人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题15折叠问题中的勾股定理(原卷版+解析)

专题15折叠问题中的勾股定理【例题讲解】（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．解：（1）设AB＝xcm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，∴AE＝AC−EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2，解得：y＝3，∴DE＝3cm．【综合解答】1．如图，在中，，，，在边上有一点，将沿直线折叠，点恰好在延长线上的点处，求的长．2．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．（1）若a＝4，求CE的长；（2）求的值．4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长．5．在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标．6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．7．（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．8．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC边上的高线长．(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．9．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．（3）△MNK的面积能否小于0．5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以A为顶点的的两边始终与轴交于、两点（在左面），且．（1）如图，连接，当时，试说明：．（2）过点作轴，垂足为，当时，将沿所在直线翻折，翻折后边交轴于点，求点的坐标.11．综合与探究在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究：（1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处①若，，则的度数为．②，，之间的数量关系为．（2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；（3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．12．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．专题15折叠问题中的勾股定理【例题讲解】（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．解：（1）设AB＝xcm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，∴AE＝AC−EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2，解得：y＝3，∴DE＝3cm．【综合解答】1．如图，在中，，，，在边上有一点，将沿直线折叠，点恰好在延长线上的点处，求的长．答案：CM=【解析】分析：在直角三角形CDM中，根据勾股定理可得方程，可求出CM的长．【详解】解：连接DM∵折叠，∴BM=DM，∵BC=3，AC=4，∴AB=AD==5，∴CD=AD-AC=1，在Rt△CDM中，DM2=CD2+CM2∴（3-CM）2=1+CM2∴CM=【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的运用，关键是灵活运用折叠的性质解决问题．2．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．答案：(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3，理由见详解.【解析】分析：（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可.【详解】解：(1)点B的坐标是（3,4）∵AB=BD=3，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45，则∠DAE=∠BAD=45，则E在y轴上．AE=AB=BD=3，∴四边形ABDE是正方形，OE=1，则点E的坐标为(0,1)；故答案为(3,4),(0,1)；(2)点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为长方形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝＝＝2，则有OE＝OC－CE＝m－2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.故答案为(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3.【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理.3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．（1）若a＝4，求CE的长；（2）求的值．答案：（1）CE＝1.5；（2）【解析】分析：（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，计算即可；（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程，解方程求出x、y的关系，计算即可．【详解】解：（1）设，，AD是BC边上的中线，∴CD＝2，由翻转变换的性质可知，，由勾股定理得，，解得，，则CE＝1.5.（2）设，∵，AD是BC边上的中线，，由翻转变换的性质可知，，由勾股定理得，，解得，，则，∴【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。进行求解．4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长．答案：【解析】分析：过点E做于点H，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：过点E做于点H，过点E作∵四边形是长方形四边形是矩形设，由折叠知，，在中，解得，，，又，，，又，，在中，【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理、此题难度不大，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．5．在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标．答案：（-3，-10）【解析】分析：由折叠的性质可求得CE，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标．【详解】∵矩形中，，，∴，∵将沿直线折叠，∴，在Rt△COE中∴设AD=m，则DE=BD=8-m，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即，解得m=3，∴D（-3，-10）．【点睛】本题考查矩形与折叠问题，设未知数利用勾股定理列方程是解题的关键，还考查了直角坐标系中各象限中点的特点．6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．答案：（1）见解析；（2）45°；（3）BG＝2．【解析】分析：（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；（2）由（1）可得∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得∠EAF＝∠DAF，继而可得∠EAG＝∠BAD＝45°；（3）首先设BG＝x，则可得CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，然后利用勾股定理GE2＝CG2＋CE2，得方程：（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解此方程即可求得答案．【详解】（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF，∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，∵GE2＝CG2＋CE2∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，∴BG＝2．【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．8．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC边上的高线长．(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．答案：(1)8(2)①；②或或【解析】分析：（1）如图，过作于再求解再利用勾股定理求解高线长即可；（2）①如图，连接利用等腰三角形的三线合一证明求解可得证明从而可得答案；②分三种情况讨论：当时，再利用等面积法与勾股定理结合可得答案；当于时，利用角平分线的性质及面积比可得答案；当时，如图，则证明再利用勾股定理可得答案.(1)解：如图，过作于AB＝AC＝10，BC＝12，所以BC边上的高线长为(2)解：①如图，连接为的中点，由（1）得：则②当时，由对折可得：过作于连接过作于过作于由①得：则设则由而解得：当于时，则过作于由对折可得当时，如图，则由对折可得而则而结合对折可得：过作于同理可得：综上：当DF与△ABC其中一边垂直时，BE的长为或或.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，清晰的分类讨论，等面积法是应用等都是解本题的关键.9．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．（3）△MNK的面积能否小于0．5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；答案：40°；1．3；不能．【解析】【详解】试题分析：（1）根据矩形得出AM∥DN，则∠KNM=∠1，根据∠KMN=∠1得出∠KNM=∠KMN，根据∠1=70°得到∠KNM=∠KMN=70°，从而求出∠MKN的度数；（2）根据题意画出图形，设MK=AK=CK=x，则DK=5－x，根据勾股定理求出x的值，从而得出△MNK的大小；（3）过M点作AE⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1，由（1）得∠KNM=∠KMN，根据MK=NK，MK≥ME，ME=AD=1，得出MK≥1，从而得到△MNK的面积最小值．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1，∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN，∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°，∴∠MKN=40°；折痕即为AC，设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，根据勾股定理得：解得：x=2．6MK=AK=CK=2．6，S△MNK=S△ACK==1．3，因此，△MNK的面积的为1．3（3）不能，理由如下：过M点作AE⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1，由（1）知，∠KNM=∠KMN，∴MK=NK，又∵MK≥ME，ME=AD=1，∴MK≥1，又∵S△MNK=NK·ME≥，即△MNK面积的最小值为，不可能小于；考点：折叠图形的性质．10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以A为顶点的的两边始终与轴交于、两点（在左面），且．（1）如图，连接，当时，试说明：．（2）过点作轴，垂足为，当时，将沿所在直线翻折，翻折后边交轴于点，求点的坐标.答案：(1)见解析；(2)M点坐标为（0,3)或M点坐标为(0，—6).【解析】【详解】试题分析：(1)根据题目中角的度数，求出∠BAO=∠ABC=67.5°，利用等腰三角形的性质即可得出结论；(2)根据题意，可知要分两种情况，即当点C在点D右侧时或当点C在点D左侧时，利用勾股定理即可得出M点坐标.试题解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°.过点A作AE⊥OB于E，则△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°.∵AB=AC，AE⊥OB，∴∠BAE=∠BAC=22.5°.∴∠BAO=67.5°=∠ABC∴OA=OB，（2）设OM=x.当点C在点D右侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，由∠BAM=∠DAF=90°可知：∠BAD=∠MAF；∵AD=AF=6，∠BDA=∠MFA=90°，∴△BAD≌△MAF.∴BD=FM=6—x.∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，∴△BAC≌△MAC.

