2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 3.8 二次函数综合题 (课件)

类型一二次函数与线段问题第八节二次函数综合题微技能——动点坐标及线段表示一阶

例1如图①，已知抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于点A，点B，与

y轴交于点

C，点

P是直线BC上方抛物线上一点．设点

P的横坐标为

t.一题多设问例1题图①(1)①点P的坐标可表示为___________________，t的取值范围为____________；②过点P作PQ⊥x轴于点Q，交线段BC于点H，则点Q的坐标可表示为________，PQ的长可表示为______________，点H的坐标可表示为_____________，PH的长可表示为_____________；例1题图①0＜t＜4(t，－

t2＋

t＋2)(t，0)－

t2＋

t＋2(t，－

t＋2)－

t2＋2t③过点P作PN⊥y轴交直线BC于点D，则点D的坐标可表示为______________________________，PD的长可表示为__________；(2)将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则点P的对应点P1的坐标可表示为______________________，PP1的长可表示为________；(t2－3t，－

t2＋

t＋2)4t－t2(t－4，－

t2＋

t＋5)5例1题图①(3)若点P′与点P关于抛物线的对称轴对称，则点P′的坐标可表示为_____________________，PP′的长可表示为________；(4)如图②，过点P作PM⊥BC于点M，则点M的坐标可表示为_______________________，PM的长可以表示为___________．例1题图①例1题图②(3－t，－

t2＋

t＋2)2t－3一题多设问二阶例2如图①，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝－x＋2交于点B、C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A，对称轴为直线l.一题多设问例2题图①(1)求抛物线的解析式；例2题图①解：(1)由直线解析式得点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，2)，∵抛物线y＝x2＋bx＋c与直线交于B、C两点，∴点B(4，0)，C(0，2)在抛物线上，将点B(4，0)，C(0，2)代入抛物线解析式，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋2；(2)若点E为x轴上一点，当BE＝CE时，求点E的坐标；在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝22＋e2＝4＋e2，∵BE＝CE，∴(4－e)2＝4＋e2，解得e＝，∴点E的坐标为(，0)；E(2)如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则BE＝4－e.例2题图①(3)如图②，设P为直线BC下方抛物线上一点．过点P作y轴的平行线交直线BC于点H.①求当PH值最大时，点P的坐标；例2题图②【思维教练】设出点P横坐标为p，可表示出PH的长，利用二次函数性质可求出最值；①解：设点P(p，p2－p＋2)，则H(p，－p＋2)，∴PH＝－p＋2－p2＋p－2＝－p2＋2p＝－(p－2)2＋2，∵－＜0，0＜p＜4，∴当p＝2时，PH值最大，最大值为2，此时，点P的坐标为(2，－1)；例2题图②【拓展设问】如图③，过点P作PD⊥BC于点D，求PD的最大值；【思维教练】根据三角函数表示出PD与PH的关系，从而表示出PD，再根据二次函数性质求出最值．例2题图③由①知，PH＝－(p－2)2＋2，∵PH∥OC，∴∠PHD＝∠OCB.∵OC＝2，OB＝4，∴，∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCB＝，例2题图③∴，∵＜0，0＜p＜4，∴当p＝2时，PD有最大值，最大值为；②设PH交AB于点M，设点P(p，p2－p＋2)，则H(p，－p＋2)，M(p，0)，∴HM＝－p＋2，BM＝4－p，∴HB2＝HM2＋BM2＝(－p＋2)2＋(4－p)2＝，解得p＝3或p＝5(舍去)，∴点P的坐标为(3，－1)；【思维教练】根据点P的坐标可表示出点H的坐标，从而表示出BH的长，再解方程即可求解；②若BH＝，求点P的坐标；例2题图③③若点P到直线BC的距离为时，过点P作PF∥BC，与抛物线的另一个交点为F，求点F的坐标；【思维教练】点P到直线BC的距离即为PD的长，列方程即可求出此时点P的坐标，PF∥BC，即PF可以由BC平移得到，设出PF的直线解析式，代入点P坐标即可求出PF的解析式，联立方程组，即可求出直线PF与抛物线的另一个交点的坐标．例2题图③③解：PD＝(p－2)2＋，由题意知PD＝

