初中数学竞赛函数强化练习1

初中数学竞赛函数强化练习1

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一、单选题

1.设〃水为正整数，A=，5+3）（〃-1）+4,4=Js+5）A+4,$=J（=+7）&+4,

A=J5+9)A+4,.♦.，4=J(〃+2Z+1)4T+4,・・.,已知AOO=2OO5,则〃的值为

().

A.1806B.2005C.3612D.4100

2.已知4+j2x+y=0,则x-y的值为（）.

A.2B.6C.2或—2D.6或-6

3.设的三个顶点A,B,C均在抛物线y=/上,并且斜边平行于x

轴，若斜边上的高为人则（）

A.h<\B.h=lC.l<h<2D.h>2

4.已知实数小6满足（。一3乂匕—3）20,则+^的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知二次函数尸加+bx+l（aw0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1,0）.当

。―力为整数时，ab=（）

A.0B.-C.—D.-2

44

6.y=|x-l|+|x-2|+|x-3|的最小值为()

A.5B.4C.3D.2

7.若x>0,）,>o,且五（五+77）=34（«+577）,则代数式、的值

为（）

A.1B.2C.3D.4

1988

1)+J(〃-2)(1Td)+5Q+1

8.在实数范围内，设工=I+_L1,则X的个位数

_\-a_

字是（）.

A.1B.2C.4D.6

二、填空题

9.函数y=|x+l|+|x+2|+|x+3|,当工=时，y有最小值，最小值等于

10.边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些

等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是.

11.函数y=/-3|x|+7的图象与函数y=W—3犬+,2-3乂+6的图象的交点个数是

12.若x>o,则>=他运士Zr/EZ的最大值是.

X

13.如图所示，8船在A船的西偏北45。处，两船相距10近km.若A船向西航行，B

船同时向南航行，且B船的速度是A船速度的2倍，那么A,8两船的最近距离为

14.已知a,b,c,d为实数，且|a-q=2,也一。|=3,卜一《=4,则〉的最大值

为,最小值为.

3x2+6x+5

15.当x变化时，分式；的最小值是_____.

—x+x+l

2

16.已知五边形AOBCD,其中0(0,0),A(l,0),B(3,2),C(2,5),£>(0,3),过点

C的直线>=丘+/>把五边形分成面积相等的两部分，则左=

三、解答题

2x+2

17.求函数y=的最大值和最小值.

x2+3x+3

18.已知a,4c都是正整数，且抛物线y=ar2+bx+c与x轴有2个不同的交点4和

B,若AB到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.

19.对于i=l,2,3,…有|看|<1且有|百|+|占|+…+|斗|=

2009+1占+*2+…+%求正整数n的最小值.

20.已知二次函数y=a(x—D(x—1—a)(a为常数，且4/0).

(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点;

(2)若点(0,y),(3,必)在函数图像上，比较％与%的大小；

⑶当0<x<3时，y<2,直接写出。的取值范围.

149

21.已知x,y,z是正数且x+y+z=l,比较A=—+—+—与8=36的大小，并问A能

'xyz

否等于8?

22.已知X,y,Z为实数，且满足1+求V+y2+z2的最小值.

[x-y+2z=3

23.如图，D、E、F分别是的三边BC、CA.上任意一点，证明：

AAEF,/\BFD,^CDE中至少有一个三角形的面积不大于AMC的面积的四分之一.

24.(1)证明：若x取任意整数时，二次函数y=a?+"+c总取整数值，那么

2a,a-。,c都是整数；

(2)写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论.

参考答案：

1.A

【解析】

【分析】

【详解】

22

A=，[(〃+1)+2][(〃+1)-2]+4=7(«+1)-2+4=J(〃+l)2=n+\,

&=J[(〃+3)+2][(〃+3)-2]+4=7(«+3)2-22+4=+=n+3,

A=J[(w+5)+25(〃+5)-2]+4=J(〃+5)2-2?+4=>/(n+5)2=n+5>

同理A,=〃+7,4=〃+9,…，4他=”+2x100-1="+199=2005=>"=2005-199=1806.

故选：A.

2.D

【解析】

【分析】

【详解】

解：因为Jx?-4NO,12x+y20，且-4+J2x+y=0,所以&-4=0，(2x+y=0,

g|Jx=±2,y=-2x,于是工_,=工_(_2力=3%=6或-6.

