微积分学p.p.t标准00第0讲微积分的历史公开课获奖课件

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）绪论——微积分历史简介脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民第1页聊聊天微积分产生——17、18、19世纪微积分.很久很久此前,在很远很远一块古老土地上,有一群智者……开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、牛顿、莱布尼茨、…….第2页任何研究工作开端，几乎都是极不完美尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目标地路都有许多未知真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确路径示以他人。……能够这么说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败。——狄德罗十七世纪微积分第3页任何重要思想来源都可以追溯到几十年或几百年此前，函数概念也是如此。直到17世纪，人们对函数才有了明确理解。函数概念提出，与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函数定义为这样一种量：它是其他量通过一系列代数运算而得到，或者通过任何其他可以想象到运算而得到。第4页由于这个定义太窄，因此很快就被遗忘了，并被陆续出现其他有关函数定义替代。但虽然是最简朴函数也会包括到实数。而无理数在17世纪时并不被人们充足理解，于是，人们在处理数值时就跳过逻辑，对函数也是如此。在1650年此前，无理数就一直被人们随心所欲地使用着。第5页紧接着函数概念采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，所有数学中一种最伟大发明。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过那些问题解答，不过，微积分创立，首先还是为了处理十七世纪重要科学问题。第6页哪些重要科学问题呢?有四种重要类型问题.Archimedes第7页第一类问题已知物体移动距离表为时间函数公式，求物体在任意时刻速度和加速度；反过来，已知物体加速度表为时间函数公式，求速度和距离。第8页困难在于：十七世纪所包括速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动时间清除移动距离，由于在给定瞬刻，移动距离和所用时间都是0，而0/0是无意义。但根据物理学，每个运动物体在它运动每一时刻必有速度，是不容怀疑。第一类问题第9页求曲线切线。这个问题重要性来源于好几种方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜通道问题、运动物体在它轨迹上任意一点处运动方向问题等。第二类问题第10页第二类问题困难在于：曲线“切线”定义自身就是一种没有处理问题。古希腊人把圆锥曲线切线定义为“与曲线只接触于一点并且位于曲线一边直线”。这个定义对于十七世纪所用较复杂曲线已经不适应了。第11页第三类问题求函数最大最小值问题。十七世纪早期，伽利略断定，在真空中以角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也包括最大最小值问题。第12页困难在于：原有初等计算措施已不适于处理研究中出现问题。但新措施尚无眉目。第三类问题第13页第四类问题求曲线长度、曲线所围成面积、曲面所围成体积、物体重心、一种体积相称大物体作用于另一种物体上引力。第14页困难在于：古希腊人用穷竭法求出了某些面积和体积，尽管他们只是对于比较简朴面积和体积应用了这个措施，但也必须添加许多技巧，由于这个措施缺乏一般性，并且常常得不到数值解答。穷竭法先是被逐渐修改，后来由微积分创立而被主线修改了。第四类问题第15页欧多克斯穷竭法是一种有限且相称复杂几何措施。它思想虽然古老，但很重要，阿基米德用得相称纯熟，我们就用他一种例子来阐明一下这种措施。看一下阿基米德在证实两个圆面积比等于其直径平方比所作工作。Archimedes第16页阿基米德证明重要精神是证明圆可以被圆内接多边形穷竭。在圆里面内接一种正方形，其面积不小于圆面积1/2（由于它不小于圆外切正方形面积1/2，而外切正方形面积不小于圆面积。）第17页设AB是内接正方形一边，平分弧AB于点C处并连接AC与CB。作C处切线，并作AD及BE垂直于切线。（二分之一三角形ABC面积不小于弓形ACB面积二分之一。对正方形每边都这样做，得到一种正八边形。从而，ABED是一种矩形，其面积不小于弓形ACB面积。因此，等于矩形面积第18页8边形所得到八边形不仅包括正方形且包括圆与正方形面积之差二分之一以上。第19页在八边形每边上也可按照在AB上作三角形ABC那样地作一种三角形，从而得到一种正十六边形。16边形第20页32边形64边形

