高考数学一轮复习考点探究与题型突破第59讲　随机事件的概率与古典概型(原卷版+解析)

第59讲随机事件的概率与古典概型1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω3.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．4．古典概型(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．5．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．6．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．考点1随机事件与样本空间[名师点睛]确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[典例]1.在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．以上选项均有可能2.一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．(1)写出这个试验的样本空间；(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？[举一反三]1.下列说法错误的是()A．任一事件的概率总在[0,1]内 B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定2.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()A．5B．6C．7D．8考点2事件的关系与运算[名师点睛]1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.[典例]1.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件3.(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是()A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件D.P(C∪E)＝1[举一反三]1.(2023·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球2.(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是()A．A⊆BB．A∩B＝∅C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A与B互为对立事件3.(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则()A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是eq\f(1,3)考点3频率与概率[名师点睛]1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.[典例](2023·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？[举一反三]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．考点4互斥事件与对立事件的概率[名师点睛]求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.[典例]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.[举一反三]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.考点5古典概型[名师点睛]利用公式法求解古典概型问题的步骤[典例]1.(2023·昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)2.(2023·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)[举一反三]1．(2023·江苏百师联盟联考)将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)2．(2023·福州模拟)“博饼”是闽南地区中秋佳节的传统民俗游戏，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．“博饼”的游戏规则是：参与者轮流把6颗骰子同时投进一个大瓷碗里，而后根据骰子的向上一面点数组合情况，来决定获奖等次，获奖等次分为6类，分别用中国古代科举的排名名称命名，获奖者投出的骰子组合如图所示，根据你所学的概率知识，投出“六杯红”的概率为______；投出“状元插金花”的概率为______．(不需得出具体数值)考点6概率的基本性质[名师点睛]求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．[典例]某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2个的概率；(2)求派出医生至少2个的概率．[举一反三]1.(2023·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(7,10)C.eq\f(9,20) D.eq\f(11,20)2.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(5,6) D.1考点7概率与统计的综合问题[名师点睛]求解古典概型的交汇问题的步骤(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定样本点个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．[典例](2023·天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．[举一反三]饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，为此，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分eq\x\to(x)(同一组数据用该组区间的中点值代表)；(2)在该样本中，若采用分层随机抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率．第59讲随机事件的概率与古典概型1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω3.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．4．古典概型(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．5．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．6．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．考点1随机事件与样本空间[名师点睛]确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[典例]1.在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．以上选项均有可能答案A解析从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．2.一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．(1)写出这个试验的样本空间；(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}．(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．[举一反三]1.下列说法错误的是()A．任一事件的概率总在[0,1]内 B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定答案D解析任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．2.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()A．5B．6C．7D．8答案D解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个．考点2事件的关系与运算[名师点睛]1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.[典例]1.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案BCD解析排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件答案D解析A中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；C中，A∪B与C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C错误；D中，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确.3.(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是()A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件D.P(C∪E)＝1答案AD解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.[举一反三]1.(2023·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球答案D解析对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．2.(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是()A．A⊆BB．A∩B＝∅C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A与B互为对立事件答案BC解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以AD选项错误，B选项正确．A∪B＝“至少一次中靶”，C选项正确．3.(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则()A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是eq\f(1,3)答案BD解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是eq\f(1,3)，D正确．考点3频率与概率[名师点睛]1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.[典例](2023·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq\f(40,100)＝0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq\f(28,100)＝0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq\f(65×40＋25×20－5×20－75×20,100)＝15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq\f(70×28＋30×17＋0×34－70×21,100)＝10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.[举一反三]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.考点4互斥事件与对立事件的概率[名师点睛]求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.[典例]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券中奖的概率为eq\f(61,1000).(2)设“1张奖券既不中特等奖也不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券既不中特等奖也不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).[举一反三]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.考点5古典概型[名师点睛]利用公式法求解古典概型问题的步骤[典例]1.(2023·昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案A解析6个云南省特色小镇分别为a，b，c，d，e，f，其中a为安宁温泉小镇，则6个云南特色小镇中任意选两个的样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15个，其中一个是安宁温泉小镇有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5个，所以要求的概率为P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).2.(2023·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)答案C解析方法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B，将4个1和2个0随机排成一行有Aeq\o\al(6,6)种排法，将1A,1B,1C,1D，排成一行有Aeq\o\al(4,4)种排法，再将0A,0B插空有Aeq\o\al(2,5)种排法，所以2个0不相邻的概率P＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(2,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,3).方法二(含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有Ceq\o\al(2,6)种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有Ceq\o\al(2,5)种排法．所以2个0不相邻的概率P＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,3).[举一反三]1．(2023·江苏百师联盟联考)将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)答案D解析分配方案的总数为Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).2．(2023·福州模拟)“博饼”是闽南地区中秋佳节的传统民俗游戏，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．“博饼”的游戏规则是：参与者轮流把6颗骰子同时投进一个大瓷碗里，而后根据骰子的向上一面点数组合情况，来决定获奖等次，获奖等次分为6类，分别用中国古代科举的排名名称命名，获奖者投出的骰子组合如图所示，根据你所学的概率知识，投出“六杯红”的概率为______；投出“状元插金花”的概率为______．(不需得出具体数值)答案eq\f(1,66)eq\f(5,2×65)解析依题意，6个骰子同时投掷一次，样本点总数为66.其中，投出“六杯红”的样本点数为1；投出“状元插金花”的样本点数为Ceq\o\al(2,6)＝15.故投出“六杯红”的概率为eq\f(1,66)；投出“状元插金花”的概率为eq\f(15,66)＝eq\f(5,2×65).考点6概率的基本性质[名师点睛]求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．[典例]某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2个的概率；(2)求派出医生至少2个的概率．解设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2个”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二“派出医生至少2个”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.[举一反三]1.(2023·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(7,10)C.eq\f(9,20) D.eq\f(11,20)答案B解析设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，则eq\x\to(A)表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(2,5))＝1－eq\f(3×2,5×4)＝eq\f(7,10).2.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(5,6) D.1答案B解析法一A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况，故P(A∪B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).法二P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(2,6)＝1－eq\f(