中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题27解答题重点出题方向几何综合题(不含圆)专项训练(原卷版+解析)

专题27解答题重点出题方向几何综合题（不含圆）专项训练（原卷版）模块一2022中考真题集训1．(2023•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=12BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为（1）若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；（2）若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的长．2．(2023•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（1）∠EDC的度数为°；（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；（4）求CHCE3．(2023•镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH＝AB；（2）如图2，已知AE＝AH，CF＝CG，当AE、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩形；（3）如图3，AE＝DG，EG、FH相交于点O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．

4．(2023•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．5．(2023•东营）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．

6．(2023•衢州）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）求证：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面积．②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．7．(2023•朝阳）【思维探究】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．【思维延伸】（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．【思维拓展】（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD=6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD

8．(2023•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC=3，求AB9．(2023•安顺）如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．（1）求线段AE的长；（2）求证四边形DGFC为菱形；（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DCM，设DN＝x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．10．(2023•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．11．(2023•鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝62，ED＝12，求EM的长．12．(2023•益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？13．(2023•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

14．(2023•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，3）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．①求m值最大时点D的坐标；②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．15．(2023•绵阳）如图，平行四边形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？（3）如图3，H在线段AB上且AH=13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝

16．(2023•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．（1）如果AE＝CE．ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE=2AE，求AB17．(2023•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系：．（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．

18．(2023•长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD＝45°，∠BFA＝∠∴∠EFA＝∠BFA＝45°．∴AF=2AB＝请你补全余下的证明过程．【结论应用】（1）∠DAG的度数为度，FGAF的值为（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为．（用含19．(2023•长春）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD=13，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t（1）点D到边AB的距离为；（2）用含t的代数式表示线段DP的长；（3）连结A'D，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．

20．(2023•通辽）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求CEDG（3）AB＝82，AG=22AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），当C，G，E三点共线时，请直接写出21．(2023•贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O．（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为，AOAD的值为（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC=32，求②如图3，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．模块二2023中考押题预测22．(2023•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．（1）求证：四边形BGDE是菱形；（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求CG的长．

23．（2023•阳明区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为一个动点，且点D到点C的距离为1，连接CD，AD，作EA⊥AD，使AE＝AD．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）求证：BD⊥EC；（3）直接写出BD最大和最小值；（4）点D在直线AC上时，求BD的长．24．(2023•长春模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D为边AB上的点，且BD＝1．动点P从点A出发（点P不与点A、C重合），沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿折线CB一BD向终点D运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t（0＜t＜4）秒．（1）当点Q与点B重合时，t的值为；（2）当点E落在AC边上时，求t的值；（3）设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连结PQ，直接写出PQ与△ABC的边平行时t的值．25．(2023•鹿城区校级三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，连结CE，作CF⊥EC交射线AD于点F，过点F作FG∥CE交射线CD于点G，连结EG交AD于点H．（1）求证：CE＝CF．（2）求HD的长．（3）如图2，连结CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连结PQ，当∠QPC与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长．

26．(2023•襄州区模拟）（1）【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF＝45°．①求证：△DBE∼△DCF；②BECF=（2）【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，tan∠EDF=43，BE＝5，求（3）【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC＝5，对角线AC＝6，BH⊥AD交DA的延长线于点H，E、F分别是线段HB和AC上的点，tan∠EDF=34，HE=827．(2023•市南区二模）已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．（1）求证：△OAE≌△OBG；（2）判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论．28．(2023•莱芜区二模）四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A，连接BM和DN．（1）如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转α角（0°＜α＜360°）时，BM和DN的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且ABAD=AMAN=（3）在（2）的条件下，若AB＝2，AM＝1，矩形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜360°），当MN∥AB时，求线段DN的长．29．(2023•定安县一模）将一块足够大的直角三角板的直角顶点P放在边长为1的正方形ABCD的对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B，另一条直角边与射线DC交于点E．（1）当点E在边DC上时（如图1），求证：①△PBC≌△PDC；②PB＝PE．（2）当点E在边DC的延长线上时（如图2），（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．30．(2023•宝安区校级一模）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当∠BEF＝25°，则∠FEA'＝°．【特例探究】如图2，连接DF，当点A'恰好落在DF上时，求证：AE＝2A'F．【深入探究】如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．【拓展探究】如图4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．

