【导与练】人教版高中数学必修5练习：周练卷(一)

周练卷(一)

(时间:90分钟满分：120分)

【选题明细表】

知识点、方法题号

正弦定理及其应用3、9、11、13、14、16、19

余弦定理及其应用2、4、6、7、10、15

正、余弦定理的综合应用8、12、18、20

三角形的形状判定1、5、8、17

一、选择题(每小题5分，共60分)

abc

1.在△ABC中，若丽丽历届T,贝ijAABC是(B)

(A)直角三角形(B)等边三角形

(0钝角三角形(D)等腰直角三角形

abc

解析：由正弦定理而南=而岳而竟知，

tanA=tanB=tanC,/.A=B=C.

2.在AABC中，已知三边a、b、c满足a?-病644)2,则NC等于(A)

71nli3TT

(A)4(B)3(C)2(D)不

解析：由已知得a2+b2-c2=V2ab,

.2+,2―j也

所以cosC=2aB=~2",

故C=4.故选A.

3.在AABC中，a=G,b=M,B=45°,则A为(A)

(A)60°或120°(B)60°

(030°或150°(D)30°

abasinB

解析：由正弦定理得丽=而法,得sinA=b,

杂xg

sinA=~^~斗,

又a>b,故A=60°或120°.

4.在4ABC中，若2absinC=a2+b2-c2,那么C等于(B)

TTIT2n3TT

(A)3(B)4(c)于⑻彳

.2+匕2—.22absinC

解析:cosC=2ad=-2ab~,

所以cosC=sinC,所以C=4.故选B.

5.设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccos

B=asinA,则AABC的形状为(B)

(A)锐角三角形(B)直角三角形

(C)钝角三角形(D)不确定

解析：由正弦定理，得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,

有sin(B+C)=sin?A,从而sin(B+C)=sinA=sir?A,解得sinA=l,所以

A=2,故选B.

6.在4ABC中，已知a=计,b=H,A=30°,贝ijc等于(C)

(A)2V5(B)G

(02&或祖(D)以上都不对

解析：因为aMAc,-ZbccosA,

平

所以5=15+C-2V15XCX2.

化简得c-3V5c+10=0,

即(c-2\/5)(c-同=0,

所以C=2G或C=A/5.

7.已知AABC中,ZA,ZB,ZC的对边分别是a,b,c且tan

,2-声TT工

B=d+BC•BZ=2,则tanB等于(D)

把

(A)N(B)x/3-l

(C)2(D)2-V3

解析：由余弦定理得a2+c?-b2=2accosB,

TTL

再由BC•BA=2,

1

得accosB=2,

「2--

,2--TTT

所以tanB=az+cz-b2-2=2-々.故选口.

8.在AABC中，若1gsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,则AABC的形

状是(D)

(A)直角三角形(B)等腰直角三角形

(0等边三角形(D)等腰三角形

SVVLA

解析：由条件得cosbs讥c=2,

即2cosBsinC=sinA.

。2+。2——2

由正、余弦定理得2•2ac•c=a,

整理得b=c,

所以AABC为等腰三角形.故选D.

9.在4ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=45°,C=60°,c=l,

则最短边的长等于(C)

i#爬

(A)2(B)2(03(D)4

bc

解析:最短边为b,由正弦定理得而访=丽，

1Xsi;i45°-\/6

所以b=sin60°=~T.故选C.

10.（2015潍坊四县市期中联考）在AABC中,AB=3,BC=g,AC=4,则边

AC上的高为(B)

3d23J33

(A)2(B)2(C)2(D)3W

解析:在AABC中，因为AB=3,BC=g,AC=4,

4解+心—21

所以由余弦定理得COSA=2AB-AC=2,

所以NA=60°.

3出

而AC边上的高h=AB,sinA=3,sin60°=2.

故选B.

H.在△ABC中，若b=W,c=3,NB=30°,则a等于(C)

(A)#(B)2G

(C)平或2G(D)2

bc

解析：由正弦定理得而屎而均

J3

BfJsin3(F=smC,

所以sinC=2,C=60°或120°.

