2021年甘肃省某校高考数学二诊数学试卷（理科）

2021年甘肃省某校高考数学二诊数学试卷（理科）

一、选择题（5x12=60）

1.设集合4={%|2*-％22o},B={x|l<x<2},则AnB=（）

A.{2}B.{%|1<x<2]C.{x|l<x<2]D.{%|0<x<1}

【答案】

C

【考点】

交集及其运算

【解析】

求解不等式首先求得集合4然后利用交集的定义求解交集即可.

【解答】

求解不等式可得：=<x<2},B—（x\l<x<2},

利用交集的定义可得：AnB={x\l<x<2].

2.复数z为纯虚数，若（3-i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）

A.-3B.3C.—D.—

33

【答案】

D

【考点】

虚数单位i及其性质

复数的基本概念

复数的运算

【解析】

设出复数z,然后利用复数相等的充要条件，求解即可.

【解答】

设复数z=bi,b40,

（3—i'）z=a+i,化为（3—i）bi=a+3即b+3bi=a+i,

b=a=

3

3.中国有个名句"运筹帷幄之中，决胜千里之外"，其中的"筹"原意是指《孙子算经》

中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计

算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数

一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百

位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算

筹表示就是三'IT,则8771用算筹可表示为（）

123456789

IIIIIIIlliIIIIITTTUir^

_=三三三_L」=上』横式

中国古代的算筹数码

A.工工ITIB.c.=TT—ID.TiT一

【答案】

c

【考点】

进行简单的合情推理

合情推理的作用

【解析】

由算筹含义直接求解.

【解答】

解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为上可=LL

故选C.

4.已知a=25,b=3s,c=ln|,贝l]()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】

C

【考点】

对数值大小的比较

【解析】

利用根式的运算性质、基函数的单调性可得a,匕的大小关系，利用对数函数的单调性

即可得出c<(1)

【解答】

a=V2-V8>b-V3=V9,1<a<b.

c=lng<(1)

c<a<b.

故选：C.

5.如图所示的程序框图是为了求出满足24-层>28的最小偶数n,那么空白框中的语

句及最后输出的九值分别是()

试卷第2页，总16页

A.n=n+1和6B.n=n+2和6C.n=n+1和8D.n=n+2和8

【答案】

D

【考点】

程序框图

【解析】

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量71的值，模拟

程序的运行过程，可得答案.

【解答】

解：程序框图是为了求出满足2n-n2>28的最小偶数n,

故循环变量的步长为2,即空白框中的语句为：n=n+2

n=0时，执行循环体后，A=l,满足继续循环的条件.n=2；

n=2时，执行循环体后，4=0,满足继续循环的条件.n=4；

凡=4时，执行循环体后，4=0,满足继续循环的条件.n=6；

n=6时，执行循环体后，4=28,满足继续循环的条件.n=8；

n=8时，执行循环体后，4=192,不满足继续循环的条件；

故输出几值为8,

故选D.

6.若Ia|=2cos75°,IbI=4cosi50,a与b的夹角为30°,则a・b的值为（）

_1返

A.2B,2D.2V3

【答案】

c

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

7.设/'(x)=x3+lg(xX+1),则对任意实数a、b,"a+b20"是"/(a)+

f(b)>0"的()条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】

C

【考点】

充分条件、必要条件、充要条件

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

8.等比数列｛斯｝的首项的=4,前71项和为5,若S6=9S3,则数列｛1/2即｝的前10项和

为()

A.65B.75C.90D.110

【答案】

A

【考点】

数列的求和

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

9.zsABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,b=2,

则△力BC面积的最大值是()

A.lB.V3C.2D.4

【答案】

B

【考点】

三角形求面积

【解析】

由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB,结合sinB手

0,可求cosB的值，进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得：ac<4,进而利

用三角形面积公式即可得解△4BC面积的最大值.

【解答】

(1)2bcosB=acosC+ccos/1,

可得：2sinBcosB=sin/lcosC+sinCcosA=sinB,

sinB*0,cosBB=60°

试卷第4页，总16页

由余弦定理可得ac=a24-c2-4,

由基本不等式可得ac=a?+c?-422ac-4,可得：ac<4,当且仅当a=c时,

“=〃成立，

从而△4BC面积S=gacsinB=M，故△4BC面积的最大值为我.

故选：B.