故选：D.

3.B

【解析】

【分析】

【详解】

解设A的坐标为(“,/),点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则8点的坐标为(-〃,/).由勾

股定理可得4:2=(a-c)2+(a2-c2)2,

BC~=(c+a)2+(a2-c2)2,

贝ijAC2+BC2=AB2=(2a)2=4/,

于是2,2+,)+2(/-02y=4/,

答案第1页，共13页

即｛a1-c1）'=cr-c2.

由于/>c2,所以/-c2=l,即斜边上的高/?=（A的纵坐标）一（C的纵坐标）

=<72-C2=1•

注：（1）如图仅画出了0<c<a的情形，在其他情形下，计算是完全相同的.

（2）设4国,乂）,8仇,必），利用勾股定理可得计算A与B的距离的公式为

【解析】

【分析】

【详解】

因为人-420,b-3>0,所以心3,yJa-2>\,所以令。=3,6=8,得到最小值为1.

5.B

【解析】

【分析】

【详解】

依题意知。<0,—<0,a+h+l=0,故〃<0,且b=-a-l,

2a

a-b=a-（-a-i）=2a+l,于是-l<a<0,-l<2a+l<l,

又为整数，；.2<2+1=0,故a=-J=b,=：,故选B

6.D

【解析】

【分析】

【详解】

在x=2取得最小值，正确答案为D

答案第2页，共13页

7.B

【解析】

【分析】

【详解】

己知等式可化为x—2向一15y=0,即(4+34)(«—5j7)=。，所以x=25y,于是

2x+y/xy+3y_50y+J25y?+3y_58y_,

x+-Jxy~y25y+y]25y2-y29y'

8.D

【解析】

【分析】

【详解】

解：要使x有意义，必须且只需

5-2)(同-1)20,

(«-2)(1-|(/|)>0,[(4-2)刎-1)=0,

X=(JL+5x(7)+勺988=(-2)38=(-2)4*497=^497

所以1+j1-(-1)

2

故x的个位数字为6,

故选：D.

9.-22

【解析】

【分析】

【详解】

解当x4-3时，

y——(x+1)—(x+2)—(x+3)=-3(x+2)；

当一3<x4—2时，

y——(x+1)—(x+2)+(x+3)=-x；

当-2<%<-1时，

y=-(x+1)+(x+2)+(x+3)=x+4；

答案第3页，共13页

当X>-1时，

y=(x+l)+(x+2)+(x+3)=3(x+2).

故y=|x+l|+|x+2|+|x+3|在上递减，在［-2,内)上递增，当x=-2时，y取最小

值2.故应填-2,2(如图).

注：①一般说来，对于含绝对值的一次函数，应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数,

再根据函数的增减性(一次项系数为正时递增，为负时递减)就不难得出所求函数的最大

(或最小)值.如果作出其图象，那么其结果是一目了然的.

②本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解：因为表示数轴上坐标

为x的点P到坐标为"的点A的距离，故y=|x+l|+|x+2|+|x+3|表示数轴上坐标为x的

点P到坐标分别为T,-2,-3的点A,B,C的距离之和.显然当P与8重合时，即x=-2时，

这个距离之和为最小，其最小值为线段AC的长度I(-1)-(-3)1=2.

又如，若要求y=|x-9|+|x-8|+|x-3|+|x+l|+|x+5|+|x+6|的最小值，则它等价于求

数轴上坐标为x的点P,分别到坐标为9,8,3,-1,-5,-6的各点C,D,E,尸的距离之和的

最小值.

显然当P在线段8上，即当-14x43时，这个距离之和取最小值，并且最小值

=AF+8E+CO=|9-(-6)|+|8-(-5)|+|3-(-l)|=32.

CBA

__I__AAA.

-3-2-10

FEDCBA

-6-5-4-3-2-10123456789x

10.—

4

【解析】

【分析】

【详解】

答案第4页，共13页

x

X+—=〃

2

设等腰三角形的腰为X,底为以周长被分为的两部分的长分别为〃和2〃，则

y+2=2〃

2

或2，解得(达丫)=俘，当或佟，乩因为2x?丹(此时不能够成三角

卜+厂"

形，舍去)，所以(x,y)=(g),其中〃是3的倍数.则三角形面积

5=lx^lf±lY_^Y当〃20时，S随着”的增大而增大.所以〃=3时.S取

最小值，最小值为迈.