所以A=90°或30°,

当A=90°时,a2=32+(V3)2,a=2眄

当A=30°时,a=b=G.故选C.

12.如图所示,在AABC中,D是边AC上的点，且

AB=AD,2AB=V3BD,BC=2BD,则sinC的值为(D)

■\/3.p、后.亚

(A)3(B)石(C)，(D)6

解析:设BD=a,则由题意可得

把

BC=2a,AB=AD=2a,

在AABD中，由余弦定理得，

2X,3

AB2+AD2-BD2」乂(息、21

COSA=2AB^AD二NX丁)4

2

所以sinA=-7i-COSA=s~y

在AABC中，由正弦定理得

ABBC

sinC-sinAy

所以晒=+

解得sinC=6.故选D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.（2014高考广东卷）在4ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,

a

已知bcosC+ccosB=2b,则氏.

解析:根据正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入已知式

子中,可得sinBcosC+sinCeosB=2sinB,即sinA=2sinB,由此可

a

知a=2b,即万=2.

答案：2

14.（2013高考湖南卷）在锐角AABC中，角A,B所对的边长分别为a,b.

若2asinB=Gb,则角A等于.

解析：由正弦定理得,2sinAsinB=GsinB,sinA=2,

因为AABC为锐角三角形，

IT

所以A=3.

Tl

答案：3

15.三角形ABC的三内角A、B、C所对的边长分别是a,b,c.若(a+b)(sin

B-sinA)=(\/3a+c)sinC,则角B的大小为.

解析：由正弦定理得，

(a+b)(b-a)=(V3a+c)c,

即b2-a2=V3ac+c2,

a2+c2-b2=-V3ac,

.2+c?一庐g

cosB=2ac'=-2,

57T

又B£(0,n),所以B=/.

571

答案:石

16.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a=#,b=2,sin

B+cosB=G,则角A的大小为.

解析：因为sinB+cosB=A/2,

他也

所以2sinB+2cosB=l,

所以sin(B+45°)=1,

又。<B<180°,

所以B+45。=90°,

所以B=45°,

由正弦定理得

asinB隹5沅45°1

sinA=b=2=2,

又a<b,

所以A=30°.

答案:30。

三、解答题(共40分)

17.(本小题满分10分)

在AABC在内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,若sinC

+sin(B-A)=sin2A,试判断AABC的形状.

解：由已知得sin(A+B)+sin(B-A)=sin2A,

sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=sin2A,

2cosAsinB=2sinAcosA,

cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinA=sinB,

所以A=90°或人=8,

所以aABC是直角三角形或等腰三角形.

18.(本小题满分10分)

(2015兖州高二期中质检)设AABC中的内角A,B,C的对应边分别为

1

a,b,c，已知a=l,b=2,cosC=4.

⑴求AABC的边长c;

⑵求cos(A-C)的值.

解：(1)由余弦定理得cJa'+b'2abeosC

1

=l+4-2X1X2X4

=4,

又c>0,

所以c=2.

115

⑵sin2c=1-cos2c=1-(4)2=T6.

因为0<C<n,

V15

所以sinC=4.

ac

由正弦定理得s讥/=sEC,

2

1溟

即s讥4二4,

vis

解得sinA=8,

屏49

cos2A=1-sin2A=1-(8)2=64.

在三角形ABC中因为a〈b,

所以A〈B,

所以A为锐角，

7

所以cosA=8,

cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC

71巫巫

=8X4+8X4

11

=16.

19.(本小题满分10分)

11

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a,b,c,已知tanA=2,tanB=3,

且最长边的边长为5.求：

⑴角C的正切值及其大小；

(2)AABC最短边的长.

解：(l)tanC=tan[n-(A+B)]

=~tan(A+B)

tanA4-tanB

=-l-tanAtanB

=-l.

3TT

因为0<C<n,所以C=才.

⑵因为O〈tanB<tanA,

所以A、B均为锐角，且B<A,

又C为钝角，

所以最短边为b,最长边为c,

1

由tanB=3,

710

解得sinB=10,

bc

^sinB=sinCy

5潞

c・sinBJ2

得b=sinC=F=依.

20.（本小题满分10