高考数学大题精做专题04求数列的通项公式(第二篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题04求数列的通项公式类型对应典例已知求数列的通项公式（n=1的验证）典例1已知与的递推式求通项公式（构造法）典例2已知与的递推式求通项公式（构造法）典例3已知递推式求通项公式典例4已知分式结构求通项公式典例5已知与的递推式求通项公式（因式分解）典例6已知数列中三项之间递推关系求通项公式典例7【典例1】【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东）】设数列的前n项和为.已知.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.思路引导：（Ⅰ）利用数列前项和与通项的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.【典例2】【安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查】已知数列满足：，．设，证明：数列是等比数列；设数列的前n项和为，求．【思路引导】（1）证明为常数即可;（2）利用条件（1）可求得，利用分组求和方法即可求解。【典例3】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二)数学】已知数列的前项和，数列满足.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.【思路引导】(Ⅰ)利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.【典例4】【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末】已知数列满足，，，2，.求数列的通项；设，求．【思路引导】利用数列的递推关系式推出，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式；化简，然后求解数列的和即可．【典例5】【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】已知数列满足，且.(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.(2)若，求数列的前项和.【思路引导】(1)根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，并通过数列的通项公式得到数列的通项公式；(2)因为，根据错位相减法即可求出数列的前项和．【典例6】【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考】已知正项数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列是等差数列,且,,求数列的前项和.【思路引导】(1)将化简为,结合已知即可求得答案;(2)令,则,,所以,可得,根据分组求和,即可求得答案.【典例7】【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】已知等比数列中，，，且，.（1）求的通项公式；（2）设，若前的前项和，求的最大值.【思路引导】(1)由是等比数列，令可列出方程求出，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出的通项公式，由错位相减法可求得，代入已知不等式即可得解.【针对训练】1.【2020届湖北省第五届高考测评活动】设正数数列的前n项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，若是递增数列，求实数k的取值范围.2.【2020届陕西省榆林市高三模拟第一次测试】在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.3.【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】已知数列满足，且.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.4.【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查】已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．5.【2020年1月广东省大联考】在数列中，，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.6.【黑龙江省哈尔滨市三中2019-2020学年高三上学期期末】已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．（1）求数列、的通项公式；（2）求使得成立的最小值；（3）若，求证：数列为递减数列．7.【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末考试】已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：（1）；（2）数列的前项和.8.已知等差数列满足，，等比数列公比，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）若数列，满足，且数列的前项和为，求证：数列的前项和．9.【2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测】已知数列的各项均为正数,且,正项等比数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式;（2）若为数列的前项和,求10.【2020届安徽省安庆市上学期高三期末】已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．11.【广东省肇庆市2019-2020学年高中第一次统考】已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N*，且n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．12.【2020届河南省许昌市高三年级第一次质量检测】已知数列的前n项和为，，，且.（1）求的通项公式；（2）令，求数列前n项和.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题04求数列的通项公式类型对应典例已知求数列的通项公式（n=1的验证）典例1已知与的递推式求通项公式（构造法）典例2已知与的递推式求通项公式（构造法）典例3已知递推式求通项公式典例4已知分式结构求通项公式典例5已知与的递推式求通项公式（因式分解）典例6已知数列中三项之间递推关系求通项公式典例7【典例1】【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东）】设数列的前n项和为.已知.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.思路引导：（Ⅰ）利用数列前项和与通项的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.解：（Ⅰ）因为所以，，故当时，此时，即所以，（Ⅱ）因为，所以当时，所以当时，所以两式相减，得所以经检验，时也适合，综上可得：【典例2】【安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查】已知数列满足：，．设，证明：数列是等比数列；设数列的前n项和为，求．【思路引导】（1）证明为常数即可;（2）利用条件（1）可求得，利用分组求和方法即可求解。解：数列满足：，．由，那么，；即公比，，数列是首项为2，公比为2的等比数列；由可得，那么数列的通项公式为：数列的前n项和为．【典例3】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二)数学】已知数列的前项和，数列满足.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.【思路引导】(Ⅰ)利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.解：(Ⅰ)，当时，，，化为，

，即当时,，

令,可得,即.

又,数列是首项和公差均为1的等差数列.

