2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷）

2023届高三开学摸底考试数学试卷

(新高考n卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设集合2={了€2||了一3|<1},。={3,2,1,0},则PIQ=()

A.{3,2,1}B.{2,1,0}C.{3}D.{2,3}

2.(l+i)(2-i)=()

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.已知S“，7”分别为等差数列{〃"},{4}的前"项和，/=米|，设点4是直线BC外

uunuiuuun

一点，点P是直线3C上一点，且AP=，_^A8+/IAC,则实数；I的值为()

4

A."B—C.AD.更

25252525

4.已知向量a=(l,m),*=(2,-3),ab=，l,则m的值为()

414

A.——B.OC.-D.-

333

5.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓

厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这

五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2

个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有()

A.12种B.28种C.20种D.16种

6.已知a,〃为锐角，且tana=2,cos(a+j3)=9则tan(a-£)=()

7.在体积为呼的直三棱柱ABC-A隹G中，ZVWC为等边三角形，且△ABC的外接圆半

径为誓,则该三棱柱外接球的表面积为()

A.12兀B.87TC.6兀D.3兀

8.已知函数〃x)是R上的偶函数，且的图象关于点(1,0)对称，当xe[0,1]时,

f(x)=2-2x,则〃0)+〃1)+〃2)+...+〃2022)的值为().

A.-2B.-lC.OD.l

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列关于函数丫=41）（28+5）的说法正确的是（）.

A.在区间,-1上单调递增

L1212」

B.最小正周期是兀

C.图象关于点心0）中心对称

D.图象关于直线x=-型对称

12

10.已知抛物线d=1）,的焦点为尸，仞（办,yJ,N（马,%）是该抛物线上两点，则下列结论正

确的是（）

A.点尸的坐标为仁,0）

B.若直线MN过点凡则砧=吊

C.若〃户=/IN户，贝1」|例"|的最小值为1

2

D.若|"/|+|加|=三，则线段MN的中点P到x轴的距离为士

28

11.如图所示，A8cr>-AB|G.为正方体，以下四个结论中正确的有（）

A.AG>1平面CB|Z）|

B.直线BC与BD所成的角为60°

C.二面角C—8Q-G的正切值是逐

D.AC｝与底面ABCD所成角的正切值是0

12.设x>0,y>0,则下列结论正确的是()

A.函数f(x)=3，+3T的最小值为2

B.不等式(》+>)[，+!卜4恒成立

lxy)

C.函数/(%)=—的最小值为-

x+3x+l5

D.若'+'=1,贝l]x+2y的最小值是20

x+1y+1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量*~汽(3,4)，若尸(乂>7)=0.16,则「(一掇哌7)=.

14.已知函数/(x)=e'+Inx,则函数f(x)在x=1处的切线方程为.

15.已知圆C:x?+>2+2x+aj+a+4=0,直线/:x-y+2=0,若直线/与圆C交于A,B

两点，且Nfi4c=60。，贝ij“=.

?v2

16.已知椭圆(7彳+\=1的左、右顶点分别为M,N,点尸(〃?,〃)在椭圆C上，点

Qkm-n),若直线MP,NQ的交点为R,O为坐标原点，则|OR|的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.记S„为数列｛4｝的前n项和.已知分+〃=2%+1.

n

(1)证明：｛%｝是等差数列；

(2)若见，%,如成等比数列，求S“的最小值.

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,%4=生心.

tan6b

⑴求角A；

(2)若"BC的外接圆半径r=2,b+c=2a,求△/WC的面积.

19.交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记

交通指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别：Te[0,2),畅通；Te[2,4),基本畅

通；Te[4,6),轻度拥堵；Te[6,8),中度拥堵：Te[8[0],严重拥堵.在晚高峰时段

(T>2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频

率分布直方图如图所示.

频率

组距

25

0,20

0.J5

o.

O.J0

SQ5

°2345678910交通指数

(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数.

(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次

抽取的三个级别路段的个数.

(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.

20.如图，五面体MCDEF中，四边形ABC。为等腰梯形，AB//CD,且

(1)求证:£)£//平面Ab;

(2)若平面平面A8CD,且平面49庄:J_平面A88,求二面角A-C尸-8的余弦

值.

21.已知双曲线C的一条渐近线方程为y=M(-2,0),N(2,0)分别为双曲线的左、右

焦点,

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)P为双曲线C上任意一点，连接直线PM,PN分别交C于点A,B,且向=

PN=,求证：4+〃为定值，并求出该定值.

22.已知函数/(x)=mx\nx-x1-x(meR).

