高中数学选择性必修三课件：§8 2 第3课时 非线性经验回归方程(人教A版)

第3课时非线性经验回归方程第八章§8.2一元线性回归模型及其应用1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.学习目标随堂演练课时对点练内容索引一、指数函数模型y＝αeβx(α＞0)二、幂函数模型y＝αxβ(α＞0)一、指数函数模型y＝αeβx(α＞0)例1

某景区的各景点从2010年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2010年至2019年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据：第x年12345旅游人数(万人)300283321345372第x年678910旅游人数(万人)435486527622800该景点为了预测2022年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的经验回归方程

＝50.8x＋169.7；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝aebx的附近.解对y＝aebx取对数，得lny＝bx＋lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x的经验回归方程.a＝ec≈e5.46≈235.(2)根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2022年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位).③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2.解由表格中的数据，知30407>14607，2022年时，x＝13，预测旅游人数为反思感悟指数函数型y＝ebx＋a回归问题的处理方法(1)函数y＝ebx＋a的图象，如图所示.(2)处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练1

已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y(单位：个)随温度x(单位：℃)变化的规律，收集数据如表：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：跟踪训练1

已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y(单位：个)随温度x(单位：℃)变化的规律，收集数据如表：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：(1)请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y＝bx＋a与y＝

哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的经验回归方程类型(只做出判断，不必说明理由)；解绘出的散点图如图所示，根据散点图判断y＝

更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型.(2)当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预测值为多少？解∵y＝

，设k＝lny，则k＝c2x＋lnc1，先建立k关于x的经验回归方程.∴c1＝e0.2，y＝

＝e0.2x＋0.2，当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预测值为e5.2≈181.二、幂函数模型y＝αxβ(α＞0)问题2某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？解由(2)知，当x＝49时，解根据(2)的结果知，年利润z的预报值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预测值最大.反思感悟幂函数型问题的处理方法幂函数型y＝axn(n为常数，a，x，y均取正值)两边取常用对数lgy＝lg(axn)，即lgy＝nlgx＋lga，然后按线性回归模型求出n，lga.跟踪训练2某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如表数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图.(1)用反比例函数模型求y关于x的非线性经验回归方程；先建立y关于u的经验回归方程，(2)用样本相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本.因为|r1|＜|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好，所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元.1.知识清单：(1)指数函数模型.(2)幂函数模型.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：非线性经验回归方程转化为经验回归方程时的转化方法.课堂小结随堂演练1234√1234解析由非线性经验回归方程的求解过程可知①正确；易知②正确；根据y与z正相关，y与x负相关，可知x与z负相关，③错误.A.e5B.C.e7D.若x＝5，则预测y的值可能为1234√x1234yeE3e4e61234列表如下：x1234z13461234∴3.5＝b×2.5－0.5，解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，12343.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将y转化为t的经验回归方程，需做变换t等于√1234课时对点练1.数据显示，某IT公司2021年上半年五个月的收入情况如下表所示：基础巩固1234月份23456月收入(万元)1.42.565.311121.3(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；解画出散点图.1234由图可知点(2,1.4)，(3,2.56)，(4,5.31)，(5,11)，(6,21.3)(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)12341234∴lg2x>lg300，即xlg2>2＋lg3，故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.28＝256<300；29＝512>300，故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.2.抖音短视频已成为很多人生活娱乐中不可或缺的一部分，很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上，某人将发布短视频后1－8天的点击量的数据进行了初步处理，得到下面的残差图及一些统计量的值.12341234(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？解由残差图可知，模型①效果更好.1234(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程；(在计算回归系数时精确到0.01)1234(3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少？3.中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20℃).1234泡制时间x/min01234水温y/℃8579747165(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画.①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的经验回归方程；解由已知得出x与z的关系，如下表：1234泡制时间x/min01234z4.24.14.03.93.8＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，1234②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c.1234解由y＝kcx＋20(x≥0)，得y－20＝kcx(x≥0)，两边取对数得，ln(y－20)＝lnk＋xlnc，利用①的结论得，lnc＝－0.1，lnk＝4.2，∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7.(2)你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？1234解由(1)得，y＝66.7×0.9x＋20(x≥0)，令y＝60，得x＝log0.90.6≈4.8.∴该品种绿茶用85℃的水泡制4.8min后饮用，口感最佳.12344.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：1234月份123456广告投入量x/万元24681012收益y/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：1234(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；1234(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；1234解应该选择模型①，因为模型①的带状经验区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预测精度高.1234(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；1234解剔除异常数据，即3月份的数据后，得12341234②广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？1234解把x＝18代入①中所求经验回归方程，备用工具&资料1234②广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？1234解剔除异常数据，即3月份的数据后，得解对y＝aebx取对数，得lny＝bx＋lna，