：（1）；（2）．分析：（1）利用分数指数幂的运算法则进行计算；（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值.【详解】（1）；（2），因为，，所以.18．(2023·全国·高一课时练习）计算：（1）______；（2）______．答案：

1

3分析：根据指数幂的运算性质可得（1）（2）计算结果.【详解】（1）原式．（2）原式．19．(2023·江苏·高一单元测试）（1）求值：；（2）已知，求值：.答案：（1）81；（2）6.分析：（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.【详解】（1）原式；（2）由，而，则，故.20．(2023·湖南·高一课时练习）用计算器求值（结果精确到0.001）：(1)；(2)；(3)．答案：(1)；(2)；(3).分析：利用计算器，分别输入进行计算即可得解.(1)利用计算器得：.(2)利用计算器得：.(3)利用计算器得：.21．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）答案：(1)(2)(3)分析：（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案.（2）结合指数运算求得正确答案.（3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.（1）因为，且，所以..（2）.（3）.22．(2023·全国·高一专题练习）求值.答案：分析：根据指数幂的运算性质可求出结果.【详解】原式.23．(2023·湖南·高一课时练习）已知，求的值．答案：分析：利用平方差公式先化简目标式，再代值计算即可.【详解】因为，故.【能力提升】一、单选题1．(2023·江苏·高一单元测试）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．答案：A分析：将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.【详解】由题设，，即，又，且，所以.故选：A.2．(2023·黑龙江·高一期中）定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（

）A． B． C．1 D．答案：B分析：根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．【详解】解：奇函数恒满足，，即，则，即，即是周期为4的周期函数，所以，故选：B．3．(2023·河南平顶山·高一期末）已知函数若，则实数的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B分析：根据分段函数分段处理的原则，求出，代入即可求解.【详解】由题意可知，，，又因为，所以，解得.故选：B.4．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（

）A．（） B．C．（） D．（）答案：C分析：利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.【详解】A中，（），故A错误；B中，，故B错误；C中，（），故C正确；D中，（），故D错误．故选：C．5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．5答案：D分析：因为,则,可得,即可计算的值.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题.6．(2023·全国·高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围是A． B．C． D．答案：C分析：由题意得到关于x的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围.【详解】要使有意义，需使，解得，表示为区间形式即.故选C.【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，根式有意义时自变量范围的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多选题7．(2023·全国·高一单元测试）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．C．为定值 D．答案：ACD分析：可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析f(x)正负情况，化简求解.【详解】因为，所以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，.对于A，，故为偶函数，A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，当时，，；当时，，，所以，故D正确.故选：ACD.8．(2023·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知实数满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．答案：AC分析：根据指数幂的运算依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：，故选项A正确；，故选项B错误；，故选项C正确；,,故选项D错误．故选：AC．9．(2023·全国·高一）已知函数，，对任意，则（

）A． B．C． D．答案：BCD分析：对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.【详解】对选项A，，，故选项A错误；对选项B，，，则，故选项B正确；对选项C，不妨设，则，故，故选项C正确；对选项D，因为是奇函数，在上递减则要使恒成立只需：只需：只需：而，故，故选项D正确故选：BCD三、填空题10．(2023·浙江温州·高一期末）写出同时满足以下三个条件的一个函数＝________．①；②；③且．答案：（答案不唯一）分析：由题可知函数为奇函数，再结合幂函数的性质即得.【详解】∵，∴函数为奇函数，又，∴由幂函数的性质可知，函数可为，函数为奇函数，，又当时，且，，即，∴.故答案为：.【点睛】本题为开放性试题，结合奇函数的概念及幂函数的性质，可得函数可为，然后证明即得.四、解答题11．(2023·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).答案：(1)7(2)47(3)分析：(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值；(3)首先利用立方差公式可得，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.（1）将两边平方，得，所以．（2）将两边平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．12．(2023·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2).答案：(1)(2)分析：（1）已知等式两边同时平方即可得到的值（2）与同时平方之后，会有共同部分，整体代入即可求出的值（1），所以（2），所以；，所以13．(2023·云南临沧·高一期中）已知函数．(1)记，已知函数为奇函数，求实数b的值；(2)求证：函数是上的减函数．答案：(1)(2)证明见解析分析：（1）由奇函数性质列方程去求实数b的值即可解决；（2）以减函数定义去证明函数是上的减函数即可.(1)函数的定义域为，，∵为奇函数，，所以恒成立，

即恒成立，解得，经检验时，为奇函数.故实数b的值为(2)设任意实数，则，

因为，所以，，即又，则

所以，即，所以函数是上的减函数．14．(2023·全国·高一课时练习）根据人教2019版必修一P87页的13题介绍：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．题：设函数，且，(其中是常数)，函数．(1)求的值，

并证明是中心对称函数;(2)是否存在点，使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．答案：(1)，证明见解析(2)分析：（1）根据代入求出的值，即可得到函数的解析式，假设存在点使函数为奇函数，即对恒成立，即可求出、的值，从而求出函数的对称中心，即可得证；（2）设，即可得到，从而得到，即可得到的对称中心是，从而得解；(1)∵函数，且，，∴，所以；依题假设存在点使函数为奇函数，则对恒成立，，，，，

，，对恒成立，，，∴对于存在，使函数为奇函数，∴是以为对称中心的中心对称函数.(2)解：设，所以即，即关于对称，又，的对称中心是，依题意，使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则直线必过的对称中心，所以所求为；15．(2023·全国·高一专题练习）设，且x，y，a均为正数，求证：.答案：证明见解析分析：根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论.【详解】，设，则，即，故成立.16．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．答案：（1）18；（2）.分析：（1）由题可得，结合条件及指数幂的运算法则即得；（2）由题意化简所给的代数式，再结合条件即求.【详解】（1）．（2）∵，，∴原式．17．(2023·江苏·徐州市王杰中学高一阶段练习）（1）计算：；（2）已知，证明：．答案：（1）；（2）答案见解析分析：（1）根据指数幂的运算法则计算即可；（2）利用作差法证明即可．【详解】（1）原式＝．（2）证明：∵，∴，，∴，则有．18．(2023·江苏·高一单元测试）（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.答案：（1）；（2）8分析：（1）由已知得，结合指数运算法则化简；（2）令，，结合因式分解可得，，则，结合已知即可求值.【详解】（1）由，得，∴.（2）令，，则，，，.∴.19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数(1)计算；；的值；(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；(3)求的值．答案：(1)1；1；1；(2)；证明见解析；(3)分析：（1）利用函数解析式代入法去求解即可解决；（2）结合（1）的结果，归纳出，利用函数解析式代入即可证明；（3）利用（2）的结论及的值即可求得的值．（1）；；（2）结合（1）的结果，归纳出，证明如下：（3）由（2）可知，则20．(2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值：(1)解方程4x﹣2x+1﹣8＝0(2)2﹣1.答案：(1)2(2)5分析：（1）令，，原方程可化为，解二次方程可求，进而可求.（2）直接由有理指数幂的运算性质求解即可.（1），令，则原方程可化为，解得，（舍去），，即.（2）.21．(2023·全国·高