人教版初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题-知识讲解（基础）

第三十二讲动手操作与运动变换型问题

【中考展望】

1.对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”

和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准（实

验稿）》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.

2.估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等

和四边形的性质综合考查.需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力.

图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：

1.已知设计好的图案，求设计方案（如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等）.

2.利用基本图案设计符合要求的图案（如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定

要求的图形等）.

3.图形分割与重组（如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求）.

4.动手操作（通过折叠、裁剪等手段制作特定图案）.

解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换（平移、轴对称、旋转、位似）外，还需要综合

运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计.

另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以

获得更多的图形信息.必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效.

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类

是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，

在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，

动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.

【方法点拨】

实践操作问题：

解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，

揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题.解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发,

通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想.在解答过程中一般需要经历操作、

观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己己有的生活经验和数学

知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题.

动态几何问题：

1、动态几何常见类型

(1)点动问题(一个动点)

(2)线动问题(二个动点)

(3)面动问题(三个动点)

2、运动形式

平移、旋转、翻折、滚动

3、数学思想

函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想

4、解题思路

(1)化动为静，动中求静

(2)建立联系，计算说明

(3)特殊探路，一般推证

【典型例题】

类型一、图形的折叠

.(2016•济南)如图1,在矩形纸片ABCD中，AB=8J5,AD=10,点E是CD中点，将这张纸片依

次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2,折痕为MN,连接ME、NE；第二次折叠纸片使

图1图2图3

【思路点拨】

如图2中，作NF_LCD于F.设DM=x,则AM=EM=10-x,利用勾股定理求出x,再利用△DMEs/\FEN,得

/L,求出EN,EM,求出tan/AMN,再证明NEIIG=/AMN即可解决问题.

FNEN

【答案】45°.

【解析】

解：如图2中，作NF_LCD于F.设DM=x,则AM=EM=10-x,

VDE=EC,AB=CD=8V3-

.•.DE当D=4遂，

在RTADEM中,VDM2+DE2=EM2,

2+X2=(10-x)2,

解得x=2.6,

ADM=2.6,AM=EM=7.4,

VZDEM+ZNEF=90°,ZNEF+ZENF=90°,

AZDEM=ZENF,VZD=ZEFN=90°,

AADME^AFEN,

.DE=EM,

..丽EN，

图2

.4G7.4

"^o-而，

.,.EN=3LV3，

6

.•.AN=EN=WL«,

6

.•.tanZAMN=M=_§.J3，

AM6

如图3中,VME±EN,HG1EN,

NNME=NNHG,

图3

VZNME=ZAMN,ZEHG=ZNHG,

ZAMN=ZEHG,

AtanZEHG=tanZAMN=-^J3，

6

故答案为春仃

【总结升华】

本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明

/AMN=/EHG是关键，属于中考填空题中的压轴题.

举一反三：

【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，

如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：（用“能”或“不能”填空）.若填“能”，请确定裁

剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由.

A,

BC

【答案】

解：能.如图所示，取四边形ABCD各边的中点E,F,G,H,连接EG,FH,交点为0.

以EG,FH为裁剪线,EG,FH将四边形ABCD分成I,II,HLW四部分,拼接时图中的I不动，将

II,IV分别绕E,H旋转180°,将川平移，拼成的四边形OOQ2O3即为所求.沿CA方向平移，将点

C平移到点A位置.

类型二、实践操作

2.如图，在等腰梯形ABCD中AB〃CD,AB=30,DC=&，高CE=2亚，对角线AC、BD交于H,平

行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边

于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形

ABCD被直线MN扫过的面积为,被直线RQ扫过的面积为S2,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线

RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒.

(1)填空：ZAHB=；AC=；

⑵若S2=3S],求X；

(3)若S2=〃2，，求m的变化范围.