16边形这个正十六边形不仅包括八边形且包括圆与八边形面积之差二分之一以上。这种做法你想做多少次就可以做多少次。可以必然，圆与某一边数足够多正多边形面积之差可以弄得比任何预先给定量还要小。第21页希腊数学重大成就之一，是将许多数学命题和定理按逻辑上连贯方式归为为数不多非常简朴公设或公理。即熟知几何公理和算术法则，它们支配着如整数、几何点这样某些基本对象之间关系。这些基本对象是作为客观现实抽象或理想化而产生。第22页各项公理，或因从哲学观点看可以认为是“显然”，或仅仅因其非常有说服力，而被不加证明地予以接受。这可靠吗？第23页已定型数学构造就建立在这些公理基础之上。在后来许多世纪中，公理化欧几里德数学曾被认为是数学体系典范，甚至为其他学科所努力效仿。（例如，像笛卡尔、斯宾诺沙等哲学家，就曾试图把他们学说用公理方式，或者如他们所说，“愈加几何化”地提出来，以便使之更有说服力。）第24页通过中世纪停滞时期后，数学同自然科学一起，在新出现微积分基础上开始了突飞猛进发展，这时公理化措施才被人们遗弃了。第25页曾经极其广泛地开拓了数学领域有发明才能先驱们，并不由于要使这些新发现受制于协调逻辑分析而束缚住自己，因此，在十七世纪，逐渐广泛地采用直观证据来替代演绎证明。某些第一流数学家在确实感到结论无误地状况下，运用了某些新概念，有时甚至运用某些神秘联想。由于对微积分新措施全面威力信念，促使研究者们走得很远（假如束缚于严格限制框架上，这将是不也许）。不过只有具有卓越才能数学大师们才有也许能防止发生大错。第26页微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新且更为复杂概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要基础外，还需要逻辑方面基础。第27页微分与积分是分析中两种基本极限过程。这两种过程某些特殊状况，甚至在古代就已经有人考虑过（在阿基米德工作中抵达高峰），而在十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们重视。然而，微积分系统发展是在十七世纪才开始，一般认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大科学先驱发明。这一系统发展关键在于认识到：过去一直分别研究微分和积分这两个过程，实际上是彼此互逆联络着。第28页公正历史评价，是不能把创立微积分归功于一两个人偶尔或不可思议灵感。许多人，例如，费马、伽利略、开普勒、巴罗等都曾为科学中这些具有革命性新思想所鼓舞，对微积分奠基作出过奉献。实际上，牛顿老师巴罗，就曾经几乎充足认识到微分与积分之间互逆关系。牛顿和莱布尼茨创立系统微积分就是基于这一基本思想。第29页假如我们考虑用小球下落中时间间隔来替代时刻，用它在这一段时间间隔内下降距离除以所用时间，就得到这一间隔中小球平均速度。我们可以计算从第四秒起，间隔为1/2秒，1/4秒，1/8秒，……内平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来平均速度就越靠近第四秒时速度。这就是说，我们有了一种方案：首先计算不一样样时间间隔内平均速度，然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一种数。这个数就是规定小球在第四秒时第瞬时速度。费马研究一种问题假设一种小球正向地面落去，我们想懂得下落后第4秒时小球速度（瞬时速度）。第30页小球下落运动状态可用下面公式描述：费马所在时代用是英制单位设任意一种时间增量是h，在第（4+h）秒时，小球会下降256英尺加上距离增量k:即第31页在h秒内（时间间隔）平均速度为幸好费马作了这个目前看来并不合理除法运算，……令h=0，得到小球在第四秒时下落速度?第32页费马推导问题所在这样就不能令h=0而得出结论。此外,对于这样简朴函数,可以进行上述化简工作,而对于更为复杂函数,就不一定可以进行这样化简工作了,一般只能导出如下关系式：,这样，当h=0时，k/h就是0/0了，这是没故意义。第33页费马一直没能证明他所做这些，也没有把这项工作非常深入地进行下去，但他坚信最终可以得到一种合理几何证明。尽管如此，实际上我们必须承认他是微积分学创始人之一。费马推导问题所在第34页

