高三数学二轮培优微专题36讲36.近五年全国卷中的创新题汇编

全国卷中的创新题与命题背景汇编1.二进制问题一．重要结论1.定义：设整数，则每个正整数可唯一表示为，其中满意，，则称为正整数的进制表示中的数码.特别地，当时就可得到正整数的二进制表示.2.二进制的运算性质.（1）若，则称为正整数的进制表示中的数码和，明显.证明：由于，则，明显可得.二进制的加法运算：“逢二进一”.待会通过例题予以分析.（3），其中正整数的二进制绽开式中最高次数小于.证明：由于，则，另一方面，令，则.例如：写出的二进制表示.解析：由于，故.注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以为底的幂级数绽开的系数.二．典例分析.例.（2024新高考2卷）设正整数，其中，记，则（）A.B.C.D.解析：由上述性质（1），A正确.由于，则，故，则B错误.同理可证，C正确.最终，由于，故，D正确.2.分支过程与灭亡概率一．概率母函数[1]1.设是非负整数值的离散型随机变量，其概率分布列为，则定义幂级数，称为随机变量的概率母函数.2.主要性质[1]：（1）随机变量的概率分布由它的母函数唯一确定.即：（2）.二．分支过程[1]设最初有个物种，每隔一单位时间，一个物种可以分裂成个物种，设其对应的概率为.假设这些物种分裂是相互独立且具有相同的分布，令表示在时刻存在的第个物种在下一时刻（第时刻）分裂成的物种个数，表示时刻中总物种的个数，则下图说明详细的分裂过程：三．分支过程的母函数[1]分支过程任一代的随意一个个体繁衍概率母函数均为：.灭亡概率：分支过程的灭亡概率是方程的最小正根.注：由四可知，关于该物种分裂的灭亡概率探讨等价于去探讨方程的最小正根.五．典例分析例（2024新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后接近灭亡的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）依据你的理解说明（2）问结论的实际含义．解析：（1）.（2）设，因为，故，若，则，故.，因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必定灭亡，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭亡的概率小于1.注1.此题实际就是分支过程的经典应用.注2.在最多分裂三个的状况下，，若使得，明显让越大，就越大，物种的灭亡概率就会小于1，持续生存下去，这可能就是生二胎，生三胎的一个最直观的说明！参考文献：[1]孙荣恒.随机过程及其应用[M].北京:清华高校出版社，2003.3.数阵问题一．重要结论性质1.明显，第一行一个数，其次行两个数，以此类推，第行有个数，这样的话，前行一共有个数.性质2.记表示第行的前个数之和，则.性质3.记表示前行全部数之和，则.性质4.三角数阵的前项和.设存在整数，使得：，进一步，记，则三角数阵的前项和.典例分析例.（2017年全国1卷12题）几位高校生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的爱好，他们推出了“解数学题获得软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，其中第一项是，接下来两项是，再下来三项是，以此类推，求满意如下条件的最小整数，且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是（）解析：由题意得，数列如下：，则该数列的前项和为：，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满意条件的最小整数，故选A.4．全概率公式与随机游走1.转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.2.马尔可夫链：若，即将来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.3.完备事务组：假如样本空间中一组事务组符合下列两个条件：（1）；（2）.则称是的一个完备事务组，也称是的一个分割.4.全概率公式：设是一个完备事务组，则有典例分析.例.（2024全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再支配下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了便利描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验起先时都赐予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．（i）证明：为等比数列；（ii）求，并依据的值说明这种试验方案的合理性．解析：（1）由题意可知全部可能的取值为：，，；；则的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以为首项，为公比的等比数列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率特别小，说明这种试验方案合理.5.卡特兰数卡塔兰数：例.已知，并且满意，，求有序数组的个数.解：依题，中共有个，个，先不考虑记为（*）式，则共有种，接下来考虑解除法，若不符合（*）式，则确定存在一个的自然数，使得：，现将全部变更符号，即有：，对应后则有个，个，反之，对任一个个，个组成的有序数组，其必定存在一个最小的自然数，满意.作对应，明显，与互为逆映射，从而不满意（*）式的个数，就是由个，个组成的有序数组的个数，从而.点评：卡塔兰数在组合数学中常出现在各种计数问题中，其前几项为，其满意或.（2016年全国三卷）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为，项为，且对随意，中0的个数不少于1的个数.若，则则不同的“规范01数列”共有A.18个 B.16个 C.14个 D.12个解析：明显，此题考查卡特兰数.6.高斯取整函数表示实数的整数部分，即是不大于实数的最大整数.，常称为的“小数部分”或“尾数部分”.2.高斯函数图像及小数部分图像.取整函数的图象.小数函数：的图象性质：=1\*GB3①定义域：；性质：=1\*GB3①定义域：；=2\*GB3②值域：；=2\*GB3②值域：；=3\*GB3③图象：台阶型线段.