【思路点拨】

(1)如例2图-1所示,平移对角线DB,交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形,BD=PC,BP=DC

=JI.因为等腰梯形ABCD,AB〃CD,所以AC=BD.所以AC=PC.又高CE=2啦，AB=3四，所以AE=EP

=2J2.所以NAHB=90°AC=4；

DC

例溷-1

⑵直线移动有两种情况：0<x<23及3需要分类讨论.

22

①当0<x<」时，有*=f9]=4.'S,#3sl

2$("J

②当|«x<2时，先用含有x的代数式分别表示S.S2,然后由邑二

=35列出方程,解之可得x的值：

(3)分情况讨论：

①当0<时，m=—=4.

25,

②当时，由S2=,得"二邑=&二一％)=_36(：一,)+4.然后讨论这个函数

2E±x2\

的最值，确定m的变化范围.

【答案与解析】

解：⑴90°,4；

33

(2)直线移动有两种情况：0＜九＜一和一

22

)当0＜%＜一时，・.」识〃8口，.r.△AMN^AARQ,AANF^AAQG.

2

?(AdX2

S2W3S]

S]VAFJ

3

②当—<x<2时,如例2图-2所不，

2

DRC

可

ANEB

例2图-2

2x(^^}=8(2—x)2

CG=4—2x,CH=1,SABCD=-x4xl=2.S&CRQ=

\17

2,

2

S,=-x,S2=8-8(2-%)-

2

由S2=3S「得方程8—8(2—x)9-=3x-x2,

解得％舍去)，々=2.

.*.x=2.

3

(3)当0<x<一时,m=4

2

3

当时，

2

8-8(2-xV3648f12丫

由S2=加5「得加=一——L=_:+竺_12=-36-------+4.

22XX3)

—X

3

131121

M是一的二次函数，当一Wx«2时，即当一《—W；二时，M随上的增大而增大.

x22x3x

3

当X=一时,最大值m=4.当x=2时,最小值m=3.

2

・・・3Wm<4.

【总结升华】

本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形，相似三角形的性质，二次函数的增减性和最

值及分类讨论，由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时，

(1)小题,通过平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常

用的方法.

33

(2)小题直线移动有两种情况：0<x<一及一4x42,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的

22

知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.

小题仍需要分情况讨论.对于函数加+4,讨论它的增减性和最值是个难点.讨论

之前点明我们把这个函数看作“M是'的二次函数”对顺利作答至关重要.

X

C3.已知等边三角形纸片ABC的边长为8,I)为AB边上的点，过点D作I)G〃BC交AC于点G,I)E±

BC于点E,过点G作GFJ_BC于点F,把三角形纸片ABC分别沿DG、DE、GF按图①所示方式折叠.点A、

B、C分别落在A'、B'、C'处.若点A'、B'、C'在矩形DEFG内或其边上.且互不重合，此时我们

称△A'B'C'(即图中阴影部分)为“重叠三角形

(1)若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形),

点A、B、C、D恰好落在网格图中的格点上，如图②所示，请直接写出此时重叠三角形A'B'C'的面积;

(2)实验探究：设AD的长为m,若重叠三角形A'B'C'存在，试用含m的代数式表示重叠三角形A'

B'C'的面积，并写出m的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用).

【思路点拨】

本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关

键.另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m的取值范围.

【答案与解析】

解：(1)重叠三角形A'B'C'的面积为6.

理由：如题图，AA'B'C'是边长为2的等边三角形.

•••其高为6,面积为Lx2x6=g.

2

(2)用含m的代数式表示重叠三角形A'B，C’的面积为6(4-〃?)2,m的取值范围是§Wm<4.

3

理由：如图(1),AD=m,贝UBD=GC=8-m,

由轴对称的性质知DB'=DB=8-m.DA'=DA=m.

‘A'B'=DB'-DA'=8-m—m=2(4-m),

由AABC是等边三角形及折叠过程知AA'B'C'是等边三角形.

它的高是x2(4—in)=,\/3(4—ni).

S,^,B,C=5x2(4—in)x>J3(4—tn)-^3(4—tn)~.