这里问题是，当把非均匀改变问题看成均匀改变时，能表示为两个量商形式，则此时处理非均匀改变问题，能够采取……？？？用什么措施？我们后来再慢慢讲。它是微分学问题。第35页古希腊人研究过面积问题第36页第37页第38页直观地看，小矩形越多，其面积和就越靠近于所求曲线下面积。怎样求此面积精确值？第39页17世纪数学家们处理这个问题措施是让n变成无穷大。然而，无穷大含义自身就不清晰。它是一种数吗？假如是，怎么对它进行计算呢？假如它不是一种数，那它又是什么呢？第40页费马在推导求面积公式时，发现当n为无穷大时，包括1/n和1/n2项可以忽视不计。卡瓦列里将上面讨论面积当作无限多种他称之为不可分量（牛顿称之为终止不可分量）总和。这个终止不可分量究竟是什么？当时没有人能将它说清晰。牛顿后来甚至重申他已经放弃了终止不可分量，而卡瓦列里只是说，把一块面积分割为越来越小小矩形时，最终就会得到终止不可分量，面积就是由这些终止不可分量构成。终止不可分量后来发展为无穷小量。第41页用什么措施？我们后来再慢慢讲。它是积分学问题。这里问题是，当把非均匀改变问题看成均匀改变时，能表示为两个量积形式，则此时处理非均匀改变问题，能够采取……？？？第42页牛顿与莱布尼茨实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们冲刺之前，微积分大量知识已经积累起来了。甚至在巴罗一本书里就能看到求切线措施、两个函数积和商微分定理、x幂微分、求曲线长度、定积分中变量代换、隐函数微分定理等等。第43页牛顿与莱布尼茨于是人们惊问，在重要新成果方面，尚有什么有待于发现呢？问题回答是，措施较大普遍性以及从特殊问题里已建立起来东西中认识其普遍性。第44页牛顿与莱布尼茨数学真正划分不是分为几何和算术，而是提成普遍和特殊。这普遍东西是由两个包罗万象思想家，牛顿和莱布尼茨提供。第45页1.牛顿（Newton）数学和科学中巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴奉献许多人工作之上。需要有一种人来走那最高和最终一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱猜测和阐明中清理出前人有价值想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一种宏伟计划。在微积分中，这个人就是牛顿。第46页牛顿（1642~1727年），英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英格兰林肯郡伍尔索普一种小村庄里。他母亲在那里管理着丈夫遗留下来农庄，他父亲是在他出生前两个月去世。第47页少年时期，牛顿在一种低原则地方学校接受教育，并且是一种除了对机械有爱好以外，没有特殊才华青年人。

第48页1661年他进入了剑桥大学三一学院，安静而没有阻力地学习着自然哲学。1665年牛顿刚结束他大学课程，学校就由于伦敦地区鼠疫流行而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了他在机械、数学和光学上伟大工作，于1665-1666年间做出流数术、万有引力和光分析三大发明，年仅23岁。第49页1667年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三一学院研究员。1669年牛顿接替他数学老师巴罗职位，担任卢卡斯数学专家。他不是一种成功教师，听他课学生很少。第50页他提出发明性材料也没有受到同事们注意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他伟大，并给他以鼓励。牛顿涉猎学科诸多，知识面很广。他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力学、流体动力学、物理学方面研究工作，还自己动手制作试验装置，甚至自己制作了两台反射望远镜（制作出做架子用合金、浇铸框架、做底座、磨光镜头等。）第51页他在数学上以创立微积分而著称，其流数法（即物质变化率）始于1665年，系统论述于《流数法和无穷级数》（1671年完毕，1736年出版），首先刊登在《自然哲学之数学原理》（1687）中。其中借助运动学中描述持续量及其变化率论述他流数理论，并创用字母上加一点符号表达流动变化率（即导数符号）。第52页讨论基本问题是：已知流量间关系，求它们流数关系以及逆运算，确立了微分与积分这两类运算互逆关系，即微积分基本定理。他用级数处理微分和积分，已对级数收敛和发散有所认识。他也研究微分方程、隐函数微分、曲线切线、曲线曲率、曲线拐点和曲线长度等。第53页此外他还论述了有理指数二项定理（1664年）以及数论、解析几何、曲线分类、变分法等中有关问题。第54页他在物理学上发现了万有引力定律（1666-1684年），并据此指出行星运行成椭圆轨道原因。1666年用三棱镜试验光色散现象，1668年发明并亲手制作了第一架反射望远镜。

