甘肃省2023-2024学年高一下学期期末学业水平质量测试数学试卷

绝密★启用前高一下学期期末学业水平质量测试卷数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如何改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积，为锥体的高）.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（）A. B. C. D.2.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.删恰好摸出一个红球一个白球的概率为（）A. B. C. D.3.设，则（）A. B. C. D.4.若复数满足，则的最大值为（）A.1 B. C.2 D.35.从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是互斥但不对立事件C.与是互斥事件 D.与是对立事件6.在中，点是线段上一点，若，则（）A. B. C. D.7.已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则（）A.的虚部是 B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.是纯虚数10.下列各式的值为的是（）A. B.C. D.11.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形C.存在唯一的点，使得D.与平面所成的角为定值三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆形，则圆锥的体积为______.13.在中，点为线段的中点，若，，，则______.14.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为3，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为______.图1 图2四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知，，.（1）求的值；（2）求的值.16.（15分）兰州机场停车场小型机动车收费标准为：30分钟内免费.停车时长在30分钟至1小时之间的，收费为5元/辆.超过1小时后，超出部分每小时收费5元，不足1小时按1小时计费24小时内最高收费50元.现有甲、乙二人在该机场临时停小型机动车，两人停车时间均大于半小时且不超过4小时.（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于10元的概率为.求甲停车付费恰为5元的概率；（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为25元的概率.17.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.18.（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求；（2）若是线段上的一点，，，且内角，求的最小值.19.（17分）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离.（1）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？（2）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？（3）若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由.

高一下学期期末学业水平质量测试卷·数学参考答案1.选A因为，分别为AB，AC的中点，所以.设，又，所以，即解得2.选C记1个白球为A，2个红球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有Aa，Ab，aA，ab，bA，ba，共6个，其中恰好摸出一个红球一个白球的有Aa，Ab，aA，bA，共4个，所以所求概率.3.选C由，平方可得，解得.4.选C设在复平面内对应的点的坐标为，由，得，即，.因为，所以，所以，所以，所以的最大值为2.5.选A根据题意样本空间，，，，，则，所以与是互斥事件，A正确；，，所以与是互斥且对立事件，B错误；，所以与不是互斥事件，C错误；，所以与不是对立事件，D错误.6.选C因为点是线段上一点，即，，三点共线，所以，解得.故选C.7.选D在三棱锥中，平面，，，，设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，由正弦定理得，可得，所以，则外接球的表面积为.8.选B如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.由为的垂心，，得.又，则，.设，，则，，所以，即，，所以，所以.9.选BC易知的虚部是3，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；，是实数不是纯虚数，故D错误.10.选ACD对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.11.选AC因为是线段上的动点，而且，所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，，所以三棱锥的体积是定值，A正确；过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；在上运动，当时，，而为中点，所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；由，平面，平面，则平面，所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，故与平面所成的角不为定值，D错误.12.解析：设圆锥的底面半径为，则，所以，圆锥的高为，则圆锥的体积为.答案：13.解析：由是线段的中点，得.在中，由余弦定理得从而，所以所以，即.答案：14.解析：如图所示建立平面直角坐标系，因为正八边形的每个内角为，所以，所以.又因为，所以.由题意知，在以为圆心，为半径的圆上，且，关于原点对称，所以设，则，所以，其中，所以当时，取得最大值为.答案：15.解：（1）因为，，所以，.所以.（2）.16.解：（1）设“甲临时停车付费恰为5元”为事件，则，所以甲临时停车付费恰为5元的概率为.（2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，可能取值为5，10，15，20.则甲、乙二人的停车费用的所有样本点为，，，，，，，，，，，，，，，共16种情形其中，，，，这4种情形符合题意.故“甲、乙二人停车付费之和为25元”的概率为17.解：（1）证明：连接，交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为中点.又因为是中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.因为是中点，且平面，所以点到平面的距离为.易得，，，从而为直角三角形，则，.设点到平面的距离为，则，即，代入得，所以点到平面的距离为.18.解：（1）由余弦定理和得.又，所以，即.由正弦定理，得，整理得，所以.因为，所以.因为，所以.（2）因为，所以，所以，所以①，又②，①②得，令，又，所以，所以，所以，所以，所以.令，因为，令，则，令，当时，，当时，（且），由对勾函数性质可得当时，单调递减，故，同理当时，，所以，所以，所以，所以当为等边三角形时最小，最小值为.19.解：（1）因为，，故，由曼哈顿距离不大于5，得，①当时，