4

II.4

【解析】

【分析】

【详解】

第一个函数化为旷,=,+3。X+7二(X<二0)'第二个函数化为y=(60(024X,43),必或g

d-3x+7(x20),[2.x-6x+6(x(0Ww)3).

分别作它们的图象知，它们共有4个交点.

y=、2f+7，(》<0),尸-3万+7,

或者分别解方程组(0W0)及

y=2x-6x+6[y=6

y=x2-3x+7,

(x>3),可得4个交点为

y=2x2-6x+6

«3(9_病),仅2-8隔),8(；(3_石),6)43(3+病,6],力(；(3+行),8

故答案为:4.

12.yfi—5/2.

【解析】

【分析】

【详解】

因x>0,

答案第5页，共13页

22。/+1+\2\与炉=6+壶,等号成立当且仅当-V=/(x>0),即

x=\,所以%>0时，1的最小值为>/5+应，从而y的最大值为方上万=6-四.

故答案为：x>0时，；的最小值为0+0,从而y的最大值为&=6一应.

13.26km

【解析】

【分析】

【详解】

设1小时后,A8两船分别航行到4和4处.设44,=x,则明=2x,于是

A4=7(10-2X)2+(10-X)2=V5x2-60x+200=j5(x-6)2+20N晒=2旧.

即当x=6时，4万，取最小值2石km.

故答案为：2&km.

14.最大值为9；最小值为1

【解析】

【分析】

【详解】

注意至ijc-d=(c-b)+g-a)+(a-d)(*)

:\c-d\^c-b\+\b-a\+\a-d\=9

a=4b=6c=9"=0可取等号.

所以最大值为9.

由(*)式可知，c-d必定是一个整数，且是一个奇数.

:\c-d\>\

a=0b=2c=5d=4可取等号.

所以最小值为1.

15.4

【解析】

【分析】

答案第6页，共13页

【详解】

_3x2+6x+5

解令'=L'+V+1，去分母整理得

2X+X

(y-6)x2+(2y-12)x+2y-10=0.

若y=6,则①化为2=0,矛盾.故》工6.

因为作为x的方程①有实根x,故

△=(2y-12)2-4(y-6)(2y-10)=-4(/-10y+24)=-4(j-4)(y-6)>0,

即(尸4)(y-6)40,解得44ys

而行6,所以44y<6.

y=4代入①可得x=-l,故当x=-l时，y取最小值4.故应填4.

注：例5〜7中求最值的方法叫做判别式法.这是求函数最值的重要方法之一.但应该注意

的是，化简整理为一个关于x的二次方程后（其余数是变量y的函数），对其二次项系数是

否为零应进行讨论，只有在二次项系数不等于零的情形才能应用判别式法（若使二次项系

数等于0的y的值存在，则这个值也是函数y可取到的值，在求最值时，应将这个值考虑

在内进行讨论）.

【解析】

【分析】

【详解】

如图，设所求直线为CP,过。作直线QE〃C。与x轴交于点E,

所以四边形CDEP的面积，=S4CDO+S^CPO_S4CEO+S^CPO=S^CEP

同理，过8作直线3F//C4与X轴交于点尸，

答案第7页，共13页

所以四边形CDEP的面积邑=以5,

,•S&CEP=S&CFP，即P为E尸中点.

计算得F[")，所以p(Q)，

.「05035.,50

..CP:y=—x-------,..k=—.

131313

7

17.当x=-2时，y取最小值-2；当x=0时，y取最大值理由见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

将原式整理为关于x的方程：+Q),_2)x+(3y-2)=0.

若y=0,则x=—l,即y=0是函数的一个值；若ywO,则因关于x的方程有实根，所以

A=(3y-2)2-4(3y-2)y=(3y-2)(3y-2-4y)>0,即(3y-2)(y+2)40,解得

2

-2<y<-.由此可看出y=。即不是最大值也不是最小值.

当y=-2时，由—2=(2及2解得x=_2；当y=]时，由号2：2解得x=0.

x+3x+333JC+3X+3

7

所以当x=-2时，y取最小值—2；当x=0时，y取最大值

18.11,见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

b

X|+X-)=—<“

设A(X],O),B(X2，°)(X1<%2)，则<a=>百<0,占<0.

