2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第37讲数列的综合应用学生版

第37讲数列的综合应用思维导图题型归纳题型1数列在数学文化与实际问题中的应用【例1-1】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公细致算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为A．180里 B．170里 C．160里 D．150里【例1-2】《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，其次日，第五日，第八日所织之和为15尺，则其次十日所织尺数为A．18 B．19 C．20 D．21【跟踪训练1-1】公元1202年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前项和为，则A． B． C． D．【跟踪训练1-2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公细致算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从其次天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了A．64里 B．32里 C．16里 D．8里【跟踪训练1-3】我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有浦生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．浦生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍．问几日浦、莞长度相等？”依据上面的已知条件，若浦、莞长度相等时，问浦的长度是A．4尺 B．5尺 C．3尺 D．6尺【名师指导】1．解决数列与数学文化相交汇问题的关键2．解答数列应用题需过好“四关”题型2数列中的新定义问题【例2-1】对于数列，定义为的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【例2-2】定义：若，为非零常数），则称为“差等比数列”．已知在“差等比数列”中，，，，则的值是A． B． C． D．【跟踪训练2-1】斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波那契数列定义如下：，．随着的增大，越来越靠近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应当是A．144厘米 B．233厘米 C．250厘米 D．377厘米【跟踪训练2-2】有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，如有504项的数列，，，的“凯森和”为2024，则有505项的数列2，，，，的“凯森和”为A．2014 B．2016 C．2024 D．2024【名师指导】1．新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目供应的信息，联系所学的学问和方法，实现信息的迁移，达到灵敏解题的目的．2．新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐性读题，分析新定义的特点，弄清爽定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．题型3数列与函数、不等式的综合问题【例3-1】记数列前项和为，若1，，成等差数列，且数列的前项和对随意的都有恒成立，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【例3-2】已知数列的前项和为，，当时，满足，，成等比数列．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：．【跟踪训练3-1】若数列的通项公式为，则满足的最小的的值为A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【跟踪训练3-2】在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列的前项和为，满足：，．（1）求的最小值；（2）设数列的前项和，证明：．【跟踪训练3-3】已知数列满足．（1）求数列的通项；（2）设，若，求证：．【名师指导】1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象探讨数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．留意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要留意这一特殊性．2．数列