，解得p＝3或p＝1，此时点P的坐标为(3，－1)，(1，0)，∵直线BC的解析式为y＝－x＋2，∴设直线PF的解析式为y＝－x＋m，当直线过点P(3，－1)时，直线PF的解析式为y＝－x＋，此时点F的坐标为(1，0)；例2题图③当直线过点P(1，0)时，直线PF的解析式为y＝－x＋，此时点F的坐标为(3，－1)，综上可知，点F的坐标为(1，0)或(3，－1)；例2题图③(4)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△ACF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△ACF周长的最小值；若不存在，请说明理由．【思维教练】根据对称性可确定点F的位置，求出点F的坐标，再利用勾股定理即可求解．(4)存在．要使△ACF的周长最小，即AC＋AF＋CF的值最小，如解图，连接AC、AF.∵AC为定值，且点A与点B关于对称轴直线l对称，∴BC与对称轴l的交点即为所求的点F.例2题图F∵抛物线的解析式为y＝x2－x＋2，∴抛物线对称轴为直线，A(1，0)．∴将x＝代入y＝－x＋2，得y＝－×＋2＝，∴点F的坐标为(，)．例2题图F∵在Rt△OAC中，OA＝1，OC＝2，由勾股定理得AC＝，在Rt△OBC中，∵OB＝4，OC＝2，由勾股定理得BC＝，∴△ACF周长的最小值为AC＋AF＋CF＝AC＋BC＝＋2＝3.例2题图F综合训练三阶1.(2021沈阳25题12分)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x

轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点B坐标是(3，0)．抛物线与y

轴交于点C(0，3)，点P是抛物线的顶点，连接PC.第1题图(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．第1题图解：(1)∵y＝－x2＋bx＋c过B(3，0)，C(0，3)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，顶点P的坐标为(1，4)；【一题多解】y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以P点坐标为(1，4)．(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；①设直线BC的解析式为y＝kx＋n，将点B(3，0)，点C(0，3)分别代入，得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵直线BC与抛物线对称轴交于点D，∵点D在对称轴上，∴点D的横坐标为1.把x＝1代入y＝－x＋3得y＝2.∴点D的坐标为(1，2)．∴PD＝4－2＝2.第1题图方法一：∴S△PCD＝2×1×＝1.∴S△PAB＝2S△PCD＝2×1.由抛物线的对称性可得A(－1，0)，∴AB＝4.设Q(m，－m＋3)，∴×4·(－m＋3)＝2，或×4·(m－3)＝2.∴m＝2或m＝4.∴Q(2，1)或Q(4，－1)；第1题图第1题图∴S△ABQ＝2S△PCD＝2.过点Q作CG⊥AB，垂足为点G.方法二：如解图，过点C作CH⊥PD，垂足为点H，S△PCD＝PD·CH＝×2×1＝1.由抛物线的对称性可得A(－1，0)，∴AB＝4.S△ABQ＝AB·QG＝×4×QG＝2.∴QG＝1.∴点Q的纵坐标为1或－1.把y＝1和－1分别代入y＝－x＋3中，解得x＝2或x＝4.∴点Q的坐标为(2，1)或(4，－1)；GH②在①的条件下，当点Q在x

轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x－

交直线l于点F，点G在直线y＝x－上，且AG

＝AQ时，请直接写出GF的长．【解法提示】如解图③，第1题解图③第1题解图③∵当点Q在x轴上方时，点Q的坐标为(2，1)，点A的坐标为(－1，0)，∴直线AQ的解析式为y＝x＋，AQ＝.∵点G在直线y＝x－上，∴设G(x，x－)．∵AG＝AQ＝，则AG2＝(x＋1)2＋(x－)2＝10.解得x1＝－2，x2＝.∴G1(－2，－3)，G2(，－)．∵l⊥AQ，直线AQ的解析式为y＝x＋，∴设直线l的解析式为y＝－3x＋m，把点Q(2，1)代入，得m＝7.直线QF的解析式为y＝－3x＋7.联立解得∴F(，－)．∴FG1＝，FG2＝.②GF的长是.第1题解图③2.(2023沈阳大东区一模)如图①，在平面直角坐标系中，直线BC分别与x轴，y轴交于B(3，0)，C两点，抛物线y＝ax2＋bx－经过B，C两点，与x轴交于A(－1，0)．第2题图(1)求该抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式_____________；【解法提示】将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－中得，

