数学不等式基本概念知识点梳理

数学不等式基本概念知识点梳理数学不等式基本概念知识点梳理一、不等式的定义与性质1.不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示两个数之间的大小关系，叫做不等式。2.不等式的性质：a)不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；b)不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；c)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。二、一元一次不等式1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，系数不为0的不等式叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：a)去分母；b)去括号；d)合并同类项；e)化系数为1。三、不等式的组1.不等式组的定义：由若干个不等式组成的集合叫做不等式组。2.不等式组的解法：a)分别求出每个不等式的解集；b)确定不等式组的解集。四、不等式的应用1.不等式的应用题：实际问题中涉及到大小关系的问题，可以通过建立不等式模型来解决。2.不等式的应用举例：合理安排时间、分配资源等问题。五、不等式的拓展1.不等式的分类：一元不等式、二元不等式、多元不等式等；2.不等式的与其他数学概念的关系：如不等式与函数、不等式与方程等。六、不等式的解集1.不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围。2.不等式解集的表示方法：数轴、区间表示等。一、不等式的定义与性质1.不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示两个数之间的大小关系，叫做不等式。2.不等式的性质：a)不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；b)不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；c)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。二、一元一次不等式1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，系数不为0的不等式叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：a)去分母；b)去括号；d)合并同类项；e)化系数为1。三、不等式的组1.不等式组的定义：由若干个不等式组成的集合叫做不等式组。2.不等式组的解法：a)分别求出每个不等式的解集；b)确定不等式组的解集。四、不等式的应用1.不等式的应用题：实际问题中涉及到大小关系的问题，可以通过建立不等式模型来解决。2.不等式的应用举例：合理安排时间、分配资源等问题。五、不等式的拓展1.不等式的分类：一元不等式、二元不等式、多元不等式等；2.不等式的与其他数学概念的关系：如不等式与函数、不等式与方程等。六、不等式的解集1.不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围。2.不等式解集的表示方法：数轴、区间表示等。习题及方法：一、不等式的性质1.习题：判断下列不等式是否成立，并说明理由。习题1：2>3习题2：5×(-1)>3习题3：-4≤2-6答案与解题思路：习题1：不成立，因为2不大于3。习题2：不成立，因为-5不大于3。习题3：成立，因为-4等于2-6。二、一元一次不等式2.习题：解下列一元一次不等式。习题4：3x-7>2习题5：2(x-3)<5x+1习题6：5-4x≥2x-3答案与解题思路：习题4：x>3.5习题5：x>0.5习题6：x≤2三、不等式的组3.习题：解下列不等式组。习题7：2x-5>3x+1且x≤4习题8：3(x-2)<2x+7或x≥1习题9：4-2x≥x-3且2x-1<5答案与解题思路：习题7：无解习题8：x>3习题9：x≤1四、不等式的应用4.习题：某商店举行打折活动，原价为100元，打折后价格为80元。求至少需要购买多少元的产品才能享受打折优惠。习题10：设购买x元的产品，求x的取值范围。答案与解题思路：习题10：x≥80五、不等式的拓展5.习题：已知一元一次不等式2x+3>7的解集为x>2，求不等式5x-2≥3的解集。习题11：求解集。答案与解题思路：习题11：x≥1六、不等式的解集6.习题：某班级举行数学竞赛，已知成绩大于等于90分的学生可以参加决赛。如果班级里有50名学生，其中30名学生的成绩大于90分，20名学生的成绩小于90分，求至少有几名学生可以参加决赛。习题12：求参加决赛的学生人数的最小值。答案与解题思路：习题12：至少有30名学生可以参加决赛。以上是符合所写知识点的习题及答案和解题思路。其他相关知识及习题：一、不等式的扩展1.不等式的分类a)单项式不等式：如3x>7b)多项式不等式：如2x^2-5x+3>0c)分式不等式：如(x-2)/(x+1)<02.习题：判断下列不等式属于哪种类型，并说明理由。习题13：4x-9<2x+3习题14：(x+1)(x-2)>0习题15：(x-1)/(x+2)>0答案与解题思路：习题13：多项式不等式。解得x<6。习题14：多项式不等式。解得x<-1或x>2。习题15：分式不等式。解得x<-2或x>1。二、不等式的应用1.不等式在实际生活中的应用a)时间和速度的关系：如d>vtb)成本和收益的关系：如c<p2.习题：根据实际情景，列出相应的不等式。习题16：小明骑自行车去学校，速度为每小时10公里，路程为5公里。求小明到学校所需时间的不等式。习题17：商店以每件10元的价格进货，以每件15元的价格出售。求商店盈利的不等式。答案与解题思路：习题16：t>0.5（小时）习题17：p>0（元）三、不等式的解集1.不等式解集的表示方法a)数轴表示：如x>2在数轴上表示为从2开始的向右箭头b)区间表示：如[a,b]表示a≤x≤b2.习题：用数轴或区间表示下列不等式的解集。习题18：x<3习题19：x≥-1答案与解题思路：习题18：数轴上从负无穷到3的向左箭头习题19：数轴上从-1开始到正无穷的实心点四、不等式的进一步拓展1.不等式与绝对值a)|x|>2的解集为x>2或x<-2b)|x-1|≤2的解集为-1≤x≤32.习题：求解下列绝对值不等式。习题20：|2x-5|<3习题21：|3-x|≥1答案与解题思路：习题20