高中数学选择性必修2课件：4 2 2 第一课时 等差数列的前n项和公式及相关性质(人教A版)

4.2.2等差数列的前n项和公式第一课时等差数列的前n项和公式及相关性质课标要求素养要求1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.问题文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？提示9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块).1.等差数列的前n项和公式求Sn的条件：已知n，a1，an或n，a1，d(1)等差数列的前n项和公式2.等差数列前n项和的性质拓展深化[微判断]1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.()

提示

当an＝0时，Sn＝an.2.等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.()

提示

当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数.××√

[微训练]1.等差数列{an}中a1＝2，a2＝3，则其前10项的和S10＝________.答案65

[微训练]1.等差数列{an}中a1＝2，a2＝3，则其前10项的和S10＝________.答案652.等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝________.3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________.

解析等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.

答案－1[微思考]1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？2.能否用“倒序相加法”求首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn呢？提示由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d].两式相加，得2Sn＝(a1＋an)·n，根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，题型一等差数列前n项和公式的基本运算【例1】在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.解

(1)法一由已知条件得∴n＝20.规律方法等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练1】

(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2018，S6－2S3＝18，则S2020＝(

) A.－2018 B.2018 C.2019 D.2020 (2)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(

) A.a7 B.a8 C.S15 D.S16答案(1)D

(2)BC题型二等差数列前n项和性质的应用【例2】

(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；解

(1)法一在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.【训练2】

(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(

)答案(1)A

(2)C题型三求数列{|an|}的前n项和【例3】若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解

∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn规律方法已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点.第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加.【训练3】已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*).①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，一、素养落地1.通过学习等差数列前n项和公式的推导过程及性质，提升逻辑推理和数学运算素养.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到{an}的正负项的分界点.二、素养训练1.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(

)A.12 B.24C.36 D.48答案B2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(

) A.1 B.2 C.4 D.8答案C答案A4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.

解析因为

S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.

答案

125.已知等差数列{an}中，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去).解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.备用工具&资料4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.

解析因为

S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.

答案

122.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(

) A.1 B.2 C.4 D.8