解得∴抛物线的解析式为y＝x2－x－.令x＝0，则y＝－.∴C(0，－)．第2题图第2题图设直线BC的表达式为y＝kx＋n，得解得∴直线BC的表达式为y＝

－(1)(2)点D是x轴下方抛物线上的一点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，当DE＝时，设点D的横坐标为m，求m的值；第2题图(2)∵D是x轴下方抛物线上的一点，点D的横坐标为m，－1＜m＜3，∴D(m，m2－m－)．∵点E在直线BC上且直线DE∥y轴，∴E(m，m－)．则EF＝－(m－)＝－m＋，DF＝－m2－m－)＝－m2＋m＋.∴DE＝DF－EF＝－m2＋m＋－(－m＋)＝－m2＋m.∵DE＝，∴－m2＋m＝.解得m1＝m2＝；当0＜m＜3时，设直线DE交x轴于点F，如解图，EFD第2题图当－1＜m＜0，设直线DE交x轴于点F，如解图，则EF＝－(m－)＝－m＋，DF＝－(m2－m－)＝－m2＋m＋.∴DE＝EF－DF＝－m＋－(－m2＋m＋)＝m2－m.∵DE＝，∴m2－m＝.解得m＝(不合题意，舍去)或m＝.EFD第2题图∴m＝.综上所述，m的值为或；EFD第2题图【解法提示】∵B(3，0)，∴OB＝3.∵C(0，－)，∴OC＝.在Rt△OBC中，∵tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝60°.(3)如图②，在y轴的正半轴上取点M，在射线CB上取点N，连接MN，点P为MN的中点，且CP＝，请直接写出CM＋CN的最大值____．第2题图∵点P为MN的中点，且CP＝，∴点P的轨迹是在∠OCB内部，以点C为圆心，为半径的圆弧，不含与边CO，CB的交点．观察图形可以得出，当点P接近边CO和CB时，CM＋CN接近2，由对称性可知，当CP为∠OCB的平分线时，CM＋CN的值最大，∴当△CMN为等边三角形时，CM＋CN最大．∵△CMN为等边三角形，点P为MN的中点，∴CM＝CN，CP⊥MN，∠CNM＝60°.第2题图在Rt△CPN中，sin∠CNM＝.∵CP＝，∴CN＝＝2，∴CM＋CN的最大值为4.第2题图(3)4类型二二次函数与面积问题