第55页他在哲学上深信物质、运动、空间和时间客观存在性，坚持用观测和试验措施发现自然界规律，力争用数学定量措施表述定律阐明自然现象，其科学研究措施支配后世近3物理学研究。

第56页晚年牛顿变得消沉，精神几乎瓦解。他放弃研究工作，于1695年接受任命，担任大英造币厂监察。17，封为爵士，享年85岁。牛顿对于他毕生成就，一直是十分谦虚。第57页2.莱布尼茨（Leibniz）莱布尼茨（1646~17）是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列科学家。他研究法律，在答辩了有关逻辑论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文《论组合艺术》获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同步获得该校专家席位。第58页1671年，他制造了他计算机。1672年3月作为梅因兹选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学爱好。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。第59页1673年他到伦敦，碰到另某些数学家和科学家，促使他愈加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入多种政治活动，但他科学研究工作领域是广泛，他业余生活活动范围是庞大。第60页除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱地质学家，他在逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。虽然他专家席位是法学，但他在数学和哲学方面著作被列于世界上曾产生过最优秀著作中。他用通信保持和人们接触，最远到锡兰（Ceylon）和中国。第61页他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益力学中发明和化学、生理学方面发现（17柏林科学院成立）。第62页莱布尼茨从1684年开始刊登论文，但他许多成果以及他思想发展，实际上都包括在他从1673年起写，但从未刊登过成百笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从一种课题跳到另一种课题，并伴随他思想发展而变化他所用记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗书和文章时，或是试图将他们思想纳入自己处理微积分方式时所出现简朴思想。第63页17莱布尼茨写了《微分学历史和来源》，在这本书中，他给出了某些有关自己思想发展记载，由于他出书目旳是为了澄清当时加于他抄袭罪名，因此他也许不自觉地歪曲了有关他思想来源记载。不管他笔记本多么混乱，都揭示了一种最伟大才智，怎样为了抵达理解和发明而奋斗。第64页尤其值得一提是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必然是相反过程；1676年6月23日手稿中，他意识到求切线最佳措施是求dy/dx，其中dy，dx是变量差，dy/dx是差商。莱布尼茨工作，虽然富于启发性并且意义深远，但它是十分零乱不全，以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他文章大大加工，并做了大量发展工作。17，他无声无息地死去。第65页微积分是能应用于许多类函数一个新普遍方法，这一发觉必须归功于牛顿和莱布尼茨俩人。经过他们工作，微积分不再是古希腊几何附庸和延展，而是一门独立科学，用来处理较以前更为广泛问题。第66页任何一件新事物出现时，普通不可能是十分完美。假如牛顿和莱布尼茨想到过连续函数不一定有导数——而这却是普通情形——那么微分学就决不会被创造出来。——毕卡第67页创立微积分优先权争论牛顿从1665年到1687年把成果告知了他朋友，尤其是把他短文《分析学》送给了巴罗，但他于1687年此前，并没有正式公开刊登过微积分方面任何工作。第68页创立微积分优先权争论虽然莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和某些懂得牛顿工作人通信。然而，他直到1684年才正式公开刊登微积分著作。于是就发生了莱布尼茨与否懂得牛顿工作详情问题。莱布尼茨被指责为抄袭者。第69页在这两个人死了很久后来，调查证明：虽然牛顿大部分工作是在莱布尼茨之前做，不过莱布尼茨是微积分思想独立发明者。两个人都受到巴罗诸多启发。创立微积分优先权争论第70页这件事成果是，英国和大陆数学家停止了思想互换。由于牛顿在微积分方面重要工作是以几何为工具，因此在他死后近一百年中，英国人继续以几何为重要工具研究微积分。而大陆数学家继续使用莱布尼茨分析措施，使它发展并不停进行改善。这件事影响非常巨大，它不仅使英国数学家落在背面，并且使数学学科损失了一批最有才能人所应作出奉献。创立微积分优先权争论第71页十八世纪微积分

