高中数学选择性必修2课件：5 3 2 第二课时 函数的最大（小）值(人教A版)

第二课时函数的最大(小)值课标要求素养要求1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.新知探究观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：问题1图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示最大值点是x＝2，最大值是3；最小值点是x＝0，最小值是－3.问题2图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示极大值点是x＝－2，极大值是2；极小值点是x＝0，极小值是－3.问题3一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.1.

(1)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在_____处或_______处取得. (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______. ②将函数y＝f(x)的各极值与________的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________.端点极值点极值端点处最大值

函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

最小值2.最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.拓展深化[微判断]1.函数的最大值不一定是函数的极大值.()2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.()

提示也可能在极值点处取到.3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.()

提示

有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.√××4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.()√[微训练]1.连续函数y＝f(x)在[a，b]上(

) A.极大值一定比极小值大

B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值

D.最大值一定大于极小值

解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.

答案

D[微训练]1.连续函数y＝f(x)在[a，b]上(

) A.极大值一定比极小值大

B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值

D.最大值一定大于极小值

解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.

答案

D[微思考]1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A，则A中的元素个数可能是多少？

提示可能为0，1，2.2.在开区间内的连续函数f(x)在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？

提示是.题型一求函数的最值【例1】求下列各函数的最值.解

(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函数.故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.规律方法求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.【训练1】求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.

解

(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f′(x)

＋0－0＋

f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值为35，最小值为－37.当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数.故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.

题型二含参数的函数的最值问题【例2】已知f(x)＝ax－lnx，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.规律方法对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.【训练2】已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.解

f′(x)＝3x2－2ax.题型三由函数的最值求参数问题【例3】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)当a>0时，列表如下：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)

＋0－

f(x)－7a＋b

b

－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.规律方法已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【训练3】已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.解

∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)

28

－4

当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3].一、素养落地1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.二、素养训练1.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(

) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值

解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.

答案D答案C3.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(

) A.20 B.18 C.3 D.0

解析因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.

答案

A4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.

解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.

答案－715.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.

解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.

即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.

由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4. f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.

答案－4备用工具&资料4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.

解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.

答案－71答案C【训练1】求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x