以下求m的取值范围：

如图(1),若B'与F重合，则C'与E重合.

由折叠过程知BE=EB'=EF.

s.“8

CPPF=FC=FpEr...RBrE=rEPF=FC=-.

3

VZB=60°，BD=2BE=—,

3

AD=8--=—,即"？=§.

333

8

若机＜一，如图(2),点B'、C'落在矩形DEFG外，不合题意.

3

,8

♦♦ntN—.

3

又由又B'=2(4-m)>0,得mV4.

o

.••m的取值范围是根<4.

3

【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点.

举一反三：

【变式】阅读下面问题的解决过程：

问题：已知aABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分aABC的面积.

解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可.

情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D,联结AP,过点D作DE〃AP交AC于

E,作直线PE,直线PE即为所求直线.

问题解决：

如图③，已知四边形ABCD,过点B作一直线(不必写作法)，使其等分四边形ABCD的面积，并证明.

B

图③

【答案】

解：如图③，取对角线4C的中点0,联结BO、DO、BD,

过点。作0E〃即交切于E,

直线原即为所求直线

类型三、动态数学问题

如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到4ACD和AA'BC'.

(1)如图②，将4ACD沿A'C'边向上平移，使点A与点C'重合，连接A'D和BC,四边形A，BCD是

形；

(2)如图③，将4ACD的顶点A与A'点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直

线上，则旋转角为度；连接CC',四边形CDBC'是形；

(3)如图④，将AC边与A'C'边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E,连接

BD,四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.

【思路点拨】

(1)利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；(2)利用旋转变换的

性质以及直角梯形判定得出即可；(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD〃AC,AD=CE,即可得出答案.

【答案与解析】

解：(1)平行四边形；

证明:VAD=AB,AA'=AC,:.A'C与BD互相平分，

四边形A'BCD是平行四边形；

(2)：DA由垂直于AB,逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上,

.••旋转角为90度;

证明：VZD=ZB=90°,A,D,B在一条直线上，

...CD〃BC',...四边形CDBC'是直角梯形；

故答案为：90,直角梯；

(3)四边形ADBC是等腰梯形；

证明：过点B作BMLAC,过点D作DNLAC,垂足分别为M,N,

•有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到4ACD和AA'BCr..,.△ACD^AA,BC',

；.BM=ND,ABD/7AC,

•；AD=BC,四边形ADBC是等腰梯形.

【总结升华】

此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识,

熟练掌握判定定理是解题关键.

举一反三：

【变式】(秋•莘县期末)如图，^ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,0),C(6,4)以原点

为位似中心，将4ABC缩小，位似比为1：2,则线段AC中点P变换后对应点的坐标为

【答案】（2，3）或（-2,3--）.

22

【解析】

解：如图，；A(2,2),C(6,4),

二点P的坐标为（4,3）,

V以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2,

线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（-2,-心）或（2,心）.

22

故答案为：（2,至）或（-2,

22

5.如图①,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=60°,动点P从A点出发，以lcm/s的速度沿着A-B-C^D

的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知aPAD的面积S（单位：cm?）与点P移动的时间（单

秒（结果保留根号）.

根据图②判断出AB、BC的长度,过点B作BELAD于点E,然后求出梯形ABCD的高BE,再根据t=2

时4PAD的面积求出AD的长度，过点C作CFLAD于点F,然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出

CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程+速度，计算即可得解.

【答案】(4+273).

【解析】

解：由图②可知，t在2到4秒时，4PAD的面积不发生变化，

...在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，

•••动点P的运动速度是lcm/s,

，AB=2cm,BC=2cm,

过点B作BE1AD于点E,过点C作CF±AD于点F,

则四边形BCFE是矩形，

BE=CF,BC=EF=2cm,

VZA=60°,

.".BE=ABsin600=2X®«,

2

AE=ABcos600=2X_1=1,

2

...工XADXBE=3«,

2

BplxADXJ3=3A/3，

2

解得AD=6cm,

:.DF=AD-AE-EF=6-l-2=3,

在RtACDF中，CD=^Qp24.j)jr2+32=2V3>

所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2后4+2«,

•••动点P的运动速度是lcm/s,

...点P从开始移动到停止移动一共用了(4+273)+1=4+2F(秒).

