学透难点浙教版七年级下册期末备考各章节难点突破题集

学透难点2024年浙教版七年级下册期末备考各章节难点突破题集1．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．

(1)按小明的思路，易求得的度数为______；(2)问题迁移：如图2，，点P在直线BD上运动，记，，①当点P在线段上运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；②如果点P在射线或射线上运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出与、之间的数量关系．【答案】(1)(2)①；②点P在射线上时，；点P在射线上，．【分析要点】（1）过P点作，而，可得，再利用平行线的性质可得答案；（2）①过P点作，则，而，则．可得，从而可得答案；②如图，点P在射线上时，过P点作，可得，而，可得．，从而可得答案；点P在射线上，如图，过P点作，可得，而，可得．可得，从而可得答案．【解题过程】（1）过P点作，而，∴．

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）①过P点作，∴，

而，∴．∴，∴；②如图，点P在射线上时，

过P点作，∴，而，∴．∴，∴；点P在射线上，如图，

过P点作，∴，而，∴．∴，∴．【点睛】本题考查的是平行公理的应用，利用平行线的性质探究角之间的关系，作出合适的平行线是解本题的关键．2．问题情境：（1）如图①，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得______；

问题迁移：（2）图②，图③均是由一块三角尺和一把直尺拼成的图形，三角尺的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．

①如图②，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图③，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由．拓展延伸：（3）当点在，两点之间运动时，若，的平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．【答案】（1）；（2）①，②，理由见解析；（3）【分析要点】（1）过点P作，则，由平行线的性质可得，进而可得的度数；（2）①过点P作，依据平行线的性质可得，进而可得与，之间的数量关系；②过P作，依据平行线的性质可得，，即可得到；（3）过P和N分别作的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到与∠α，∠β之间的数量关系为．【解题过程】（1）如图1，过点P作，

∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，故答案为：；（2）①，理由：如图②，作过点P作，

∵，∴，∴，∴；②，理由：如图，过点作，

则，∵，∴，∴，∴．（3），理由：如图，

理由：由（2）①可得，，∵，的平分线，相交于点，，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．3．几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．(1)导入：如图1，已知，如果，，则；(2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；(3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析要点】（1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可；（2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与，之间的数量关系；（3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可．【解题过程】（1）解：∵，∴，，∴，故答案为：；（2）解：如图所示，过点P作，∵，∴，，∴；（3）解：如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q，∵∴，，∴；如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q，∵，∴，，∴；如图所示，当点P在射线上时，作交于点Q，∵，∴，，∴；综上所述，或或．【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．4．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为°；(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．【答案】(1)60(2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．【分析要点】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可；（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可；②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即可求解．【解题过程】（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360，解得，x=60，∠H的4系补周角的度数为60°，故答案为：60；（2）解：①过E作EF∥AB，如图1，∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D=60°，∴∠D=∠DEF=60°，∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，即∠B+60°=∠BED，∵∠B是∠BED的3系补周角，∴∠BED=360°3∠B，∴∠B+60°=360°3∠B，∴∠B=75°；②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键．5．（1）引入：在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图所示，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：证明：如图，过点E作EFAB．（2）思考：当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由．（3）应用：如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数．（4）提升：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）．【分析要点】（1）先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得证；（2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论；（3）先根据（2）的结论求出的度数，再根据邻补角的定义即可得；（4）过点作，从而可得，先根据（2）的结论可得，再根据角的和差可得，由此即可得出答案．【解题过程】证明：（1）如图，过点作，，，，，；（2），理由如下：如图，过点作，，，，，，即；（3）由（2）已得：，，，；（4）如图，过点作，则，由（2）的结论得：，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、邻补角等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．6．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进种型号衣服9件，种型号衣服10件，则共需1810元；若购进种型号衣服12件，种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件型号衣服可获利18元，销售一件型号衣服可获利30元．要使在这次销售中获利不少于699元，且型号衣服不多于28件．（1）求型号衣服进价各是多少元？（2）若已知购进型号衣服是型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案．【答案】（1）型号衣服每件90元，型号衣服每件100元；（2）有三种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件；③型号衣服购买12件，型号衣服购进28件．【分析要点】（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．【解题过程】（1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，则：解得答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元（2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，则：解得为正整数，、11、12，24、26、28．答：有三种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件；③型号衣服购买12件，型号衣服购进28件．【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及方程组．7．青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地．已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米)，公路的运价为1.5元/(吨·千米)，且这两次运输共支出铁路运费124800元，公路运费19500元．（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表原料x吨产品y吨合计（元）铁路运费124800公路运费19500根据上表列方程组求原料和产品的重量．（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?【答案】（1）填表：72000，52800，7500，12000；购买了原料吨，制成产品吨；（2）2555700元【分析要点】（1）设该工厂从A地购买了吨原料，制成运往B地的产品吨，由这两次运输共支出公路运输费19500元、铁路运输费124800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由总价=单价×数量结合多的费用=销售总额（原料费+运输费），即可求出结论．