10.已知边长为2的等边三角形ABC,。为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二

面角B-4D-C,则过4,B,C,。四点的球的表面积为（）

A.3TTB.47rC.5TTD.67r

【答案】

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球体的半径，最后求出球的表面积.

【解答】

如图所示：

边长为2的等边三角形4BC,。为BC的中点，以4。为折痕,

将44BC折成直二面角B-AD-C,

则：AD=V3,BD=CD=1,设求的半径为r,

故：（2r）2=l+1+3=5,

所以：产=）,

4

所以S=4/rr2=4TT--=5TT,

4

故球体的表面积为57r.

故选：C.

11.已知尸1，&为椭圆E:真+3=1（。>/?>0）的左、右焦点，在椭圆E上存在点P,

满足仍&1=俨/2|且尸2到直线P&的距离等于b,则椭圆E的离心率为（）

1cl-2「3

AA.—B.—C.—D.—

3234

【答案】

B

【考点】

椭圆的离心率

【解析】

利用椭圆的定义以及已知条件，转化推出ac关系，即可得到离心率即可.

【解答】

尸2为椭圆E：9+《=l(a>b>0)的左、右焦点，在椭圆E上存在点P,满足仍尸21

=|&尸21且尸2到直线Pa的距离等于b,

可得：2c+274c2—/2=2a,所以(a—c)2=4c?—炉，可得2/+e—1=0,

解得e=

12.己知函数/(x)的定义域为R,/(0)=2,则不等式/(x)>l+

er解集为()

A.(-l,+8)B.(e,+oo)C.(l,+°o)D.(0,+℃))

【答案】

D

【考点】

利用导数研究函数的单调性

【解析】

/(x)>1+e~x,等价于e"(x)-e*—1>0,设g(x)=蟾/(刀)—e*—1,g(0)=0,

则g(x)>g(0),确定g(x)是R上的增函数，即可得出结论.

【解答】

解：；/(x)>l+e-x,

exf(x)-ex-1>0.

设g(x)=e"(x)-ex-l,

1,•/(x)>1-/(x),e%>0,

.1.g'(x)=eX[/(x)+，(x)-l]>0.

g(x)在R上是增函数.

又g(0)=o,则g(x)>g(0).

/.x>0.

故选D.

二、填空题(4x5=20)

x-j-y—440

x-2y+2>0,则z=x+2y的最大值为.

Iy>0

【答案】

6

【考点】

简单线性规划

【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.

【解答】

-x+y-4<0

作出实数％,y满足约束条件k-2y+2Z0对应的平面区域如图：(阴影部分)

y>0

试卷第6页，总16页

平移直线y=-[%+之2,

由图象可知当直线y=+gz经过点4时，直线y=+1z的截距最大,

此时Z最大.

山二；°0,解得做2,2）,

代入目标函数z=%+2y得z=2x2+2=6

在（2x-蠢）6的展开式中常数项是.

【答案】

60

【考点】

二项式定理及相关概念

【解析】

在展开式的通项公式中，令x的基指数等于零，求得r的值，可得展开式中常数项.

【解答】

在（2%）6的展开式中，通项公式为7；+1=C＞（—l）r.26-r，6-£,

令6-3=0,求得r=4,可得展开式的常数项是CQ22=60,

现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师"停

课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为.

【答案】

9

-10

【考点】

古典概型及其概率计算公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

已知数列｛an｝为等差数列，且的N1,a2<5,a5>8,设数列｛an｝的前n项和为又,

Sis的最大值为“，最小值为m，则M+m=.

【答案】

600

【考点】

等差数列的前n项和

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

三、解答题

在锐角AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2c=-三.

4

(1)求sinC；

(2)当c=2a,且b=3夕时，求a.

【答案】

解：(/)由已知可得l-2sin2c=—；.所以sin2c=：.

48

因为在A/IBC中，sinC>0,

所以sinC=包.

4

(〃)因为c=2a,所以sinA=：sinC=

28

因为△ABC是锐角三角形，所以cosC=在，cosA=平.

48

所以sinB=sin(71+C)=sinAcosC+cosTlsinC=—x—+—x—=—.

、,84848

由正弦定理可得：注=三，所以a=g.

smBsmj4

【考点】

解三角形

三角函数的恒等变换及化简求值

【解析】

(/)利用二倍角公式cos2c=1—2sin2c求解即可，注意隐含条件sinC>0；

(〃)利用(1)中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA,cosA,cost的

值，又由sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出

a的值.