故答案为：(4+2A/3)-

【总结升华】

本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题

的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线.

第三十二讲动手操作与运动变换型问题

一、选择题

1.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC=6cm,点P从点A出发，沿AB方向以每秒0cm的速度向终点

B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应

点为点P'.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值为（）.

A.V2B.2C.272D.3

2.如图，AB是。。的直径，弦BC=2cm,F是弦BC的中点，NABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A

点出发沿着A-B-A的方向运动，设运动时间为t（s）（0<t<3）,连接EF,当ABEF是直角三角形时，t

779

C.一或1D.一或1或一

第1题图

3.（•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD,点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动,

点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A-D-C-B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，

另一个点也随之停止运动，设aAMN的面积为s,运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的

图象是（）.

二、填空题

4.如图，已知点力（0,2）、6（26，2）、C（0,4）,过点C向右作平行于x轴的射线，点。是射线上的动

点,连结AP,以/尸为边在其左侧作等边△/四，连结PB、BA.若四边形如阁为梯形,则（1）当为梯形

的底时，点。的横坐标是;（2）当四为梯形的腰时,点？的横坐标是.

（第4题图）

5.如图，矩形纸片/及力，/庐2,点£在加上，且出C.若将纸片沿/£折叠，点8恰好落在上,

贝I]的长是.

第5题

6.（2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将AADE沿AE对

折至AAFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论：①aAlJG也AAFG；②BG=GC；③AG〃CF；

@SAFGC-3.其中正确结论的是.

三、解答题

7.如图所示是规格为8义8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作:

(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2)；

(2)在第二象限内的格点上画一点C,使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是

无理数，则C点的坐标是，AABC的周长是(结果保留根号)；

(3)画出aABC以点C为旋转中心、旋转180°后的AA'B'C,连接AB'和A'B,试说出四边形

是何特殊四边形，并说明理由.

8.(1)观察与发现

小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展平纸片

(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到4AEF(如图②).小

明认为4AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.

(2)实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过

点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤).求图⑤中

Za的大小.

③④⑤

9.如图(1),已知AABC中，AB=BC=1,ZABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点

D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角形板DEF绕D点按逆时

针方向旋转.

⑴在图⑴中,DE交AB于M,DF交BC于N.

①证明：DM=ND；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与aABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的

面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；

(2)继续旋转至如图⑵所示的位置，延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?

若成立，请写出结论，不用证明.

(2)

10.(2016•绵阳)如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标

分别为(-2、而，0)、(0,-娓),直线DELDC交AC于E,动点P从点A出发，以每秒2个单位的速

度沿着A-D-C的路线向终点C匀速运动，设4PDE的面积为S(SW0),点P的运动时间为t秒.

(1)求直线DE的解析式；

(2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)当t为何值时，ZEPD+ZDCB=900?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B；

【解析】连接PP'交BC于点D,若四边形QPCP为菱形，则PP'±BC,CD=-CQ=-(6-t),

22

ABD=6--(6-t)=3+L.在RtZ\BPD中，PB=AB-AP=6正-&t,而PB=V^BD,

22

6y/2-5/2t=5/2(3+—t)，解得：t=2,故选B.

2

2.【答案】D；

【解析】；AB是。0的直径，.•./ACB=90°；RtAABCBC=2,ZABC=60°；

.•.AB=2BC=4cm.①当NBFE=90°时；RtZ\BEF中，ZABC=60°,

则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；点运动的距离为：2cm或6cm,

故t=ls或3s；由于0Wt<3,故t=3s不合题意，舍去；所以当/BFE=90°时，t=ls；②当/BEF=90°

时;同①可求得BE=O.5cm,此时AE=AB-BE=3.5cm；AE点运动的距离为：3.5cm或4.5cm,故t=l.75s

或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，^BEF是直角三角形.故选D.