于是，.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,可得，，因为是自然数，所以的最大值为4.【典例4】【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末】已知数列满足，，，2，.求数列的通项；设，求．【思路引导】利用数列的递推关系式推出，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式；化简，然后求解数列的和即可．解：，，2，，，，3，得，，当n为奇数，，当n为偶数，所以；，．【典例5】【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】已知数列满足，且.(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.(2)若，求数列的前项和.【思路引导】(1)根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，并通过数列的通项公式得到数列的通项公式；(2)因为，根据错位相减法即可求出数列的前项和．解：(1)因为，两边都加上，得所以，即，所以数列是以为公差，首项为的等差数列．所以，即．(2)因为，所以数列的前项和，①则，②由，得，所以．【典例6】【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考】已知正项数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列是等差数列,且,,求数列的前项和.【思路引导】(1)将化简为,结合已知即可求得答案;(2)令,则,,所以,可得,根据分组求和,即可求得答案.解：(1),可得:,.(2)令,则,,【典例7】【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】已知等比数列中，，，且，.（1）求的通项公式；（2）设，若前的前项和，求的最大值.【思路引导】(1)由是等比数列，令可列出方程求出，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出的通项公式，由错位相减法可求得，代入已知不等式即可得解.解：（1）由是等比数列，令可得或（舍去），故.（2）由题，所以又两式相减得易知单调递增，且，故的最大值为.【针对训练】1.【2020届湖北省第五届高考测评活动】设正数数列的前n项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，若是递增数列，求实数k的取值范围.【思路引导】（1）利用递推公式可得,再与原式作差即可得数列的公差,结合首项,可求得数列的通项公式.检验时也成立即可.（2）根据数列的单调递增,可知,将数列的通项公式代入,解不等式即可求得实数k的取值范围.解：（1）由已知,利用递推公式可得两式相减,时,∴,,因此时,成立∴数列是等差数列,公差为1,∴（2）将代入数列,可得∵为递增数列∴对任意正整数n恒成立即所以∴对任意正整数n恒成立∴∴实数的取值范围是.2.【2020届陕西省榆林市高三模拟第一次测试】在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【思路引导】（1）由题意得出，利用等比数列的定义可证明出数列是以为首项，以为公比的等比数列，由此可求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法能求出.解：（1）数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，，.，，，数列是以为首项，以为公比的等比数列.数列的通项公式为；（2）由于，，①，②①②得.3.【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】已知数列满足，且.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【思路引导】(1)由，利用定义能证明是以为公差的等差数列，从而求出；(2)由，利用错位相减法即可求得数列的前项和.解：（1）因为，所以，两边都加上1，得，所以，即，所以数列是以为公差的等差数列，且首项是，所以，即.（2）因为，所以数列的前项和，①则，②由①－②，得，所以.4.【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查】已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【思路引导】（1）利用临差法得到，从而证明数列为等差数列，进而求得通项公式；（2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.解：（1）由两式相减，得：，又，，当时，且，故，得（舍去），，数列为等差数列，公差为，所以．（2）由（1）及题意可得，所以]．5.【2020年1月广东省大联考】在数列中，，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【思路引导】（1）根据递推公式可得即是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，采用分组求和计算其前项和.解：（1）∵，∴，∴.又，∴是首项为2，公比为2的等比数列，∴从而.（2）∵，∴，∴，∴，.6.【黑龙江省哈尔滨市三中2019-2020学年高三上学期期末】已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．（1）求数列、的通项公式；（2）求使得成立的最小值；（3）若，求证：数列为递减数列．【思路引导】（1）由条件可得是等差数列，再由已知的前项和与通项关系，即可求出结论；（2）求出，去绝对值，解关于的不等式，即可求解.解：（1）点在双曲线上，是以为首项，公差为的等差数列，；点在直线上，，当时，，当时，，，是以为首项，公比为的等比数列，.（2），解得，成立的最小值为7.（3），，，所以数列为递减数列.7.【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末考试】已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：（1）；（2）数列的前项和.【思路引导】（1）由成等差数列，得.从而可求得公比，再由求得，从而可得通项公式，然后求出后，利用求出，从而得公差后得．（2）用错位相减法求数列的和．解：（1）设的公比为q.因为成等差数列，所以，即.因为，所以.因为，所以.因此.由题意，.所以，，从而.所以的公差.所以.（2）令，则.因此.又两式相减得.所以.8.已知等差数列满足，，等比数列公比，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）若数列，满足，且数列的前项和为，求证：数列的前项和．【思路引导】（1）设等差数列的公差为，由等差中项的性质可得出，可计算出和的值，利用等差数列的通项公式可求出，根据题意得出与的方程组，结合条件，求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出，可得出，然后利用裂项法可求出，即可证明出.解：（1），由等差中项的性质得，，同理可得，设等差数列的公差为，，，.由题意得，两个等式相除得，整理得.，解得，，因此，；（2），，，9.【2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测】已知数列的各项均为正数,且,正项等比数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式;（2）若为数列的前项和,求【思路引导】（1）对条件进行因式分解可得，由于是正项等比数列，解出基本量可以得出；（2）对数列的通项进行研究可得，可采用裂项求和法和公式法进行组合求解：由，得，因为数列的各项均为正数，，且是正项等比数列，即为，解得，。，故。10.【2020届安徽省安庆市上学期高三期末】已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．【思路引导】（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.（1）解：，①当时，．当时，，②由①-②，得，因为符合上式，所以．（2）证明：因为，所以．11.【广东省肇庆市2019-2020学年高中第一次统考】已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N*，且n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．【思路引导】（1）