微技能——面积表示一阶例1

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－3x＋4与x轴交于点A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DC、AC，点P是直线AC上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m.连接PA，PB，PC，BC.一题多设问例1题图(1)AB的长为________，OC的长为________，对称轴为直线________，顶点D的坐标为________；(2)S△ABC为________，S△AOC为________，S△ADC为________，S四边形AOCD为________，S四边形ABCD为________；例1题图54108(3)S△PAB可表示为_________________；S△PAC可表示为___________；S四边形ABCP可表示为______________．例1题图一题多设问二阶例2如图①，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B(1，0)，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝－1，顶点为D，连接AC，BC.点P是直线AC下方抛物线上一点，连接PA，连接PB交AC于点F.一题多设问例2题图①(1)求二次函数的解析式；例2题图①解：(1)∵抛物线与x轴交于B(1，0)，且对称轴为直线x＝－1.∴抛物线与x轴另一个交点坐标为A(－3，0)，∴二次函数的解析式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3；(2)若△PAB的面积为8，求点P的坐标；例2题图①(2)∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，设P(p，p2＋2p－3)(－3＜p＜0)，∴S△PAB＝AB·|yP|＝×4×|p2＋2p－3|＝2|p2＋2p－3|＝8，∴p2＋2p－3＝±4，∴p＝－1或p＝2－1(舍去)或p＝－2－1(舍去)，∴p＝－1，∴点P的坐标为(－1，－4)；(3)如图②，若S△AFP＝S△FBC，请求出点P的坐标；【思维教练】要求点P的坐标，已知S△AFP＝S△FBC，但两个三角形的面积都不易直接求得，可利用S△PAB－S△ABF＝S△ABC－S△AFB，设出点P坐标，分别表示出S△PAB，S△ABC，代入等量关系即可求解．例2题图②(3)设P(p，p2＋2p－3)，如解图，过点P作PH⊥x轴于点H，∴H(p，0)，－3＜p＜0，∴S△PAB＝AB·|yP|＝×4×|p2＋2p－3|＝2|p2＋2p－3|，∵S△AFP＝S△FBC，∴S△APF＋S△ABF＝S△PBC＋S△ABF，即S△PAB＝S△ABC，∴2|p2＋2p－3|＝AB·OC＝6，∴p2＋2p－3＝±3，∴p＝0(舍去)或p＝－2或p＝－1＋(舍去)，p＝－1－(舍去)，∴P(－2，－3)；例2题图②H【思维教练】要求△PAC面积S的最大值，先设点P坐标，表示出△PAC面积S，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点P的坐标．△PAC的面积不易直接求得，可作PM∥y轴交直线AC于M，利用S△PAC＝S△PAM＋S△PCM求得．(4)如图③，连接PC，求△PAC面积S的最大值，并求出对应的点P的坐标；例2题图③(4)点A(－3，0)，C(0，－3)，∴直线AC的解析式为y＝－x－3，如解图，作PM∥y轴交直线AC于点M，M设P(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，则M(x，－x－3)，∴PM＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，∴S＝S△PAM＋S△PCM＝PM·OA＝－x2－x＝－(x＋)2＋，例2题图③∵－＜0，－3＜x＜0，∴当x＝－时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为(－，－)；M例2题图③【拓展设问】求四边形ABCP的面积S的最大值并写出此时点P的坐标．如解图，过点P作PR⊥AB于点R，PT⊥y轴于点T，连接OP.S△OBC＝OB·OC＝×1×3＝，S△AOP＝AO·PR＝×3×(－x2－2x＋3)＝－x2－3x＋，S△POC＝OC·PT＝×3×|x|＝－x，则S＝S△OBC＋S△AOP＋S△OCP＝－x2－3x＋－x＝－x2－x＋6，例2题图③RT∴S关于x的函数解析式为S＝－x2－x＋6(－3＜x＜0)，∵S＝－x2－x＋6＝－(x＋)2＋，∵－＜0，－3＜x＜0，∴当x＝－时，四边形ABCP的面积S有最大值，最大值为.此时点P坐标为(－，－)；例2题图③RT【思维教练】先设点P坐标，表示出△PAC的面积，利用面积之间的关系表示出S，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点P的坐标．(5)如图④，△PAC与△PBC重合部分的面积为S，若△PAC与△PBC重合部分的面积是△PAC面积的，求S的最大值并写出此时点P的坐标；例2题图④例2题图④(5)设P(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，由(4)知，S△APC＝－x2－x，∵△PAC与△PBC重合部分的面积是△PAC面积的，∴S＝S△APC＝(－x2－x)＝－x2－x＝－(x＋)2＋，∵－

＜0，－3＜x＜0，∴当x＝－时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(－，－)；【思维教练】要求点P的坐标，已知过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，可先设点P的坐标，设过点P且平行于y轴的直线交AC于点Q，表示出△PQC和△PQA的面积，再代入比例关系式S△PQC∶S△PQA＝1∶3或S△PQA∶S△PQC＝1∶3，即可求解．(6)如图⑤，过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，求此时点P的坐标．例2题图⑤(6)设过点P且平行于y轴的直线交AC于点Q，∵直线PQ将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，∴设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，则S△PQC＝PQ·|x|＝－PQ·x，S△PQA＝PQ·|－3－x|＝PQ·(x＋3)，例2题图⑤①当时，，解得x＝－，此时点P的坐标为(－，－)．②当时，，解得x＝－，此时点P的坐标为(－，－)．综上可得，当过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分时，点P的坐标为(－，－)或(－，－

)．例2题图⑤综合训练三阶1.如图①，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝2OA＝4.动点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，运动时间为t秒．(1)求二次函数的表达式；第1题图第1题图解：(1)∵OB＝2OA＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)，把A(－2，0)，B(4，0)分别代入y＝