3.【答案】D.

【解析】(1)如图1,

当点N在AD上运动时，

S=1AM»AN=1XtX3t=纪

(2)如图2,

当点N在CD上运动时,

s=L\l・AD=tX.

当点N在BC上运动时,

s=lAM»BN=lxtX(3-3t)=-Et'Vt

2222

综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象.故选：D.

二、填空题

4.【答案】(1)—V3；(2)0,2-\/3;

3

【解析】(1)由题意知，当AB为梯形的底时，AB〃PQ,即PQJ_y轴，又AAPQ为等边三角形，AC=2,

由几何关系知，点。的横坐标是2g.(2)当A?为梯形的腰时，当PB〃y轴时，满足题意，此时AQ=4,

3

【解析】由折叠可知NBAE=NCAE,因为AE=EC所以NCAE=NACE,所以NBAE=NCAE=NACE,

三角的和为90°,所以/ACE=30°,所以AC=2AB=4.

6.【答案】①②③.

【解析】①正确.因为AB=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,AAABG^AAFG；

②正确.因为：EF=DE=&D=2,设BG=FG=X,则CG=6-X.在直角aECG中，

3

根据勾股定理,得(6-x)2+42=(x+2)解得x=3.所以BG=3=6-3=GC；

③正确.因为CG=BG=GF,所以AFGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

又NAGB=/AGF,ZAGB+ZAGF=1800-ZFGC=ZGFC+ZGCF,

ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,，AG〃CF；

④错误.过F作FH_LDC,VBC±DH,：.FH〃GC,AAEFH^AEGC,二型=皮,

GCEG

EF=DE=2,GF=3,，EG=5,.,.△EFH^AEGC,二相似比为：型=巫=2,

GCEG5

SAFGC=SACCE-SAFEc=ix3X4-4X(2x3)=致23.

2255

故答案为：①②③.

三、解答题

7.【答案与解析】

(1)如图所示建立平面直角坐标系.

⑵如图画出点C,C(-l,1).ZXABC的周长是2夜+2W.

⑶如图画出aA'B'C,四边形ABA'B'是矩形.

理由:：CA=CA',CB=CB',

四边形ABA'B'是平行四边形.

又：CA=CB,

.*.CA=CA,=CB=CB(.

：.卜卜'=BB'.

.••四边形ABA'B'是矩形.

8.【答案与解析】

解：（1）同意.

如图所示，设AD与EF交于点G.

由折叠知，AD平分/BAC,所以NBAD=/CAD.

又由折叠知，ZAGE=ZAGF=90°,

所以NAEF=/AFE,

所以AE=AF,即AAEF为等腰三角形.

（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形/AEB=45°,

所以NBED=135°.

又由折叠知，ZBEG-ZDEG,

所以NDEG=67.5°.

从而/a=90°-67.5°=22.5°.

9.【答案与解析】

解：⑴①连接DB,禾I」用△BMD丝4CND或△ADMsaBDN即可证明DM=DN.

②由△BMDgZ\CND知，S^BMD=S&CND，

S四边形DMBN=S&DBN+S4DMB=S&DBN+SADNC=耳[

即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于工，不发生变化.

4

(1)(2)(3)

⑵连接DB,由空ZXCND可证明DM=DN,即DM=DN仍然成立.

（3）连接DB.由AByD之△CND,可证明DM=ND仍成立.

10.【答案与解析】

解：由菱形的对称性可得，C（2加，0）,D（0,娓）,

/.OD=^/5»0C=2j^,tanNDCO=更LJ_,

OC2

VDE±DC,

AZED0+ZCD0=90°,

VZDC0+ZCDZ=90°,

AZEDO=ZDCO