31．(2023•大观区校级二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，点E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．（1）求证：△ADE≌△FCD；（2）如图（2），连接DB交AE于点G．①若AG＝DC．求证：BC平分∠DBF；②若DB∥CF，求CFBD32．(2023•甘井子区校级模拟）已知等腰三角形ABC，∠F＝2∠ABC，CD＝kBD，∠FGC＝α．（1）如图1，当k＝1时，①探究DG与CE之间的数量关系；②探究BE，CG与CE之间的关系（用含α的式子表示）．（2）如图2，当k≠1时，探究BE，CG与CE之间的数量关系（用含k，α的式子表示）．33．(2023•市南区校级二模）如图，在▱ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式．（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为F′，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．34．(2023•雁塔区模拟）在四边形ABCD中，AB＝BC，∠B＝60°；（1）如图1，已知，∠D＝30°求得∠A+∠C的大小为．（2）已知AD＝3，CD＝4，在（1）的条件下，利用图1，连接BD，并求出BD的长度；（3）问题解决；如图2，已知∠D＝75°，BD＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．35．(2023•翔安区模拟）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM的度数．36．(2023•即墨区一模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC．（1）求证：AB＝AF；（2）若∠ACB＝30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

37．(2023•文昌模拟）如图，在正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点（点P不与点A点C重合），过点P作PE⊥AD于点E，点M为CP的中点，分别连接MB、MD、ME．（1）求证：△AMB≌△AMD；（2）连接BE，过点M作MN⊥AD于点N，证明：△BME是等腰直角三角形；（3）将图中△PEA绕点A顺时针旋转45°得到△P′E′A，设点M′为P′C的中点，连接M′E′、M′B、E′B（请在备用图中画出图形），判断此时△BM′E′的形状，并说明理由．38．(2023•郧西县模拟）如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

