高中数学选择性必修2课件：4 3 1 第二课时 等比数列的性质及实际应用(人教A版)

第四章第二课时等比数列的性质及实际应用1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.课标要求素养要求通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝_______＝________

(m，n∈N*).a1qn－1am·qn－m2.“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为______数列，首项为__________，公比为____；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为______数列，公比为______.等比ak＋1q等比qk3.常用等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有_____________.(2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝_____.(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.am·an＝ak·al(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝________＝__________＝….a2·an－1ak·an－k＋11.思考辨析，判断正误(1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.(

)(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.(

)√×(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(

)提示

反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.×(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.()提示

反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.×(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.()提示

反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.×2.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也一定是等比数列的有(

) A.{can}(c为常数) B.{an＋an＋1} C.{an·an＋1} D.{a}

解析

当c＝0时，{can}不是等比数列，当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，不是等比数列；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列.CD3.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(

) A.24 B.30 C.54 D.108C4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.课堂互动题型剖析2题型一等比数列性质的应用【例1】

已知{an}为正项等比数列.(1)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.题型一等比数列性质的应用【例1】

已知{an}为正项等比数列.(1)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解

根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.【迁移1】

在例1(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.解

由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；【迁移2】把例1(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解

a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.思维升华A解析

由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，(2)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.16【例2】

已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.题型二等差数列与等比数列的综合问题解(1)设数列{an}的公差为d，由题意知所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.思维升华【训练2】

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.【例3】

从盛满aL(a>1)纯酒精的容器中倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去…，第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2，则至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?题型三等比数列的实际应用解第一次倒出纯酒精1L，第二次倒出再加水后，浓度为……即至少倒4次后酒精的浓度低于10%.对于一个实际问题，首先要弄清题目所含的数量关系，观察是否可以转化为等比数列问题，基本思路清晰后再着手解题.要注意：(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；(2)合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；(3)针对所求结果作出合理解释.思维升华【训练3】某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；解

从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解

由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.1.掌握解决等比数列问题的2种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量. (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.2.解题过程应注意1种思想与1个技巧： (1)转化思想：将非等差、等比数列通过构造转化成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题. (2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦.若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝(

) A.6 B.2 C.2或6 D.－2B2.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝(

) A.2 B.4 C.6 D.8

解析

原式＝log2(a1a2a3…a8)＝log2(a2a7)4＝4log24＝8.D3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(

) A.－24 B.－3 C.3 D.8A解析

根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，AA二、填空题6.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.－6解析

由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.7.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.8∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.－2三、解答题9.某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5米2.该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万米2，到2023年年底时，人均住房面积为24米2，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0<x<1)解设该城市的人口年平均增长率为x(0<x<1).则该城市2015年年底到2023年年底人口数量组成等比数列，记为{an}.则a1＝100，q＝1＋x，2023年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.2023年年底，住房总面积为100×5＋8×245＝2460(万米2).∴该城市的人口年平均增长率约是0.3%.10.在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列；证明

因为bn＝log2an，所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.解

因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又因为a1>1，所以b1＝log2a1>0，又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，又因为d＝log2q＝－1，即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*).11.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.1024解析

设等比数列{an}的公比为q，②÷①得q48＝8，q16＝2，12.设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝________；a1a2…an的最大值为________.64解析

设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值，即f(n)min＝－6，13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝2，S5＝40.(1)求{an}的通项公式；又a1＝2，解得d＝3.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d得an＝3n－1.解