∴BC=CM=8—x.在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，解得：x=3，∴M点坐标为（0,3）.

当点C在点D左侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，同理，△BAD≌△MAF，∴BD=FM=6+x.同理，△BAC≌△MAC，∴BC=CM=4+x.

在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，解得：x=6，∴M点坐标为（0，—6）考点：等腰三角形的性质；翻折的性质.11．综合与探究在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究：（1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处①若，，则的度数为．②，，之间的数量关系为．（2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；（3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．答案：（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2）；（3）3或6【解析】分析：（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数；②利用三角形外角的性质推理计算；（2）设BD=x，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解．【详解】解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°∴∠DFC=∠1+∠C′=77°∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°故答案为：114°②由折叠性质可得∠C=∠C′∴∠DFC=∠1+∠C′∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C故答案为：∠2=∠1+2∠C（2）∵，，设BD=x，则CD=AD=8-x∴在Rt△ABD中，，解得：∴BD的长为（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC==10，∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．当△DEC为直角三角形，①如图，当∠DEC=90°时，∵∠AED+∠DEC=180°，∴点E在线段AC上，设BD=DE=x，则CD=8-x，∴CE=AC-AE=4，∴DE2+CE2=CD2，即x2+42=（8-x）2，解得：x=3，即BD=3；②如图，当∠EDC=90°，

∴∠BDE=90°，∵∠BDA=∠ADE，∴∠BDA=∠ADE=45°，∴∠BAD=45°，∴AB=BD=6．综上所述：当△D