高中数学选择性必修二课件：习题课 函数的单调性的综合问题(人教A版)

习题课函数的单调性的综合问题第五章§5.3导数在研究函数中的应用1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.2.能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参

数的取值范围.学习目标随堂演练课时对点练一、求含参数的函数的单调区间二、由单调性求参数的取值范围三、函数图象的增长快慢的比较内容索引一、求含参数的函数的单调区间例1讨论函数f(x)＝

ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.反思感悟(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，二、由单调性求参数的取值范围问题1

对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？提示在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有有限个等于0的点，不影响函数的单调性，其实即便是无数不连续的点使得f′(x)＝0，也不会影响函数的单调性，比如f(x)＝x－sinx，它的导函数f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，但这并不影响函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.问题2

对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？提示不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无单调递增区间.知识梳理在某区间D上，若f′(x)>0⇒函数f(x)在D上

；在某区间D上，若f′(x)<0⇒函数f(x)在D上

.若函数f(x)在D上单调递增⇒

；若函数f(x)在D上单调递减⇒

.注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min；(3)需要对等号进行单独验证.单调递增单调递减f′(x)≥0f′(x)≤0知识梳理在某区间D上，若f′(x)>0⇒函数f(x)在D上

；在某区间D上，若f′(x)<0⇒函数f(x)在D上

.若函数f(x)在D上单调递增⇒

；若函数f(x)在D上单调递减⇒

.注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min；(3)需要对等号进行单独验证.单调递增单调递减f′(x)≥0f′(x)≤0例2

已知函数f(x)＝

x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.解f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.延伸探究1.本例函数不变，若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最大值.解由题意f′(x)＝x2－a在[1，＋∞)有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，故实数a的最大值是1.2.本例函数不变，若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.解由题意f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤4.反思感悟(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).跟踪训练2

(1)函数y＝

x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是A.(－∞，1) B.(－∞，1]C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)√解析函数y＝

x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.故选D.(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是A.(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)B.(－3，－1)∪(1,3)C.(－2,2)D.不存在这样的实数k√解析由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，∴1<k<3或－3<k<－1，故选B.三、函数图象的增长快慢的比较问题3

观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？提示由图象可知若f′(x)>0，则f(x)单调递增，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)单调递减，显然|f′(x)|越大，函数f(x)递减的就越快.知识梳理函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注意点：分析图象的变化与导数的绝对值的大小关系.例3

如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是√解析由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C答案.反思感悟如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.跟踪训练3

若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是√解析∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，即在a，x1，x2，b处它们的斜率是依次增大的.∴A满足上述条件；对于B，存在x1<x2使f′(x1)>f′(x2)；对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；对于D，对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.1.知识清单：(1)求含参函数的单调区间.(2)由单调性求参数的取值范围.(3)函数图象增长快慢的比较.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.课堂小结随堂演练12341.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是√解析由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f′(x)先小于零后大于零最后等于0.12342.若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则A.a≤0 B.a<1C.a<2 D.a≤解析∵f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.√1234解析若函数f(x)有3个单调区间，则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2.√1234(－∞，－1]1234解析∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.设函数f(x)＝2x＋sinx，则A.f(1)>f(2) B.f(1)<f(2)C.f(1)＝f(2) D.以上都不正确√解析f′(x)＝2＋cosx>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)<f(2).12345678910111213141516√解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1，由题意，可知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，123456789101112131415163.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上单调递增，则a等于A.1 B.2 C.0 D.解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，√即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.123456789101112131415164.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0√解析由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.123456789101112131415165.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是√解析检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D.123456789101112131415166.(多选)函数f(x)＝

ax2－(a＋2)x＋2lnx单调递增的必要不充分条件有A.a≥2 B.a＝2C.a≥1 D.a>2√√12345678910111213141516即ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，①当a＝0时，－2x＋2≥0⇒x≤1，不满足题意；12345678910111213141516则Δ＝(a＋2)2－8a＝(a－2)2≤0⇒a＝2，故选AC.1234567891011121314151612345678910111213141516解析f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，12345678910111213141516[－5,5]解析∵f(x)在(－1，1)上单调递减，∴f′(x)＝x2＋mx－6≤0在(－1，1)上恒成立，又f′(x)＝x2＋mx－6是开口向上的二次函数，为使f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，123456789101112131415169.试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间.12345678910111213141516解函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.12345678910111213141516综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；1234567891011121314151610.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；解∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.12345678910111213141516(2)求函数f(x)的单调区间.12345678910111213141516解f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增；1234567891011121314151612345678910111213141516当a＝0时，f(x)在R上单调递增.123456789101112131415综合运用1611.若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间

上单调递增，则实数c的取值范围是A.(－∞，2] B.(－∞，4]C.(－∞，8] D.[－2,4]√12345678910111213141516解析易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间(0，4)上的单调递减区间为(0，2)，但函数y＝f(x)在区间(0，2)上不单调，不符合题意；若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，12345678910111213141516√12345678910111213141516令h(x)＝2x2－2bx＋1，1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________.[－1,1)解析令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.∴f(x)的单调递减区间为[－2,2]，由题意得(2m，m＋1)⊆[－2,2]，拓广探究12345678910111213141516√解析由f(x)＝ax3＋x2＋5x－1，得f′(x)＝3ax2＋2x＋5，此时函数f(x)＝ax3＋x2＋5x