专题27解答题重点出题方向几何综合题（不含圆）专项训练（解析版）模块一2022中考真题集训1．(2023•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=12BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为（1）若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；（2）若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的长．思路引领：（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求∠BAP＝∠APB＝45°，可得AB＝BP，即可得结论；（2）由勾股定理可求解．解：（1）BP＝CP，理由如下：∵CG为∠DCF的平分线，∴∠DCG＝∠FCG＝45°，∴∠PCE＝45°，∵CG⊥AP，∴∠E＝∠B＝90°，∴∠CPE＝45°＝∠APB，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴AB＝BP，∵AB=12∴BC＝2AB，∴BP＝PC；（2）∵△ABP≌△CEP，∴AP＝CP，∵AB＝3，∵BC＝2AB＝6，∵AP2＝AB2+BP2，∴（6﹣BP）2＝9+BP2，∴BP=9总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2．(2023•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（1）∠EDC的度数为45°；（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；（4）求CHCE思路引领：（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由三角形中位线定理可得DE∥AB，可求解；（2）设AP＝x，由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求AG的长，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；（3）由“SAS”可证△CEF≌△GDF，可得CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，可求解；（4）利用勾股定理和相似三角形的性质分别求出CH，CE的值，即可求解．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝122，∵D、E分别为BC、PC的中点，∴DE∥AB，DE=12∴∠EDC＝∠ABC＝45°，故答案为：45；（2）设AP＝x，则BP＝12﹣x，∵DE=12∴DE＝6−x∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠DEF＝45°，∴DF＝EF=22DE＝32∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝62，∴CF＝32+2∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠CGF＝45°，∴GF＝FC，∴GC=2FC＝6+∴AG＝6−x∴S△APG=12×AP×AG=12×x×（6−x∴当x＝6时，△APG的面积的最大值为9；（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，∴△CEF≌△GDF（SAS），∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，∵∠DGF+∠GDF＝90°，∴∠GDF+∠DCE＝90°，∴∠DHC＝90°，∴DG⊥PE，∵点E是PC的中点，∴PE＝EC，∴DG＝PE；（4）方法一、∵CF＝32+24x＝GF，EF＝3∴EC=C∵AP＝x，AC＝12，∴PC=A∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，∴△APC∽△HGC，∴GHAP∴GHx∴GH=6x+x22∴CHCE=72+6x∴CHCE的最大值为2方法二、如图，过点H作MH∥AB，交BC于M，∵∠DHC＝90°，∴点H以CD为直径的⊙O上，连接OH，并延长交AB于N，∵MH∥AB，∴OHON∵OH，OB是定长，∴ON的取最小值时，OM有最大值，∴当ON⊥AB时，OM有最大值，此时MH⊥OH，CM有最大值，∵DE∥AB，∴MH∥DE，∴CHCE∴当CM有最大值时，CHCE∵AB∥MH，∴∠HMO＝∠B＝45°，∵MH⊥OH，∴∠HMO＝∠HOM＝45°，∴MH＝HO，∴MO=2HO∵HO＝CO＝DO，∴MO=2CO，CD＝2CO∴CM＝（2+1）CO∴CHCE总结提升：本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．3．(2023•镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH＝AB；（2）如图2，已知AE＝AH，CF＝CG，当AE、CF的大小有AE＝CF关系时，四边形EFGH是矩形；（3）如图3，AE＝DG，EG、FH相交于点O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．思路引领：（1）证明△AEH≌△BFE（AAS），推出AH＝BE，可得结论；（2）当AE＝CF时，四边形EFGH是矩形．根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可；（3）如图3中，过点H作HM⊥BC于点M．，交EG于点N．ZM四边形AEGD是平行四边形，推出AD∥EG，EG∥BC，可得HNHM=HOHF，设OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，则ℎ16=20−5x20，可得h＝4（4﹣x），可得S=12•OE•HN=12×4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AEH+∠AHE＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠AHE，在△AEH和△BFE中，∠A=∠B=90°∠AHE=∠BEF∴△AEH≌△BFE（AAS），∴AH＝BE，∴AE+AH＝AE+BE＝AB；（2）解：当AE＝CF时，四边形EFGH是矩形．理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF，DH＝DG，∴∠AEH＝∠BEF＝45°，∴∠HEF＝90°同法可证，∠EHG＝90°，∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．故答案为：AE＝CF；（3）解：结论：四边形EFGH是平行四边形．理由：如图3中，过点H作HM⊥BC于点M．，交EG于点N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵AE＝DG，AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形，∴AD∥EG，∴EG∥BC，∴HNHM∵OE：OF＝4：5，设OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，则ℎ16∴h＝4（4﹣x），∴S=12•OE•HN=12×4x×4（4﹣x∵﹣8＜0，∴x＝2时，△OEH的面积最大，∴OE＝4x＝8=12EG＝OG，OF＝5x＝10=12∴四边形EFGH是平行四边形．总结提升：本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数，解决最短问题，属于中考压轴题．4．(2023•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．思路引领：（1）根据SAS证明三角形全等即可；（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°．∵DE＝DF，∠EDF＝90°．∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．∵∠ADP＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°．∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF．∵∠DPA＝∠GPC，∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．∴∠PGN＝90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．∴∠ABM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△AMB≌△CNB．∴MB＝NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD．∴BM＝AH．∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．∴BM最小值＝AH最小值=23由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，∴BG最小值=2总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．(2023•东营）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是CD＝EF，位置关系是CD∥EF；（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．思路引领：（1）利用等边三角形的性质解决问题即可；（2）证明△FAB≌△DAC（SAS），推出BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝60°，再证明△EFB是等边三角形，可得结论；（3）当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．解：（1）∵△ABC，△ADF都是等边三角形，∴EF＝AB＝CD，∠ADC＝∠FED，∴EF∥CD，故答案为：CD＝EF，CD∥EF；（2）结论成立．理由：如图2中，连接BF．∵△ABC，△ADF都是等边三角形，∴∠FAD＝∠BAC，AF＝AD，AB＝AC，∴∠FAB＝∠DAC，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝60°，∵AE＝BD，AB＝BC，∴BE＝CD＝BF，∴△EFB是等边三角形，∴EF＝BF＝CD，∠FEB＝∠ABC＝60°∴EF∥CD；证法二：先证△CAE≌△ABD，得到CE＝AD＝DF，再证明CE∥DF，即可得四边形CDFE是平行四边形，即可得出结论平行且相等．（3）当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．此时四边形BDEF是菱形．理由：如图3中，连接DF．由（2）可知，△BEF是等边三角形，BE＝CD，∵BD＝CD，∴BE=12∵△BEF∽△ABC，∴S△BEFS△ABC=（BE∵EF∥CD，EF＝CD，∴四边形EFDC是平行四边形，∴S平行四边形EFDC＝2S△EFB，∴S平行四边形EFDC连接DE．∵BE＝BD，∠EBD＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵△BEF是等边三角形，∴四边形BDEF是菱形．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．(2023•衢州）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）求证：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面积．②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．思路引领：（1）由菱形的性质得CB＝AB，CD＝AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠CBD=12∠ABC，而∠CBG=12∠EBC，所以∠DBG=1（2）①连结AC交BD于点K，交DE于点L，由∠AKB＝90°，AB＝5，DK＝BK=12BD＝3，根据勾股定理可求得AK＝4，则AC＝8，即可由S菱形ABCD=12AC•②先由∠DKL＝∠DBG＝90°证明AC∥BG，则DLGL=DKBK=1，所以DL＝GL=12DG，再由DG＝2GE得GE=12DG，则DL＝GL＝GE，即可由CD∥AB，得CLAL=DL（3）过点G作GT∥BC，交AE于点T，由∠DKL＝∠DBG＝90°可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，由△BGE∽△ALE得EGLG=BEAB=1，所以EG＝LG，同理可得DL＝LG，再证明△ETG∽△EAD，得GTDA=ET（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝AB，CD＝AD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠CBD＝∠ABD=12∠∵∠CBG＝∠EBG=12∠∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG=12（∠ABC+∠EBC）（2）解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，∵AC⊥BD，∴∠AKB＝90°，∵AB＝5，BD＝6，∴BK＝DK=12∴AK=A∴CK＝AK＝4，∴AC＝8，∴S菱形ABCD=12AC•BD②∵∠DKL＝∠DBG＝90°，∴AC∥BG，∴DLGL∴DL＝GL=12∵DG＝2GE，∴GE=12∴DL＝GL＝GE，∵CD∥AB，∴CLAL∴CL=13AC=1∴KL＝4−8∴tan∠BDE=KL（3）解：如图3，过点G作GT∥BC，交AE于点T，则GT为定值，理由：连结AC交BD于点K，交DE于点L，∵∠DKL＝∠DBG＝90°，∴当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，∴△BGE∽△ALE，∵BE＝AB，∴EGLG∴EG＝LG，∵KL∥BG，∴DLLG∴DL＝LG＝EG=13∵AD∥BC，∴GT∥AD，∴△ETG∽△EAD，∴GTDA∵BE＝AB＝DA＝5，∴GT=13DA=1∴GT为定值；∵EA＝BE+AB＝10，∴ET=13EA=1总结提升：此题重点考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．7．(2023•朝阳）【思维探究】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．【思维延伸】（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．【思维拓展】（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD=6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD思路引领：（1）如图1中，延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；（2）结论：CB+CD=2AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM＝BN，AM＝AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM＝CN（3）分两种情形：如图3﹣1中，当∠CDA＝75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3﹣2中，当∠CBD＝75°时，分别求解即可．（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADE+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADE，在△ADE和△ABC中，DA=BA∠ADE=∠B∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，∴∠CAE＝∠BAD＝60°，∴△ACE的等边三角形，∴CE＝AC，∵CE＝DE+CD，∴AC＝BC+CD；（2）解：结论：CB+CD=2AC理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠CDA+∠CBA＝180°，∵∠ABN+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABN，∵∠AMD＝∠N＝90°，AD＝AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM＝BN，AM＝AN，∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴AC=2CM∵AC＝AC．