x2＋bx＋c得解得∴二次函数的表达式为y＝x2－x－4；(2)过点M作PM⊥BC交y轴于点P，当t＝3时，求点P的坐标；∵点B(4，0)，C(0，－4)，∴BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，当t＝3时，BM＝3，∴CM＝BC－BM＝，∵PM⊥BC，∴CP＝2，OP＝OC－CP＝2，∴点P(0，－2)；(2)如解图，PM第1题图(3)如图②，若点E是线段AC的中点，点M运动的同时，动点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点M运动到终点时点N停止运动，设△EMN的面积是S，请直接写出S取最小值时，点N的坐标．第1题图∵EG∥y轴，∴△AGE∽△AOC，∵点E是线段AC的中点，∴，【解法提示】如解图，过点E作EG⊥x轴于点G，G由A(－2，0)，C(0，－4)，得E(－1，－2)，则G(－1，0)，点N从点A运动到点B的时间为[4－(－2)]÷1＝6秒，点M从点B运动到点C的时间为÷＝4秒，∴0≤t≤4，过点M作MF⊥x轴于点F，依题意得AN＝t，BM＝t，∵OC＝OB＝4，∠OBC＝45°，∴MF＝FB＝t，∴NG＝|1－t|，GE＝2，GF＝6－1－t＝5－t，NF＝6－t－t＝6－2t，第1题图G当0≤t<1时，NG＝1－t，∴S△EMN＝S△NEG＋S四边形GEMF－S△NMF＝×2×(1－t)＋×(t＋2)×(5－t)－t×(6－2t)＝t2－t＋6；当1≤t≤4时，NG＝t－1，∴S△EMN＝S四边形GEMF－S△NEG－S△NMF＝×(t＋2)×(5－t)－×2×(t－1)－)t×(6－2t)＝t2－t＋6.第1题图G∵＞0，且0≤t≤4，当t＝时，S取得最小值，此时AN＝，点A的坐标是(－2，0)，∴点N的坐标为(，0)．∴t2－t＋6＝(t－)2＋，(3)S取最小值时，点N的坐标为(，0)．第1题图G2.(2023葫芦岛龙港区一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的解析式；解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；第2题图(2)P是线段BC上一点，射线AP交抛物线于点F.①连接FC，FB，若S△FPC＝2S△FPB，求点F的坐标；①过点P作PM⊥x轴于点M，如解图，∵S△FPC＝2S△FPB，∴PC＝2PB，即BC＝3PB，∴由y＝－x2＋2x＋3可得C(0，3)，CO＝3，∴解得PM＝1，同理可得BM＝1，∴OM＝OB－BM＝2，即M(2，0)，∴P(2，1)，第2题图M设直线AP的解析式为y＝kx＋b，将A(－1，0)，P(2，1)代入得，，解得∴直线AP的解析式为y＝x＋，联立解得(舍)，∴点F的坐标为(，)；第2题图M②抛物线的顶点为D，当DP＋BP有最小值时，将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，设△A′D′P′与△BOC重叠部分的面积记为S，请直接写出S与t的函数关系式．【解法提示】如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，∵B(3，0)，C(0，3)，∴△BCO为等腰直角三角形，直线BC的解析式是y＝－x＋3，∴△BEP为等腰直角三角形，∴PE＝BP，D备用图PE∵抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)，∴DP＋BP最小时点P的坐标为(1，2)，∴DP＋BP最小值即是DP＋PE最小值，此时D、P、E三点共线，将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，分两种情况：D备用图PE情况一：当0≤t≤1时，A′D′与OC、BC分别交于H、M，A′P′与OC、BC分别交于点G、N，如解图③，由A(－1，0)，D(1，4)可得直线AD解析式为y＝2x＋2，∵△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度，∴A′(－1＋t，0)，A′D′∥AD，∴直线A′D′解析式为y＝2x＋2－2t，∴令x＝0得y＝2－2t，即H(0，2－2t)，∴CH＝OC－OH＝1＋2t，第2题解图③联立直线A′D′与直线BC，得

解得∴M，∴S△CHM＝CH·xM＝(1＋2t)2，由A(－1，0)，P(1，2)得直线AP解析式为y＝x＋1，而A′(－1＋t，0)，A′P′∥AP得A′P′解析式为y＝x＋1－t，∴A′P′与y轴交点G(0，1－t)，同理可得与直线BC交点N(1＋t，2－t)，第2题解图③∴OG＝1－t，S△CGN＝CG·xN＝(2＋t)2，∴S＝S△CGN－S△CHM＝(2＋t)2－(1＋2t)2＝－t2＋t＋；情况二：当1＜t≤4时，A′D′交BC于点R，A′P′交BC于点Q，如解图④，∵直线AD解析式为y＝2x＋2，A′D′∥AD，A′(t－1，0)，∴直线A′D′解析式为y＝2x＋2－2t，同理可得点R的坐标为(t＋，－t＋)，∵直线AP的解析式为y＝x＋1，而A′(t－1，0)，A′P′∥AP得直线A′P′解析式为y＝x＋1－t，第2题解图④第2题解图④同理可得点Q坐标为(t＋1，－t＋2)，∴S