-x2=—>0

La

又△=Z??一4ac>0=>h>2y[ac.①

又因为OA=|xJvl,O8=|司<1,

c

故一1"<0,-1<x<0n—=%工2=②

2a

因。>0,抛物线开口向上，故x=—l时，y=a-b+c>0,得6<a+c.

答案第8页，共13页

而"a+c均为正整数，故a+cNA+l,于是由①得a+c>2疯+1=(>>1,由②

W4a—\[c>1,即^/^'>^/^+l,于是a>(&+2(1+=4,所以a25.

又6>2疝42>/^T>4,所以此5.

取a=5,人=5,c=l时，y=5x?+5x+l满足题目条件，故a+6+c的最小值为5+5+1=11.

19.正整数〃的最小值为2010.

【解析】

【分析】

【详解】

作整体估计如下：

2009=1%1+1々I+怎I—1%+W"--<-xn|<|%||+1x21-t---所以“22010.当

20092009

“=2010时，取"=%=3=%《05=砺°，%006=占007=…=々3()=一砺°,则1%|<1

hx

«=1,2,…,2010)且%|+用I2oioI=2009+\xt+x2-\----+-A^OIO|,满足题目条件，故所

求〃的最小值为2010.

20.⑴证明见解析

(2)当avO或a>l时,%>必；当”=1时，％=%；当0<。<1时，*<必

(3)-2<iZ<l,且axO

【解析】

【分析】

(1)令y=o,可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；

(2)先求出%-%=3"(4-1)，然后分三种情况讨论即可；

(3)先求出抛物线与x轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0<x<3范围内分a>0和

。<0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论.

(1)

证明：令y=o,

即=0,

**•x—1=0或x—1—a=0,

答案第9页，共13页

即％=1,x2=1+a,

•・ZHO,

，1wl+〃，

・,•方程有两个不相等的实数根，

・,•该函数的图像与X轴总有两个公共点.

(2)

解：•.•点(O，yJ，(3,%)在函数图像上，

.••当x=0时，y=+。，

当x=3时,，y2--2〃+,

222

yi-y2=a+a-^-2a+4a^=3a-3a=3a^a-1),

・••当avO或时，y>%，

当a=l时，%=%，

当Ovavl时,X<%.

(3)

;二次函数y=a(x—l)(x—l—a),

整理可得：y=ar2一。(a+2)x+a(a+l),

由(1)可知：当y=O时，解得：％=1,电=1+〃，

・・・二次函数的图像交工轴于(1。)和(l+a，O)两点，

-〃（。+2）_a+2

a+2a

~2~~4

a+2a

・・・二次函数图像的顶点坐标为2’4）

2

由(2)可知：当x=0时，yl=a+af

答案第10页，共13页

当x=3时，y2=-2〃2+4。,

当时，二次函数的图像开口向上，

V0<x<3,

.\a2+a<2

**[-2a2+4tz<2，

解得：-2<67<1,

0<<1,

当avO时，二次函数图像开口向下，

..•对称轴*二等，

当。〈生工<3,即-2<"0时，

2

.•.二次函数图像在顶点处取得最大值，

♦/0

••------<2,

4

解得：a>-2,

—2<6?<0,

当出40,即。4一2,

a

由题意可知，/+“42,解得：-2<a<l,GPa--2;

综上所述，当0cx<3时，y<2,。的取值范围是：-2WaWl,且a#0.

【点睛】

本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与x轴的交点，二次函数的性质，

二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式

(组)等知识，采用了分情况讨论的解题方法.解题的关键是x在某一范围内的函数最大

值的确定.

21.A=B>见解析

【解析】

【分析】

【详解】

149

解A=(-+-+-)(x+y+z)

xyZ

答案第II页，共13页

=1+4+9+(，+竺)+(三+区)+("+处)

xyxzyz

=14+2x2+2x3+2x2x3=36=8.

v4xz9x4z9v

故等号成立当且仅当一=——，一=——,——二—,即y=2x,z=3x,2x=3y.

xyxzyz

将y=2x,z=3x代入元+y+z=l,得6x=l,所以x=!，y=，,z=，时，A=B.

632

总、之ANB,当且仅当/=7y=7