AM＝AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∴CB+CD＝CN﹣BN+CM+DM＝2CM=2AC（3）解：如图3﹣1中，当∠CDA＝75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．∵∠CDA＝75°，∠ADB＝45°，∴∠CDB＝30°，∵∠DCB＝90°，∴CD=3CB∵∠DCO＝∠BCO＝45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP＝OQ，∴S△OBC∴ODOB∵AB＝AD=6，∠DAB∴BD=2AD＝23∴OD=31+3×2如图3﹣2中，当∠CBA＝75°时，同法可证ODOB=13，OD=1综上所述，满足条件的OD的长为33−3或3−总结提升：本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．(2023•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC=3，求AB思路引领：（1）由等腰直角三角形的性质可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可得结论；（2）通过证明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性质可得结论；（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB'=3AD解：（1）如图1，延长CE交AB于H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠CDE'＝∠ADB'，又∵CDDE′∴△ADB'∽△CDE'，∴∠DAB'＝∠DCE'，∵∠DCE'+∠DGC＝90°，∴∠DAB'+∠AGH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CE'⊥AB'；（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，∵△BED绕点D顺时针旋转30°，∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，∵DH⊥AB'，∴AD＝2DH，AH=3DH＝B'H∴AB'=3AD由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，∵AD⊥BC，CD=3∴DG＝1，CG＝2DG＝2，∴CG＝FG＝2，∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，∴AG＝2GF＝4，∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，∴AB'=3AD＝53总结提升：本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．9．(2023•安顺）如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．（1）求线段AE的长；（2）求证四边形DGFC为菱形；（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DCM，设DN＝x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）在直角三角形BCF中，由勾股定理求出BF＝6，进而求得AF＝4，设AE＝x，则EF＝DE＝8﹣x，在直角三角形AEF，根据勾股定理累出关于x的方程；（2）根据CD∥AB得出△AGE∽△DCE，从而得出AGCD=AE（3）先求得∠BGC的正切和正弦值，当∠MDN＝90°时，解直角三角形DGM和直角三角形DMN；当∠DMN＝90°时，解直角三角形DMG和直角三角形DMN．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8，在Rt△BCF中，CF＝CD＝10，BC＝8，∴BF＝6，∴AF＝AB﹣BF＝4，设AE＝x，则EF＝DE＝8﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，EF2﹣AE2＝AF2，∴（8﹣x）2﹣x2＝42，∴x＝3，∴AE＝3；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△AGE∽△DCE，∴AGCD由（1）得：AE＝3，∴DE＝8﹣3＝5，∴AG10∴AG＝6，∴FG＝AF+AG＝4+6＝10，∴FG＝CD，∴四边形DGFC是平行四边形，∵CD＝CF，∴▱DGFC是菱形；（3）解：∵四边形FGDC是菱形，∴∠DGC＝∠DCG＝∠FGC=12∠DGF，DG在Rt△BCG中，BC＝8，BG＝BF+FG＝6+10＝16，∴tan∠FGC=BCBG=12，∴sin∠FCG=BC如图1，当∠MDN＝90°时，在Rt△GDM中，DM＝DG•tan∠DGM＝10•tan∠FGC＝10×1在Rt△DMN中，DN＝DM•tan∠DMN，∵∠DMN＝∠DCM，∠DCM＝∠FGC，∴DN＝DM•tan∠FGC＝5×1如图2，当∠MND＝90°时，∠DMN+∠GDM＝90°，∵∠DMN＝∠DCM＝∠DGM，∴∠DGM+∠GDM＝90°，∴∠DMG＝90°，∴DM＝DG•sin∠DGM＝10×55=在Rt△DMN中，DN＝DM•sin∠DMN＝DM•sin∠FGC＝25×综上所述：DN=5总结提升：本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，考虑全面，充分利用解直角三角形或相似三角形的知识．10．(2023•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．思路引领：（1）证明△ABE≌△ADF，从而得出结论；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，类比（1）可证得△ABE≌△ADG，进而证明△GAF≌△EAF，进一步得出结论；（3）作HR⊥BC于R，证明△ABE≌△GRH，从而BE＝HR，在Rt△CRH中可得出HR＝b•sin45°=22，进而BE（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF；（2）解：如图1，BE+DF＝EF，理由如下：在CD的延长线上截取DG＝BE，同理（1）可得：△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即：∠GAF＝45°，∴∠GAF＝∠EAF，在△GAF和△EAF中，AG=AE∠GAF=∠EAF∴△GAF≌△EAF（SAS），∴FG＝EF，∴DG+DF＝EF，∴BE+DF＝EF；（3）如图2，作HR⊥BC于R，∴∠HRG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ABE＝∠HRG，∠BAE+∠AEB＝90°，∵GH⊥AE，∴∠EKG＝90°，∴∠G+∠AEB＝90°，∴∠G＝∠BAE，在△ABE和△GRH中，∠ABE=∠HRG∠BAE=∠G∴△ABE≌△GRH（AAS），∴BE＝HR，在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，∴HR＝b•sin45°=22∴BE=2∴EF＝BE+DF=2总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．11．(2023•鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是AE＝CF，位置关系是AE⊥CF；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝62，ED＝12，求EM的长．