【解答】

解：(/)由已知可得1—2sin2c——所以sir)2C=；.

因为在△ABC中，sinC>0,

所以sinC=—.

4

试卷第8页，总16页

(〃)因为c=2a,所以sinA=—sinC=--.

28

因为△ABC是锐角三角形，所以cosC=立，cosA="l

48

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x—+—x—=—.

''84848

由正弦定理可得：里=三，所以a=g.

如图，在四棱锥P-4BCC中，P41平面4BCD,ABLAD,BC//AD,点M是棱PC

上一点，且4B=BC=2,AD=PA=4.

(1)若。”:M。=1:2,求证：PB〃平面ACM；

(口)求二面角力-CD-P的正弦值；

(HI)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为3,求MD的长.

【答案】

(1)证明：：在四棱锥P-4BCD中，PAl^WiABCD,BC//AD,

以A为原点，4B为x轴，AP为z轴，

11•点M是棱PD上一点，PM:MC=1:2,AD=PA=3.

j43_

：.P(0,0,4),0,0),4,0),2,6),3,3),

__一里旦

PB=(2,2,-4),AC,2,7),AM,33),

设平面4cM的法向量。=(x,y,

n*AC=2x+5y=0

z=4-*

则o,取x=2,得n,-2

PB•n=5-4=0,PB〃平面ACM.

(2)D(3,4,0),PC,3,-4),PD,4,一5),

设平面CDP的法向量IT=(a,b,

m*PC=2a+2b-4c=0

Kijm*PD=4b_3c=0,取b=i,得n,2,1),

平面ACC的法向量P=(0,6,

设二面角4-CD-P的平面角为0,

IPI1

则Icos。I=IpI•ImI=V3,

8

J2.(-^)返

二面角a-cn-P的正弦值为VV3=3.

(ID)设M(a,b,c),PM=XPD,

则(a,b,c-4)=(0,-4Q,b=5A,M(0,4-2Q,

AM=(0,4A,平面CCP的法向量IT,7,1),

逅

•••直线4M与平面PCD所成角的正弦值为7,

|一•孟|―4逅

=洋目如二

.1.|cos<AM,ir>1=lAMHlml16>2+(5-4-V

5

2

二面角的平面角及求法

直线与平面平行

试卷第10页，总16页

直线与平面所成的角

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了

100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如下：

(1)估计旧养殖法的箱产量低于50kg的概率并估计新养殖法的箱产量的平均值;

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有

关：

箱产量＜50kg箱产量250kg合计

旧养殖法

新养殖法

合计

瓦2二________n(ad-bc)?______

附：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d

Pg>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

参考数据：282+998480.078525.

【答案】

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.012+0.014+6.024+0.034+0.040)x6=0.62,

所以概率估计值为0.62；

新养殖法的箱产量均值估计为

y(75X0.02+85X7.10+95X0.22+105X0.34+115X7.23+125X0.05+135X0.04)=52.

根据箱产量的频率分布直方图得列联表：

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

5.200X(62*66-34X38)2

计算100X100X96X104~

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

【考点】

独立性检验

列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

已知函数f(x)=e*-2ox-1,g(x)=2aln(x+1),aG/?.

兀

(1)若/(乃在点(0,/(0))的切线倾斜角为4,求a的值；

(II)求f(X)的单调区间；

(DI)若对于任意％6[0,4-00),/(%)+g(x)>%恒成立，求a的取值范围.

【答案】

(1)/(%)=?"-2QX—1,f(x)—ex—3a,

H

若/(x)在点(o,f(o))的切线倾斜角为4,

71

则切线斜率k=tan5=1=//(0)=1—2a=l；

(2)f'(x)=ex-2a,xER,

①当Q46时，f(x)>0,

②当a>0时，令((x)>6,令[(%)VO,

故/(%)在(-8,In2a)递减，+8)递增，

综上：当Q43时，f(x)在R递增，

当Q>0时，/(%)在(-8,在(In2a；

(IB)若对于任意xG[5,4-00),

即e*—2ax—1+6aln(x+1)—x>0在%G[6,+8)上恒成立,

设九(x)=e“+2aln(x+1)—6ax—%—1,(%>0)min>6,

试卷第12页，总16页

2a

则》。)=蜡+X+1-(8a+1),

下面先证明：>x4-1,令p(x)=e*-x-4,

则p'(x)=e%—1,令p，(%)>0,令p'(%)V8,

故p(x)在(一8,0)递减，+8)递增min=P(0)=0，

故e”>%+3,

2a2ax(x-2a+8)