【解题过程】（1）设该工厂从A地购买了吨原料，制成运往B地的产品吨，依题意，得：，解得：．填表如下：原料x吨产品y吨合计（元）铁路运费7200052800124800公路运费75001200019500答：该工厂从A地购买了吨原料，制成运往B地的产品吨；（2）8000×400（1000×500+19500+124800）=2555700（元）．答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多2555700元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，请问：笔记本的单价为多少元？【答案】（1）见解析；（2）6元【分析要点】（1）设单价为20元的书买了x本，单价为24元的书买了y本，根据总价＝单价×数量，结合购买两种书30本共花费（700−38）元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，结合x，y的值为整数，即可得出小明搞错了；（2）设单价为20元的书买了a本，则单价为24元的书买了（30−a）本，笔记本的单价为b元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得出a＝14＋，结合0＜b＜10，且a，b均为整数，可得出b＝2或6，将b值代入a＝14＋中可求出a值，再结合单价为20元的书多于24元的书，即可确定b值．【解题过程】解：（1）设20元的书买了本，24元的书买了本，由题意，得，解得，∵，的值为整数，故，的值不符合题意（只需求出一个即可）∴小明搞错了；（2）设20元的书买了本，则24元的书买了本，笔记本的单价为元，由题意，得：，化简得：∵，∴或6．当，，即20元的书买了15本，24元的书买了15本，不合题意舍去当，，即20元的书买了16本，则24元的书买了14本∴．答：笔记本的价格为6元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．9．我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．（1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____；（2）若二元一次方程中、的值满足下列表格：1002则这个方程的共轭二元一次方程是____________；（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）；的解为______；的解为_____；的解为______．（4）发现：若共轭方程组的解是则、之间的数量关系是______．【答案】（1），1；（2）；（3），，；（4）【分析要点】（1）根据共轭二元一次方程组定义可得解答1a=2，b+2=3，解方程即可得到答案；（2）将x与y的对应值代入x+ky=b中，得到二元一次方程组，求出k与b的值，即可得到此方程的共轭二元一次方程；（3）分别根据代入法或是加减法解方程组；（4）观察（3）中x与y的关系即可得到答案.【解题过程】（1）由题意得1a=2，b+2=3，解得a=1，b=1，；（2）由题意得，解得，∴原方程为：，∴这个方程的共轭二元一次方程是；（3）解方程组，由①得x=32y③，将③代入②得，2（32y）+y=3，解得y=1，将y=1代入③得x=32=1，∴原方程组的解为；解方程组，①②得xy=0，∴x=y，将x=y代入①得x=2，∴y=2，∴原方程组的解是；解方程组，由①得y=2x4③，将③代入②得x+2（2x4）=4，解得x=4，将x=4代入③得y=4，∴原方程组的解是；（4）由（3）可知，解方程组的解是中与的数量关系是m=n.【点睛】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键.10．阅读理解：材料一：对于一个两位数，交换它的个位和十位数字得到的新数叫这个两位数的“倒序数”.如：23的倒序数是32，50的倒序数是05.材料二：对于一个两位数，若它的个位数字与十位数字的和小于等于9，则把个位数字与十位数字的和插入这个两位数中间得到的新数叫这个两位数的“凸数”.如23的凸数是253.（1）请求出42的“倒序数”与“凸数”；38有“凸数”吗？为什么？（2）若一个两位数与它的“倒序数”的和的4倍比这个两位数的“凸数”小132，请求出这个两位数.【答案】（1）42的“倒序数”是24，“凸数”是462；38没有“凸数”；（2）32和44【分析要点】（1）利用“倒序数”与“凸数”的概念进行求解即可；（2）设这个两位数的个位数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程，整理后求解即可．【解题过程】（1）42的“倒序数”是24，“凸数”是462；∵3+8=11＞9，∴38没有“凸数”；（2）设这个两位数的个位数字为x，十位上的数字为y，根据题意得，整理得，∵x、y均为自然数，且x+y＜9，∴x=2，y=3，或x=4，y=4,因此，这个两位数为：32和44．【点睛】此题考查了数的表示方法，理解“倒序数”与“凸数”的概念以及一个两位数的表示方法是正确解答的关键．11．如图，六边形是一个轴对称图形，请将该图形沿对称轴剪开，将得到的两个全等图形拼成一个新的轴对称图形（两个全等图形不重叠）．(1)请画出新的轴对称图形；(2)设六边形的面积为，新的轴对称图形面积为，判断，的大小关系，并直接用含的式子表示出来；(3)计算：．【答案】(1)见解析(2)，，(3)【分析要点】此题主要考查了平方差公式，画轴对称图形，解题关键是熟记平方差公式：即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．对于有图形的题需要注意利用数形结合求解更形象直观．（1）将边长为的两边分别结合即可；（2六边形的面积为等于正方形面积减小正方形面积，由（1）可知为梯形，由梯形面积公式计算即可，最后由平方差公式即可求解；（3）运用平方差公式求解即可．【解题过程】（1）解：新的轴对称图形如图所示．（答案不唯一）（2）由题意可知：．，，（3）12．若x满足，求的值．解：设，则，∴．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足，求的值；（2）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别作正方形和正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）11；（2）28．【分析要点】（1）设x2004=a，x2007=b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【解题过程】解：（1）设x2004=a，x2007=b，∴a2+b2=31，ab=3，∴2（x2004）（x2007）=2ab=（ab）2（a2+b2）=931=22，∴（x2004）（x2007）=11；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x1，DF=x3，∴（x1）•（x3）=48，∴（x1）（x3）=2，∴阴影部分的面积=FM2DF2=（x1）2（x3）2．设（x1）=a，（x3）=b，则（x1）（x3）=ab=48，ab=（x1）（x3）=2，∴（a+b）2=（ab）2+4ab=4+192=196，∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=14，∴（x1）2（x3）2=a2b2=（a+b）（ab）=14×2=28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析要点．13．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题（1）写出图2中所表示的数学等式（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则（4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则【答案】（1）；