思路引领：（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出结论；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的结论还成立，理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD=12∠③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM＝62，∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG=ED2∴EM＝GM+EG＝6+63．总结提升：本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．(2023•益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？思路引领：（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形相似和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；（2）根据△AFB∽△BGC，得AFBG=ABBC，即AFBG=159=53，设AF＝5x，BG（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．解：（1）（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BCE＝90°，∴△AFB∽△BCE；②△AFB∽△CGE，理由如下：∵CG⊥BE，∴∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠AFB，∵∠CEG＝∠ABF，∴△AFB∽△CGE；③△AFB∽△BGC，理由如下：∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，∵∠AFB＝∠CGB＝90°，∴△AFB∽△BGC；（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴AFBG=AB设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴CGBG=CE∴CE＝7.5；（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴AFBC=BF∴5x6x∴CE=54②当C'F＝BF时，如图3，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ABBC设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝4a，∵tan∠CBE=CE∴CE9∴CE＝3；综上，当CE的长为545或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F总结提升：本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．13．(2023•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．思路引领：（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论；（2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE＝PE＝PF＝BF，从而得出ME＝EG＝GF＝NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果；②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE＝EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果．解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，∴AE=2AM=2(4−a)∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），∵AB=2AC=4∴EF＝AB﹣AE﹣BF=2[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]=2（a+∵ab＝8，EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），∴AE2+BF2＝EF2，∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；（2）①如图1，连接PC交EF于G，∵a＝b，∴ME＝AM＝BN＝NF，∵四边形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PGE＝90°，∵CM＝CN＝PM＝PN，∴PE＝PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，∴PE＝AE＝PF＝BF，∴ME＝EG＝FG＝FN，∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECG+∠FCG=1∴∠ECF＝45°；②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2∵EF2＝BF2+AE2，∴DE＝EF，∵CD＝CF，CE＝CE，∴△DCE≌△FCE（SSS），∴∠ECF＝∠DCE=1总结提升：本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．14．(2023•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，3）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为（0，233（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．①求m值最大时点D的坐标；②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）分为点P在线段AB上和在BA的延长线两种情形．当点P在AB上时，AD＝OD，通过解Rt△ACD求得结果；当点P在BA延长线上时，OD＝OA＝2，从而求得点D坐标；（2）①设OD＝x，可证得△ACD∽△DOM，从而得出m和x之间二次函数关系式，进一步求得结果；②作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，可证得AE＝OF，从而表示出FH和OH及DH，根据△DHF∽△DOM列出关于x的方程，进而求得x，进一步求得m的值．解：（1）∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，当点P在线段AB上时，AD＝OD，∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，∵AC⊥y轴，∴∠CAO＝∠AOB＝60°，∴∠CAD＝∠OAC﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，在Rt△AOC中，AC＝OC•tan∠AOC=3⋅tan30°=3×3在Rt△ACD中，AD=AC∴DO=2∴D（0，23当点P在BA的延长线上时，OD＝OA＝2，∴D（0，2），故答案为：（0，23（2）①设OD＝x，则CD=3−∵∠ACD＝∠DOM＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵DM⊥AD，∴∠ADM＝90°，∴∠ADC+∠ODM＝90°，∴∠CAD＝∠ODM，∴△ACD∽△DOM，∴OMCD∴m3∴m＝x•（3−x）＝﹣（x−32）∴当x=32时，m最大∴当m最大=34时，D（0，②如图，假设存在m，使BE＝BF，作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，∵BE＝BF，∴GE＝GF，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∴AG＝OG，∴AG﹣GE＝OG﹣GF，即：AE＝OF，由①知：m＝x⋅(3∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90°，∴四边形ACDQ是矩形，∴AQ＝CD=3−在Rt△AEQ中，AE=AQ∴OF＝AE=2(在Rt△OFH中，HF=12OF=3−x3，∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（3−x∵HF∥OM，∴△DHF∽△DOM，∴DHOD∴x−(3∴x=2∴m=23⋅(总结提升：本题考查了等边三角形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三直角”等模型．