⑴若m=1,讨论，(x)的单调性;

(2)若方程/(x)+x=O有两个不同的实数根%,乙.

⑴求m的取值范围；

3

(ii)若2X2>3%，求证：nu}x2>e.

(参考数据：In1.5«0.405)

答案以及解析

1.答案：C

解析：解不等式|x-3|<l,SP-1<X-3<1,解得2cx<4,则PIQ={3},故选C.

2.答案：D

解析：(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.i^jtD.

3.答案：B

解析：因为P,B,C三点共线，所以亥土幺+4=1,所以％+2=1,

4瓦

%+%”5

%_一『X，_邑_3x5+2_17所以%+7=型+/1=1,A=-—,故选B.

-^-4x5+5-2542525

4.答案：D

4

解析：由夕〃=一2,可得lx2+，”x（—3）=—2,解得〃?=—,故选D.

5.答案：C

解析：若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有A：A；=12（种）；

若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3,4阶段或者第4,5

阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有

2A；A；=8（种）.故共有12+8=20种不同的安排方案.

故选：C.

6.答案：A

解析：因为a,7?为锐角，所以a+〃e(0,兀).

由cos(a+/)=一'；，得sin(a+，)=Jl-cos2(a+/?)=,

则tan(a+(3)=--.又tan2a=•、'血？=-—,

31-tan2a3

故tan(a-/7)=tan[2a一(a+0]=须加一+」)=_?,故选、

1+tan2atan(a+4)13

7.答案：A

解析：设△ABC的边长为m由AABC的外接圆半径为里可得，一=2x叵

故

3.兀3

a=4,则^ABC的面积S=正/=拽.由三棱柱的体积为逑可得

442

鼠例=乎-44,=呼，故例=芈.设三棱柱外接球的半径为R,则

故该三棱柱外接球的表面积为4K/?2=127t.

8.答案：C

解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)，又f(x)的图象关于点(1，0)对

称，则/(x)=-f(2—x),所以f(_x)=-,f(2-x),则f(x)=-/(2+x),得

/-(4+x)=-/(2+x)=/(x),即/(x+4)=/(x),所以“X)是周期函数，且周期T=4,当

xe[0,l]时，/(x)=2-2\则f(0)=lJ⑴=0,

/(2)=-/(O)=-l,/(3)=/(-3)=/(1)=0,则/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,则

/(0)+/(1)+/(2)+L+/(2022)=/(0)+/(1)+/(2)+505x0=/(0)+/(1)+/(2)=0.

9.答案：ABD

解析：^--+2kn.<2x+-<-+2kji,ZeZ,

232

得一变++keZ,又「一至二]在此区间上，故A正确；

1212L1212J

T=—=—=71,故B正确；

co2

因为y=sinx的图象关于点(E,0),&eZ中心对称，所以令2x+；=E,keZ,得

X=y-^,keZ,所以尸sin(2x+1)的图象关于点右吟0),々eZ中心对称，故

C错误；

由y=sinx的图象关于直线x=]+E,ZwZ对称可知，y=sin(2x+1)的图象关于直线

x=—+—,々eZ对称，当人=—1时，x=—变，故D正确.故选ABD.

12212

10.答案：BCD

解析：本题考查抛物线的定义与标准方程、抛物线的焦点弦性质.

对于选项A：易知点尸的坐标为故A错误；

对于选项B：由题意知直线的斜率必然存在，所以若直线过焦点F,则可设直线

1）'=区+1卜1公+11

2

MN的方程为丁=依+-，由《*得％——x-----=0,则4=-------->O,XjX2=-----，

812164,216

X2=­V

2-

故B正确；

对于选项C：若用"=4N尸，则直线MN过焦点R贝的最小值即为抛物线的通径

长，最小值为2夕=；,故C正确；

对于选项D：抛物线/=_1>的焦点为（0」），准线方程为y=-J,过点M,N,尸分别作

准线的垂线尸P,垂足分别为AT,N；P'（图略），所以

|MW'|=|AfF|,|W|=|/VF|,所以+用+|府|=］，所以

MMNN

\PP\J'\^'\=1,所以线段MN的中点尸到x轴的距离为|PP|_g=m，故

D正确.

故选BCD.

11.答案：AB

解析：如图，连接4cl.•••8Q_LAG,±A4,,ACIAM=A>平面AAG-

•••ACJU平面AAG，.•・4〃LAG•同理，-LACt.vB{DtQBtC=B,,.•.AG，平面

CBQ,故A正确.•：BDHBD，异面直线B〔C与BD所成的角是NQB|C或其补角.