（2）见解析；（3）30；

（4）156．【分析要点】（1）利用整体法求解正方形的面积为，利用分割法求解正方形的面积为：，从而可得答案；（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；（3）利用变形公式：，再整体代入即可得到答案；（4）由题意可得，所拼图形的面积为:，再利用整式的乘法运算法则计算：，由面积相等可得的值，从而可得答案．【解题过程】解：（1）正方形的面积;正方形的面积故答案为:（2）证明：（3）故答案为:（4）由题可知，所拼图形的面积为:故答案为：【点睛】本题考查的是乘法公式的几何意义，整式的乘法运算，公式的应用能力，掌握以上知识是解题的关键．14．阅读下列材料并解答后面的问题:利用完全平方公式,通过配方可对进行适当的变形，如：或从而使某些问题得到解决．例:已知,求的值．解:通过对例题的理解解决下列问题:(1)已知,分别求(2)若求的值(3)若满足，求式子的值．【答案】（1）10；（2）34；（3）0【分析要点】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；（3）根据（n−2019）+（2018−n）=1，利用完全平方公式计算即可求出值．【解题过程】（1）∵a−b＝2，ab＝3，∴原式＝（a−b）2＋2ab＝4＋6＝10；故答案为：10；（2）把两边平方得：（）2＝a2＋＋2＝36，则＝34；（3）∵（n−2019）+（2018−n）=n−2019+2018−n=1∴[（n−2019）＋（2018−n）]2＝（n−2019）2＋（2018−n）2＋2（n−2019）（2018−n）=1∵（n−2019）2＋（2018−n）2＝1，∴1＋2（n−2019）（2018−n）=1，则（n−2019）（2018−n）＝0．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形运用是解本题的关键．15．分别计算下列各式的值：（1）填空：；；；…由此可得；（2）求的值；（3）根据以上结论，计算：．【答案】（1），，，；（2）；（3）【分析要点】（1）利用多项式乘以多项式的法则分别进行计算，利用发现的规律得到答案，（2）利用（1）的规律把乘以，可得答案，（3）利用（1）的规律把乘以，可得答案，【解题过程】解：（1），，，根据以上计算得：，故答案为：，，，；（2）（3）【点睛】本题考查的是多项式乘法中的规律题，根据已有的计算方法与结果得出规律是解题关键．16．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：．(1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______．①；②；③；④；⑤．(2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______．(3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果）【答案】(1)①③④⑤(2)画图见解析，(3)9或21或12【分析要点】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键．（1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可；（2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答；（3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答．【解题过程】（1）解：由图形可得，、，故①正确，∴，即②错误；由图形可得，，即，即③正确；∵、，∴，即，即④正确；∵，，即故⑤正确．故答案为：①③④⑤．（2）解：由题意可得，图形如图所示，∴．故答案为：．（3）解：由题意可得，①当，，②当，，③当，．故答案为：9或21或12．17．阅读以下材料：目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到；第二步，去括号，和对比发现，二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）；第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了．请使用上述方法回答下列问题：(1)因式分解：①；②；(2)对关于的多项式因式分解：．【答案】(1)①②(2)【分析要点】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键．（1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案；②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案；（2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案．【解题过程】（1）①由题意得，，，，所以可凑数，，故；②由题意得，，，，所以可凑数，，则，，又可凑数，，故；（2）设，则，凑数，，，，，分四种情况讨论：当，时，代入，不成立，舍去；当，时，代入，不成立，舍去；当，时，代入，成立，符合题意；当，时，代入，不成立，舍去；所以只有，，故．18．我们可以用以下方法求代数式的最小值．∵∴，∴当时，有最小值4．请根据上述方法，解答下列问题（1）求代数式的最小值；（2）求证：无论、取任何实数，代数式的值都是正数；（3）已知为实数，求代数式的最小值．【答案】（1）有最小值；（2）证明见解析；（3）有最小值．【分析要点】（1）通过配方可得：，再利用非负数的性质，结合不等式的性质可得答案；（2）把原式通过配方化为：，再利用非负数的性质可得：从而可得结论；（3）利用配方法把原式化为：再利用非负数的性质可得代数式的最小值．【解题过程】解：（1）当时，有最小值．（2）无论、取任何实数，代数式的值都是正数；（3）当时，有最小值．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，利用配方法求代数式的最值，因式分解的应用，掌握利用完全平方式的特点进行配方是解题的关键．19．【类比学习】小明同学类比除法2401615的竖式计算，想到对二次三项式x23x2进行因式分解的方法：