所以，看来当代数学家们象从事科学人们那样，在应用他们原理方面费心血比在了解这些原理方面多得多。——贝克莱主教第72页十七世纪最伟大成就就是微积分。由此来源产生了数学某些重要新分支，如微分方程，无穷级数，微分几何，变分法，复变函数等等。其中某些工作萌芽确实在牛顿和莱布尼茨工作中就已经出现了。十八世纪，人们大量地致力于这些分析分支发展。不过在这一发展完毕之前，首先必须扩展微积分自身。十八世纪微积分第73页牛顿和莱布尼茨发明了基本措施，但也留下了许多要做事情：必须清晰地认识或造出许多新一元函数和多元函数；微分和积分技巧必须推广到某些已经存在或别有待引入函数；此外还缺乏微积分逻辑基础。当然，第一目旳是扩展微积分重要内容。十八世纪微积分第74页十八世纪，人们确实扩展了微积分，并创立了某些新分析分支。数学家们对微积分以及随即产生分析分支做了纯形式处理。在这个经受了挫折、错误、不完全和混乱处理过程中，虽然他们技巧是很高超，但却不是由明确数学思想指导，而是由直观和物理见解指导。这些形式努力经受了后来批判性检查考验，并产生了伟大思想线索。人们深深感受到，数学新领域征服有时超过军事上征服。它大胆地闯入敌人领土，攻占要塞，然后，就必须由更广阔，更彻底，更谨慎行动来扩大和支持这些入侵，以保卫那些仅仅临时地、不牢固地控制了东西。十八世纪试图在微积分中注入严密性第75页十八世纪数学家和思想家们，没故意识到需要极限概念。又由于他们没有看出使用无穷级数而产生问题，因此他们天真地认为微积分只是代数推广。对于虽然稍微复杂一点代数函数，基本积分法还是把函数表到达级数形式（沿用牛顿措施），再逐项积分。数学家们只是将积分技巧从一种有限形式发展到另一种有限形式，仅把积分当作导数或微分逆运算。他们历来就不问一种积分存在性。好在十八世纪出现大部分应用问题中，积分都能被明确地求出来，因而也就不会发生积分存在与否问题。第76页在十八世纪初期，就已经出现了两个和三个变量函数微积分（多元函数微积分）。一般导数与偏导数辨别在一开始并未被人们明确地认识，因而对两者使用相似记号。而物理意义又规定人们在多种自变量函数中，考虑只有一种自变量变化导数。两个或多种变量函数偏导数研究重要动力来自偏微分方程方面工作。偏导数演算是由欧拉研究流体力学问题一系列文章提供。达朗贝尔在1744年前后，推广了偏导数演算。第77页在十八世纪，虽然数学家们致力于在微积分中注入严密性，但由于时代局限性，这项工作显得十分混乱。其中比较有代表性思想是达朗贝尔工作。他在一篇论文中说道：“极限，极限论是微积分真正抽象……，它决不是微分学中无穷小量一种问题：它独特地是有限量极限问题。这样，无穷大量和无穷小量互相间较大，较小空谈，对微分学来说是全然无用。”无穷小量仅仅是一种说法，用以防止冗长极限术语描述。实际上，达朗贝尔给出了极限对旳定义一种极好近似：一种变量趋近一种固定量，趋近程度不不小于任何给定量。可惜他没有能结合并运用他基本准对旳思想作出微积分形式论述。第78页告诫学习微积分学生们：坚持,你就会有信心.达朗贝尔第79页评语尽管几乎十八世纪每位数学家都在微积分逻辑上做了努力，或至少表达了他们见解，其中也有一、两个走对了路，但他们所有努力都是没有多大用处。任何棘手问题都被故意避开或是漠然视之，人们很难辨别很大数与无穷数，数学家们在有限与无限之间随意通行。微积分被称为“计算与度量一种其存在性是不可思议事物艺术”。尤其是欧拉、拉格朗日这样大师对微积分微积分严格化努力最终止果，是误导了他们同代人以及后来者，并且搞乱了他们思想。总来说，他们那么明目张胆地出错误，以致于人们对数学家能否能清晰他们包括到逻辑感到绝望。第80页十八世纪思想家们所采取论据一个奇怪地特点是他们求援于“形而上学”，用它来暗示数学领域之外还存在一个真理体系，即使这个真理体系终究是什么还不清楚，但假如需要话，能够用它来检验人们所做工作。莱布尼茨、欧拉等数学家都曾借助于形而上学得出过失误结论。比如，莱布尼茨曾证实过级数和为1/2,实际上，该级数无和。第81页一般说来，当十七、十八世纪数学家们不能为一种观点提供更好证明时，他们就惯于说这其中理由是形而上学。因此，在十八世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上分析其他分支逻辑处在一种完全混乱状态之中。可以说，18微积分基础方面状况比17更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不对旳逻辑基础。由于他们是权威，他们许多同事接受了并不加批判