是等边三角形，」.NQ81c=60。，故B正确.设AGn4£）1=O,连接0C,则

NCOG是二面角C-BQ1-G的平面角，tanNCOG=四=&，故C不正确.连接AC,

OCy

•.•CC|_L平面ABC。，.•.NGAC是AG与底面ABCZ）所成的角，tanZC,/IC=,

AC2

故D不正确.

12.答案：BD

解析：函数f(x)=3*+3T22,当且仅当x=0时取等号，又x>0,所以表达式没有最小

值，所以A不正确;不等式历•也=4,当且仅当x=y时取等号，所

lxy)xy

以B正确;函数=—=―\—<-,当且仅当x=l时，函数取得最大值

x+3x+l,l.55

XvH----rJ

X

所以C不正确;若——+—!—=1,则x+2y=(x+l+2y+2)f」一+——|-3

x+1y+\(x+1y+lj

生电+土里22a,当且仅当>=立,x=&时，表达式取得最小值20,所以D正

x+1y+12

确.故选BD.

13.答案：0.68

解析：由正态分布的性质可知P(X<-l)=P(X>7)=0.16,所以

尸(-啜N7)=1-P(X<-1)-P(X>7)=0.68.

14.答案：(e+l)x-y-l=0

解析：因为((x)=e*+L/W=e,所以切点坐标为(l,e),函数/(x)在x=l处的切线斜率

X

攵=/'(D=e+l，所以所求的切线方程为y-e=(e+l)(x-l),BP(e+l)x-^-l=0.

15.答案：22

解析：由题可得圆C的标准方程为(x++[y+=*一：-12>0,圆心4

半径,二°-4々-12,由。2一4。-12>0,得々>6或av-2.

-1+-+2

圆心C到直线/的距离”=——----因为直线/与圆C交于A,8两点，且

—141-2I—I—

ZBAC=60°,所以d=----—二旦=虫74-4”12,_2o«-44=O,解得

衣222

。=22或。=-2,又。>6或a<-2,故a=22.

16.答案：(2,内)

解析：本题考查椭圆的方程、直线的方程.依题意，得机/0,则0＜病＜4,易知

M(-2,0),N(2,0),则直线MP的斜率匕=」一，直线MP的方程为y=/一(x+2),直

机+2777+2

__y=—^—(x+2),

线NQ的斜率太=二-,直线NQ的方程为丫=」-。-2),联立m+2解得

tn-2tn-2-n/…

0＜加2＜4,得|0R|的取值范围为(2,物).

17.答案：(1)证明见解析

(2)-78

29

解析：(1)由一-+n=2an+lf得2s“+/=2〃“〃+〃①,

n

2

所以2s向+(〃+1)=2an+l(7?+1)+(〃+1)②,

②-①，得2〃“+]+2〃+1=2a/l+l(〃+1)—2a/+1，

化简得c*一々〃=1,

所以数列｛勺｝是公差为1的等差数列.

(2)由(1)知数列｛%｝的公差为1.

由巧=a4a()，得(4+6)=(q+3)(4+8)，

解得q=-12.

n（n-l）n2-25n25|2625

所以S“=-12〃+n--I一_r

222

所以当”=12或13时，S“取得最小值，最小值为-78.

18.答案：（1）A=乌.

3

⑵。=3技

解析：（1）因为㈣4虫，所以由正弦定理，得吧^=2sinJsin',

tanBbtan8sinB

rr-risinAcosB2sinC-sinB

所以---------=------------，

cosAsinBsin3

所以sinAcosB=（2sinC-sinB）cosA=2sinCcosA-sinBcosA,

所以sinAcosB+cosAsinB=2sinCeosA,

即sinC=2sinCeosA,又sinCwO,

所以cosA=—.

2

jr

又OVAVTI,故4=—.

3

（2）由题意知a=2rsinA=4sin工=268+。=24=4百.

3

由余弦定理a2=h2+c2-2Z?ccosA,得/=g+c）2-3bc,

所以（26）2=（4行）2-3征，则从=12,

故=—fecsinA=—xl2x—=3\/3.

zi/ioc-222,

19.答案：（1）轻度拥堵的路段有6个；中度拥堵的路段有9个；严重拥堵的路段有3个

（2）分别抽取的个数为2,3,1

（3）概率为|

解析：（1）由频率分布直方图得，这20个交通路段中，

轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）x1x20=6（个），

中度拥堵的路段有（0.25+0.2）x1x20=9（个），

严重拥堵的路段有（0.1+0.05）x1x20=3（个）.