故/i'(x)=eX+x+l-(6a+l)Z(x+l)+X+lX+1,

①aW7时，x-2a+l>6,/i(x)在[0,h(x)mm=/i(0)=0，成立，

_6

②a>2时，2a-3>0,解得：x>2a-7,解得：x<2a-l,

故九(乃在(4,2a-1)递减,+8)递增,

故九(%)min=h(2a—l)=e2a-4+2aln2a—(8a)2,

令2Q=3则t>5*T+tint—t2,Hf(t')=et~4+Int+1-23

25

H,,(t)=et-2+t-2>t+t,故W(t)在(1,

而H'(l)=-1<8,H'(2)=e-3+ln2>5,

7-l

故存在b6(1,6)使得“'(%)=(),故已=2t4—lnto-1,

故H(t)在(3,%)递减，在(J,+9)递增，

t-112t2

0|nt

故“仁人小二^^^:已+t30-0=2t0-lnt3-1+t0lnt2-0=(t4-

l)[lnt0-(t8-1)],

下面证明Inx<%-1,令q(x)=lnx-x4-2(x>1)X-6<0,

故q(%)在(1,+8)递减，故In%<%-50-(t0-7)<0,

而电一4>0,故/i(to)<3,故a>2时，原命题不成立，

_2

综上：aW2,

1_

故a的取值范围是(一8,5].

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程

利用导数研究函数的最值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

在平面直角坐标系中，已知圆G的方程为(x-l)2+y2=9,圆C2的方程为(％+1)2+

y2=1,动圆C与圆G内切且与圆C2外切.

(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；

(2)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线，与轨迹E交于力，

B两点，求四边形APBQ面积的最大值.

【答案】

设动圆C的半径为r,由题意知ICC/=3-r,ICC2I=1+r

从而有ICC/+ICC2I=4,故轨迹E为以G，C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点

(-2,0),

从而轨迹E方程为。+《=-2).

43

%2y2

4+3-1,

{x=my+1

消去x得(3m2+4)y2+—9=0,设点/(乙,%),8(%2,%)，

士.-6m-9士―cin.—；---712Vl+7n212(l+m2)

WVi+V?=-;-,ViV?=-；-，^\AB\=Vl4-m2---；---=----；---,

八J乙37n2+4八37n2+41137n2+43?n2+4

点产(—2,0)到直线了的距离为:向，点Q(2,0)到直线了的距离为天

从而四边形4PBQ的面积S=；x等=？xJ==等乎

237nz+47Vl+m23m2+4

令t=+/,t>1,有s=3%：］=由函数y=3t+：在［1,+8)单调递增

有3t+，24,故S=(言=言三6,四边形4PBQ面积的最大值为6.

【考点】

椭圆的定义

【解析】

(1)根据椭圆的定义以及圆和圆的位置关系可得，

42y2

T+T=1,利用韦达定理以及弦长公式和点到直

{x=my+1

线的距离公式，即可求出四边形的面积，再根据函数的单调性即可求出.

【解答】

设动圆C的半径为r,由题意知ICC1I=3-r,|CC2|=1+r

从而有|CG|+ICC2I=4,故轨迹E为以C「C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点

(-2,0),

从而轨迹E方程为9+?=1(%彳-2).

X?y2

4+3-1,

{x=my+1

试卷第14页，总16页

j

消去工得(3m2+4)y2+6M%-9=0,设点4(%i，y，，B{x2,y2)

-6m-9fcin-；----712V1+7H212(l+m2)

W士vi+.y7=-;-,yiy?=-;-，士^\AB\=VI+m2—；——=—；—,

J乙37n2+4八九37n2+4113m2+43m2+4

点P(-2,0)到直线了的距离为而4,点Q(2,0)到直线了的距离为岛f,

从而四边形APBQ的面积S=；x答号X-^==穿萼

237n?+4Vl+m23m?+4

令t=41+而,t>1,有5=会三由函数y=3t+；在［1,+8)单调递增

3t"+l3t+~t

有3t+；24,故5=恐=二36,四边形4PBQ面积的最大值为6.

c3t'+l31+