即x23x2x1x2，所以x23x2x1x2．【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2□x6x2x☆，（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：得出□=___________，☆=_________．【深入研究】小明用这种方法对多项式x22x2x2进行因式分解，进行到了：x32x2x2x2*．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x32x2x2因式分解．【答案】[初步应用]5，3；[深入研究]x32x2x2(x2)(x1)(x1)；详见解析；【分析要点】[初步应用]列出竖式结合已知可得：，，求出□与☆即可．[深入研究]列出竖式可得x32x2x2÷x2，即可将多项式x32x2x2因式分解．【解题过程】[初步应用]∵多项式x2□x6能被x2整除，∴，，∴☆=3，□=5，故答案为：5，3；[深入研究]∵，∴.【点睛】本题考查整式的除法；理解题意，仿照整数的除法列出竖式进行运算是解题的关键．20．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．[解决问题](1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；(2)若可配方成（m、n为常数），则______；[探究问题](3)已知，则______；(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．[拓展结论](5)已知实数x、y满足，求的最值．【答案】(1)；(2)(3)(4)(5)最大值为：；【分析要点】（1）根据“完美数”可得答案；（2）利用完全平方公式可得，从而可得答案；（3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；（4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案；（5）由条件可得，代入计算可得：，再结合非负数的性质可得最大值．【解题过程】（1）解：；（2）；∴，，∴；（3）∵，∴∴，∴，，解得：，，∴；（4），当为完美数时，∴，解得：．（5）∵，∴，∴，∵，∴；∴的最大值为：．【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键．21．（1）探索：如果，则m=；如果则m=；（2）总结：如果（其中a，b，c为常数），则m=；（用含a，b，c的式子表示）；（3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．【答案】（1）5，；（2）；（3）或．【分析要点】（1）根据分式的加法运算即可得；（2）根据分式的加法运算即可得；（3）先根据（2）的结论将代数式拆分，再根据整数的性质求解即可得．【解题过程】（1），，，，解得；，，，，解得；故答案为：5，；（2），∵，，；（3）由（2）可得：，∵代数式的值为整数，∴的值为整数，又为整数，或，解得或．【点睛】本题考查了分式的加法等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．22．完成下列各题．（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________．（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________．（3）若分式的值是整数，求整数的值．（4）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或0或2或6；（4）【分析要点】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以即可；（2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10即可，（3）将分式变形得，要使结果是整数，，或，进而求出的整数值即可，（4）先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可．【解题过程】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以得，；（2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得，，（3），要使分式的值为整数，，或，解得，，，，，∴整数的值为0，2，6，；（4），两边平方得：，，．故答案为：（1）；（2）；（3）x=4或0或2或6；（4）.【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提．23．节日里，兄弟两人在60米的跑道上进行短距离比赛，两人从出发点同时起跑，哥哥到达终点时，弟弟离终点还差12米．(1)若哥哥的速度为10米/秒，①求弟弟的速度；②如果两人重新开始比赛，哥哥从起点向后退10米，兄弟同时起跑，两人能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．(2)若哥哥的速度为m米/秒，①弟弟的速度为________米/秒(用含m的代数式表示)；②如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退多少米？【答案】（1）①弟弟的速度是8米/秒；②不能同时到达，哥哥先到达终点；（2）①0.8m；②如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退15米【分析要点】(1)①根据时间=路程速度,及哥哥跑60米的时间=弟弟跑（6012）米的时间列出方程，求解即可；②利用时间=路程速度，可分别求出哥哥、弟弟到达终点的时间，比较后即可得出结论;(2)①根据时间=路程速度,及哥哥跑60米的时间=弟弟跑（6012）米的时间;②设哥哥后退y米，根据时间=路程速度，及哥哥跑（60+y）米的时间=弟弟跑60米的时间列出方程，即可得出关于y的分式方程,解之经检验后即可得出结论.【解题过程】（1）①设弟弟的速度为x米/秒，则解得：x=8，经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意答：弟弟的速度是8米/秒；

②哥哥跑完全程所需要的时间为(60+10)÷10=7(秒)，弟弟跑完全程所需要的时间为(秒)>7秒，∴哥哥先到达终点；(2)①设弟弟的速度为x米/秒，则解得：故答案为：；

