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突破5圆锥曲线的综合应用命题点1圆锥曲线的综合问题例1[多选/新高考卷Ⅰ]已知曲线C:mx2+ny2=1.(ACD)A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为nC.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mD.若m=0,n>0,则C是两条直线解析对于选项A,∵m>n>0,∴0<1m<1n,方程mx2+ny2=1可变形为x21m+y21n=1,∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆,正确;对于选项B,∵m=n>0,∴方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2=1n,该方程表示半径为1n的圆,错误;对于选项C,∵mn<0,∴该方程表示双曲线,令mx2+ny2=0⇒y=±-mnx,正确;对于选项D,∵m=0,n>0,∴方程mx2+ny2=1变形为ny例2已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m(1)证明:k<-12(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,并求该数列的公差.解析(1)解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y123=1,并由y1-y2x1-x2=由题设知x1+x22=1,y1+y22由题设得0<m<32,故k<-1解法二设直线l的方程为y=k(x-1)+m,由y=k(x-1)+m,x24+y23=1得(3+4k2)x2+8k(Δ=64k2(m-k)2-4(3+4k2)[4(m-k)2-12]=48(3k2+2mk-m2+3).设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k因为线段AB的中点为M(1,m)(m>0),所以x1+x即4k(k-m)3+4k由m>0得,-34k>0,所以k又点M(1,m)在椭圆内部,所以14+m23<1,即14+316k2<经检验,当m=-34k,k<-12时,满意故k<-12(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则由FP+FA+FB=0,得(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=34,从而P(1,-32),|FP|=于是|FA|=(x1-1)2+同理|FB|=2-x2所以|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3.故2|FP|=|FA|+|FB|,即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列设该数列的公差为d,则2|d|=||FB|-|FA||=12|x1-x2|=12(将m=34代入(1)中的①得k=-所以l的方程为y=-x+74,代入C的方程,并整理得7x2-14x+14故x1+x2=2,x1x2=128,代入②解得|d|=3所以该数列的公差为32128或-训练1(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1-c,0,F2c,0,点P是椭圆C上一点,满意|PF1+PF2|=|PF1-PF2|,若以点P为圆心、r为半径的圆与圆F1:(x+c)2+y2=4a2,圆F2:(A.12 B.34 C.104 解析将|PF1+PF2|=|PF1-PF2|两边同时平方,得PF如图,延长F1P交圆P于N,延长F2P交圆P于M,结合已知可得|P所以|PF1|-|PF2|=a,由|PF1|+|PF2|=2a,得|PF1|=3a2,|PF2|=在△PF1F2中,PF1⊥PF2可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以9(2)[2024西安一中调研]如图,圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形,D,E分别是AA1和BB1的中点,C是弧AB的中点,则经过C,D,E的平面与圆柱OO1侧面相交所得到的曲线的离心率是22.解析设正方形ABB1A1的边长为2,C1是弧B1A1的中

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