⑵由⑴知，拥堵路段共有6+9+3=18（个），

按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为

—x6=2,—x9=3,—x3=l,

181818

即从交通指数在[4,6）,[6,8）,[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.

（3）记抽取的2个轻度拥堵路段为&4,抽取的3个中度拥堵路段为牛层,房，

抽取的1个严重拥堵路段为C「

从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为

C=｛（A，4），（A，BJ,（A，BJ（A，8J（A，G）,（4,BJ,（4，B2）,

（4,四）,（4,Cj,（耳,4）,（B],生）,（,G）,（）,（B?,Cj,（生,G）｝，

共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵的包含的样本点有：

（A，4MA，片）,（A，8J,（A，员），（A，G），（&，8J,（4,82）,（A，B,）,（4C）,共9个.

所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为2=3.

155

20.答案：⑴见解析

⑵-迤

35

解析：（1）因为AB//C力，COu平面。平面CDE/，故■//平面CDEF.

X5?®ABFEX平面CDEF=EF,所以AB〃E尸，

则EFHCD,

又CD=EF,所以四边形C7）所为平行四边形，

则DE//CF,

又CFu平面ACF,DE<Z平面ACF,所以DEH平面ACF.

（2）过E作即_LM于点P,因为平面⑷3庄，平面45CD,且平面MFEI平面

ABCD=AB,因此£P_L平面ABCD,过E作EQJ.AD于点Q,又平面AD£J_平面

ABCD,且平面ADEI平面ABCE>=">,因此EQ_L平面ABC£）,而过平面外一点有且仅

有一条直线与已知平面垂直，因此EREQ重合于E4,即£4,平面A8CO.

以A为坐标原点，AB,AE所在直线分别为y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设9=1,则A(O,O,O),F(O,1,1),C¥，|,0),8(0,2,0),

uimuum(R3、minutn

则AF=(0,l,l),AC=^-,-,0,BF=(0-1,1),BC=

122J

设平面ACF的法向量为m=(x,y,z),

皿

UALFy+z=0

加

G,3八，

——x+—y=0

22

令x=G，则y=-l,z=l,

故平面ACF的一个法向量为机=(6,-1,1).

设平面灰户的法向量为〃=(x',y',z'),

urn-y'+z'=0

n-BF=0

则uun得凡，X-o,

〃BC=a

22

令V=1,则了=-75,z，=百，

故平面BCF的一个法向量为n=(1,73,73),

e“/\m-n<3VI05

因此cos(in,n)--------=-—f==-----,

'/|"小|〃|75x7735

由图易知二面角A—CF—8为钝二面角，

故二面角A-CF-B的余弦值为-返.

35

21.答案：(1)=[

3

(2)见解析

，2

解析：(1)由题意可设双曲线C的标准方程为与-4=l(a>0/>0),

ab

')=c

由已知得c=2,则'解得a=l,b=6,

a2+b2=4,

故双曲线C的标准方程为f-工=1.

3

(2)由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，

设尸(%，%)，B(x2,y2).

若直线PB的斜率存在，则kPB=kPN=

%-2

则直线PB的方程为y=-2).

%一2

y

联立消去x整理得（3%；-12x0+12-^）/+12%（入0-2）y+9y；=0,

x2--=1,

3

将片一号=1代入上式整理得（15-12%）V+12%（%-2）y+9巾=0,15-12xo^O,

A>0,

瓯__34…3%

则

%>2=——y2?一

15-12x05-4x05-4x0

故必国=工f_=2.

NByz3%3

4%-5

(根据向量的关系转化为坐标间的关系)

同理可得彳二-4竺二§,故久+〃=一9

33

若直线尸8的斜率不存在，则P(2,3),此时轴，〃=1,直线PA的方程为

3

y=—(x+2)n3x-4y+6=0.

4

3x-4j+6=0,

联立,2消去x整理得13y2-48y+27=。，

k-av

Q

解得y=

故％=——=——，此时几+4=——.

M33

综上所述，4+〃为定值-3.

一题多解由于尸，N,B三点共线，设8(司,力)，川与，%)，

又N(2,0),所以由西〃而，。河=(2-%,-%),N月=(%2-2,为)，得

》2(2-两)=%(2-々)n闻乃一巧％=2(为一%)①.

2

%22

2-

超-3=1,"华=无，

由

于

2nv2V2

2为

一

巧=1卜汶-号=9

一3

将上述两式相减可得(%%-X2%乂与乃+々％)=(为-％)(乃十:^②-

将①代入②可得与丫2+々为=”产③.

①+③得2与%=生二皿，解