②设哥哥后退y米，由题意得：∴∴∴y=15答：如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退15米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是:根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出分式方程.24．阅读材料：对于非零实数m，n，若关于x的分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n的解为x1＝m，x2＝n．（1）理解应用：方程x+＝2+的解为：x1＝，x2＝；（2）拓展提升：若关于x的方程x+＝k﹣1的解满足x1＝x2，求k的值．【答案】（1）2，；（2）k=5或k=3【分析要点】（1）根据题目所给的阅读材料，即可的得出答案；（2）设x1=x2=t，可得x1•x2=4，即t2=4，解得t=±2，根据题意可得k1=x1•x2=4或k1=x1•x2=4，求出k的值即可得出答案．【解题过程】解：（1）根据题意可得，方程x+＝2+，解为：x1=2，x2=，故答案为：2，；（2）由题意得，设x1=x2=t，∴x1•x2=4，即t2=4，解得t=±2，∵k1=x1+x2=4或k1=x1+x2=4，解得k=5或k=3．【点睛】本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，正确理解题目所给材料的意义进行计算是解决本题的关键．25．已知，关于x的分式方程．(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求b为何值时分式方程无解；(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【分析要点】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．【解题过程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，解得：，检验：把代入，∴原分式方程的解为：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，去括号，得：，移项、合并同类项，得：，①当时，即，原分式方程无解；②当时，得，Ⅰ.时，原分式方程无解，即时，此时b不存在；Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，即时，此时b=5；综上所述，时，分式方程无解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，，解得：，∵b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．26．某校八年级数学老师们在全年级开展教学创新对比试验，所有班级都被设为实验班或对比班，一学期后对全年级同学进行了数学水平测试，观察实验效果．从实验班和对比班中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分100）进行整理和分析要点（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表：一、收集、整理数据：实验班20名学生的数学成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，对比班学生数学成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．二、分析要点数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：成绩平均数中位数众数实验班8588.5b对比班81.8a74三、描述数据：请根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全频数分布直方图；②填空：a＝，b＝；（2）根据以上数据，你认为实验班的数学成绩更好还是对比班的数学成绩更好？判断并说明理由（两条理由即可）；（3）如果我校八年级实验班共有学生900名，对比班共有学生600名，请估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数．【答案】（1）①见解析；②，；（2）实验班的数学成绩更好，理由：实验班成绩的平均数、中位数均比对比班的高；（3）大约有人【分析要点】（1）①求出实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数，即可补全频数分布直方图；②根据众数和中位数的定义求解可得；（2）根据实验班和对比班样本数据的平均数、中位数和众数判定即可；（3）分别用实验班和对比班的总人数乘以各自样本中成绩不低于80分的学生人数所占比例，相加可得．【解题过程】解：（1）①实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数：（人，补全频数分布直方图如图：；②，，故答案为：79.5，89；（2）实验班的数学成绩更好，理由：①实验班样本数据的平均数大于对比班样本数据的平均数，②实验班样本数据的中位数和众数大于对比班样本数据的中位数和众数；（3）对比班20名学生本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人，估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人，答：估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数有930人．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，解题的关键是必须认真观察、分析要点、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．27．为了了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了该学校八年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

（1）根据以上信息，回答下列问题．①求m的值；②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数；③补全条形统计图．（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．【答案】（1）①m=60；②；③补全条形统计图见解析；（2）众数：3中位数：3平均数：．【分析要点】（1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值；②结合周角是360度进行计算；③求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可．【解题过程】解：（1）①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°，∴其所占的百分比为，∵课外阅读时间为2小时的有15人，∴m=15÷=60；②依题意得：；③第三小组的频数为：601015105=20，补全条形统计图为：

（2）∵课外阅读时间为3小时的20人，最多，∴众数为3小时；∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，∴中位数为3小时；平均数：；【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息，难度不大．28．为了增强学生的安全意识，某校组织了全校3000名学生都参加的“安全知识”考试，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析要点统计，发现