15．(2023•绵阳）如图，平行四边形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？（3）如图3，H在线段AB上且AH=13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝思路引领：（1）延长DF交CB的延长线于G，证明△AFD∽△BFG，则AFFB=ADBG，求出BG的长，再由AD∥（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，过点E作EH⊥AB交于H，y=12×AF×EH=12×3x×32x=34x2；此时当x＝2时，y有最大值3；当2≤x≤433时，E点在BD上，F点在AB上，过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，y=12×AF×EN=−34x2+32x+32x；当x=433时，y有最大值2+233；当433≤x≤23时，过点E作EQ⊥（3）连接DH，求出AH＝1，可得AH⊥AB，由直角三角形的性质可得HM＝DM＝MF，则EM=12DF，可得EF∥解：（1）延长DF交CB的延长线于G，∵平行四边形ABCD中，∴CG∥AD，∴∠A＝∠GBF，∴△AFD∽△BFG，∴AFFB∵运动时间为23∴AF=8∵AB＝4，∴BF=4∵AD＝2，∴BG＝1，∴CG＝3，∵AD∥CG，∴EPPC∵AE=2∴ED=4∴EPPC（2）当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，由题意可知，AE＝x，AF=3x∵DB＝23，AB＝4，AD＝2，∴△ABD是直角三角形，且∠A＝60°，过点E作EH⊥AB交于H，∴EH＝AE•sin60°=32∴y=12×AF×EH=12×3此时当x＝2时，y有最大值3；当2≤x≤433时，E点在BD上，F过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，∵AD+DE＝x，AD＝2，∴DE＝x﹣2，∵BD＝23，∴BE＝23−x在Rt△ABD中，DM=3∵EN∥DM，∴ENDM∴EN3∴EN＝1+3−∴y=12×AF×EN=12×（3x）×（1+3−12此时当x=433时，y当433≤x≤23时，过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB∴AB+BF=3x，DA+DE＝x∵AB＝4，AD＝2，∴BE＝23−x+2，BF=3∵PF∥DM，∴BFBD=PF∴PF=32∵EQ∥DM，∴BEBD=EQ∴EQ=3+1−∴y=12×AB×（EQ﹣PF）=12×4×（3+1−12此时当x=433时，y综上所述：当0≤x≤2时，y=34x2；当2≤x≤433时，y=−34x2+32x+32x；当433≤x（3）连接DH，∵AH=13HB，∴AH＝1，∴DH⊥AB，∵M是DF的中点，∴HM＝DM＝MF，∵EM＝HM，∴EM=12∴△EDF是直角三角形，∴EF⊥AD，∵AD⊥BD，∴EF∥BD．总结提升：本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．16．(2023•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．（1）如果AE＝CE．ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE=2AE，求AB思路引领：（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，求出x的值，则可得出答案；（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝22x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE＝CE，OE＝OE，∴△AOE≌△COE（SSS），∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOE+∠COE＝180°，∴∠COE＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD为菱形；ii．解：∵OA＝OC，∴OB是△ABC的中线，∵P为BC的中点，∴AP是△ABC的中线，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，∴9﹣x2＝25﹣9x2，解得x=2∴OB＝3x＝32，∴BD＝2OB＝62；（2）解：方法一：如图，∵⊙A与⊙B相交于E，F，∴AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，又∵F在直线CE上，∴CG是△ABC的中线，∴AG＝BG=12AB，EG=∵CE=2AE∴GE=22AE，CG＝CE+EG=∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2−(2∴AG=22∴AB＝2AG=2AE∴BC2＝BG2+CG2=12AE2+(32∴BC=5AE∴ABBC方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝22x，∵AE＝AF，BE＝BF，∴AB垂直平分EF，∠AGF＝90°，∴∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，∴EQ＝ED＝4x，由勾股定理得CD＝22x，∠DEC＝∠CEQ＝45°，由DE＝4x可得BE＝2x，∴BP=AE∴AB：BC＝22x：25x=10总结提升：本题是圆的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．17．(2023•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系：EF=12AC（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．思路引领：（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到EF＝CG，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明△ACH是等腰直角三角形，即可得到结论；②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，∵EF⊥AB，∴∠EFD＝∠CGD＝90°，∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，∴△EDF≌△CDG（AAS），∴EF＝CG；在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A=∠B=1∴CG=1∴EF=1故答案为：EF=1（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，∴DF＝DH，∴AD+DF＝AD+DH＝AH，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∴AH=2∴AD+DF=2②如图3，过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，∴DF＝DG＝1，∵AD＝3，当点F在点A、D之间时，有∴AG＝1+3＝4，与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，∴AC=2当点D在点A、F之间时，如图4：∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，∴AC=2综合上述，线段AC的长为42或2总结提升：本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．18．(2023•长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资