中科大附中2024年高一下学期第一次月考数学试题

中科大附中2023-2024学年第二学期高一年级月考A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形C.点P是OABC的外心D.点P是OABC的内心A.若θ确定，则||唯一确定B.若θ确定，则||唯一确定C.若||确定，则θ唯一确定D.若||确定，则θ唯一确定9.下面四个命题中的真命题为()10.如图所示设Ox,Oy是平面内相交成θθ≠角的两条数轴，,分别是与x,y轴正方向同向的单确的是()C.若ABC是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为(0,2)D.ABC面积有最大值2+13.如图,OM∥AB,点P在由射114.在OABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,角B为锐角，且8sinAsinC=sin²B,则四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求实数a的值；(2)若Z,Z₂,Z₃三点共线18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C,另一种是行，速度为50m/min.在甲出发4min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后，再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,索道AB长为2080m,经测量(2)问：乙从A出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5min,乙步行的速度应控制在什么范围内?（3）若ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围.中科大附中2023-2024学年第二学期高一年级月考数学试卷1.在复平面内，点(2,3)表示【答案】C【解析】 【答案】A【解析】A.B.C.2【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，舍去),故选D.【考点】余弦定理4.已知【解析】所以2cos21°sin39°+2sin21°cos39° π ,6A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰【答案】D【解析】22a222cc22222222，−c2−−c2−c当a222等腰三角形的是()A.点P是ABC的垂心B.点P是ABC的重心C.点P是ABC的外心D.点P是ABC的内心【答案】B【解析】【分析】由已知判断点P在直线AD上，结合垂心、重心、外心B选项：若点P是OABC的重心，则点P在BC边的中线上，无法推出AD⊥BC,B错误；C选项：若点P是OABC的外心，则点P在BC边的中垂线上，正确.正确.是最小值为1,则()【解析】【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可.9.下面四个命题中的真命题为()A.若复数z∈R，则z∈RB.复数z∈R的充要条件条件是z=z【答案】ABC【解析】10.如图所示设Ox,Oy是平面内相交成θθ≠角的两条数轴，,分别是与x,y轴正方向同向的单确的是())【答案】AD【解析】C；利用在上的投影向量公式判断选项D.32)(2e1e2 bb b3A.若b=3，则ABC有两解B.ABC周长有最大值6C.若ABC是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为(0,2)D.ABC面积有最大值2+【答案】ACD【解析】32322即222422，4第7页/共14页C选项，由正弦定理得故OABC的外接圆半径为2,如图所示，将DABC放入半径为2的圆中，其中BC=DE=2,故BE=CD=2√3,【点睛】思路点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】2【解析】故答案为：2.【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.【答案】【解析】四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步(1)求实数a的值；【答案】(1)a=-1【解析】22 a23Z2Z3（1）求向量a,b的夹角；【解析】2π322而〈,〉∈[0,π]，所以〈,〉=；2922【解析】【详解】（1）由正弦定理得a=2RsincosBbsinBb222先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,索道AB长为2080m,经测量(2)问：乙从A出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5min,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】(1)2520米【分析】(1)根据同角关系由余弦可求正弦值，进而可由和差角公式求解sinB,然后在OABC中，利用正弦定理即可求解AC.(2)根据余弦定理表达出两人之间的距离，然后根据二次函数的最值进行求解.(3)根据甲乙两人行走的时间与路程之间的关系即可求解.【小问1详解】所以AC的长为2520米.【小问2详解】假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(200+50t)m,乙距离A处130tm,即0≤t≤16,【小问3详解】BCACsinAsinB10001470125025v50436112502500m/mim）范围内.（3）若ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围.（2）BD=【解析】（2）根据余弦定理及已知得ac=，2然后利用正弦函数的性质求解范围即可.由sinC+cosC=a及正弦定理得sinC+cosC=sinA， π.3因为B∈(0,π)，所以B= π.313 π13 π2322222222由正弦定理得ac=sinAsinBsinB