新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理教师用书新人教A版必修第二册

直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理学习任务1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．(直观想象)2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．(数学抽象)3．了解直线与平面所成的角．(数学抽象)木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．假如两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？(2)上述问题说明白直线与平面垂直的条件是什么？学问点1直线与平面垂直的定义定义一般地，假如直线l与平面α内的随意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直，记作l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直直线与平面垂直定义中的关键词“随意一条直线”是否可以换成“多数条直线”？[提示]不行以，因为一条直线与某平面内多数条平行直线垂直，该直线与这个平面不愿定垂直．学问点2直线与平面垂直的判定定理文字语言假如一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α图形语言学问点3直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，如图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO；规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°．取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． ()(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． ()(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． ()[答案](1)×(2)√(3)×2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．45°45°0°[∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]类型1直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)．②判定定理最常用：要着力找寻平面内哪两条相交直线(有时作帮助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α.②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.[跟进训练]1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上随意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，∴AN与PM、BM两条相交直线相互垂直．故AN⊥平面PBM.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.[证明]如图，连接AC，则AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.类型2直线与平面所成的角【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1．(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[解](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝22(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C∴∠A1BO＝30°，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.[母题探究]在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．[解]连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a.∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，∴EO1＝12B1O1＝BO1∴tan∠EB1O1＝EO求直线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，留意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．[跟进训练]3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．[解]如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD.因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.因为AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥侧面ABB′A′，所以BD是斜线BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝32在Rt△BB′C′中，BC′＝B'故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值为sin∠C′BD＝C'1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]2．(多选)下列说法，正确的是()A．若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任始终线B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥αAC[由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C明显是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO4．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是点H，给出以下说法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两相互垂直，则点H是△ABC的垂心；③若点P到△ABC的三边距离相等，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④若PA＝PB＝PC，则点H是△ABC的外心．其中正确的说法是________(填序号)．①②③④[①正确，因为点P在平面ABC上的射影是H，则PH⊥平面ABC，故PH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；②正确，若PA，PB，PC两两相互垂直，简洁推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；③正确，易证Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F为△ABC各边的垂足)，所以HD＝HE＝HF，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④正确，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，所以HA＝HB＝HC，则H是△ABC的外心．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？证明线面垂直的主要方法有哪些？[提示]假如一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；证明线面垂直的主要方法：(1)线面垂直定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)借助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？如何求直线与平面所成的角？[提示]须要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．求直线与平面所成角的步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．课时分层作业(三十三)直线与平面垂直的定义及判定定理一、选择题1．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条 B．1条C．多数条 D．不确定C[如图，a不与α垂直，A是a上一点，C是a与α的交点，AB⊥α，又c⊂α，故AB⊥c，若c⊥b，AB∩b＝B，则c⊥平面ABC，且a⊂平面ABC，则有c⊥a，故这样的直线有多数条．]2．若直线l与平面α所成的角为π3，直线a在平面α内且与直线l异面，则直线l与直线aA．0，πC．π2，D[如图所示，设直线l与平面α的交点为A，过点A在α内作直线b∥a，则直线l与直线b所成的角即为直线l与直线α所成的角．而这两条直线所成的角的取值范围是0，π2，所以所成的角的最大值是π2．又由最小角定理知直线l与直线b所成的角的最小角即为直线l与平面α所成的角，所以最小值为3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面 B．平行C．垂直 D．不确定C[∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.]4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC与平面ABCD所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°C[如图，连接AC，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角，∵AC＝2，∴tan∠PCA＝PAAC∴∠PCA＝60°.]5．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()ABCDBD[对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选BD.]二、填空题6．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两垂直，已知PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P-ABC的体积是________．4[因为BP⊥PC，BP⊥PA，且PC∩PA＝P，所以BP⊥平面PAC，所以V＝13Sh＝13S△PAC×7．已知圆锥的底面半径为1cm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为________．π3[由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π·1·l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，则cosθ＝rl＝128．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．平面AB1C，平面A1C1D[因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，AC∩B1C＝C，所以OM⊥平面AB1C；同理，OM⊥平面A1C1D.]三、解答题9．如图，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E是上底面圆周上的一点，已知AB＝BC＝5，AE＝3．(1)求证：DE⊥平面ABE；(2)求直线BE与平面ADE所成角的正切值．[解](1)证明：四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，AB⊥平面ADE，因为ED⊂平面ADE，所以AB⊥ED，又E在底面圆上，AD为直径，所以AE⊥DE，又AE∩AB＝A，所以DE⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面ADE，所以∠AEB为直线BE与平面ADE所成角，在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝3，所以tan∠AEB＝ABAE10．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FHB[∵EG⊥平面α，PQ⊂平面α，∴EG⊥PQ.又EG⊥平面α，FH⊥平面α，∴EG∥FH，则EG与FH共面，为使PQ⊥GH，只需PQ⊥平面EGHF.若EF⊥平面β，由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又∵EG与EF相交于点E，从而PQ⊥平面EGHF，则PQ⊥GH.]11．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3．则下列关系确定成立的是()A．cosθ1cosθ2＝cosθ3B．cosθ1cosθ3＝cosθ2C．sinθ1sinθ2＝sinθ3D．sinθ1sinθ3＝sinθ2B[因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以cosθ1＝ABPB，cosθ2＝BCPB，cosθ3＝则有cosθ1cosθ3＝cosθ2．]12．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列推断正确的是()A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADCABC[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D不正确．]13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满意条件________时，有AB1⊥BC1．(填上你认为正确的一种条件即可)A1C1⊥B1C1(答案不唯一)[如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C