高中数学选择性必修二课件：习题课 等差数列的性质的综合问题(人教A版)

习题课等差数列的性质的综合问题第四章§4.2

等差数列1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的

问题.2.掌握等差数列中项的设法.学习目标随堂演练课时对点练一、等差数列的实际应用二、等差数列中项的设法三、等差数列的综合应用内容索引一、等差数列的实际应用例1

《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为A.15.5尺 B.12.5尺 C.9.5尺 D.6.5尺√解析设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒、…芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺).反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.跟踪训练1

假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在______年新建住房的面积开始大于820万平方米.2029解析设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.由于n∈N*，则n≥9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.由于n∈N*，则n≥9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米.二、等差数列中项的设法例2

(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；解设这三个数依次为a－d，a，a＋d，所以这三个数为4,3,2.(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.解设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.反思感悟等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式.(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出.(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出.跟踪训练2

已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为

，求这5个数.跟踪训练2

已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为

，求这5个数.解设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有三、等差数列的综合应用例3

若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为

的等差数列，则数列的公差d＝____，m＋n的值为_____.解析设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0).设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.反思感悟解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.跟踪训练3

已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝____.27解析方法一由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.方法二设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.1.知识清单：(1)等差数列的实际应用.(2)等差数列中项的设法.(3)等差数列的综合应用.2.方法归纳：解方程组法.3.常见误区：对等差数列的性质不理解而致错.课堂小结随堂演练12341.已知等差数列1，a1，a2,9，则a2－a1的值为A.8 B.－8 C.±8 D.解析根据等差数列1，a1，a2,9知，1和9是该数列的第一项和第四项，√12342.在等差数列{an}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，则a5＋a8等于A.12 B.22 C.24 D.34解析设数列{an}的公差为d，√故a5＋a8＝a5＋a2＋6d＝10＋6×2＝22.12343.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列√解析因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.12344.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，乙所得为____钱.1234解析由题意，设这五人所得钱分别为a＋2d，a＋d，a，a－d，a－2d，则a＋2d＋a＋d＝a＋a－d＋a－2d，且5a＝5，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，则a7等于A.1 B.8 C.4 D.2√123456789101112131415162.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为A.0 B.37 C.100 D.－37√解析设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.123456789101112131415163.已知等差数列{an}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{an}中有一项是14，则d的取值的个数为A.3 B.4 C.6 D.7解析等差数列{an}的首项是2，公差为d(d∈Z)，有一项是14，∴设第n项为14，有an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d＝14，即(n－1)d＝12，由n∈N*知，n－1>0，n－1∈N*，而12＝1×12＝2×6＝3×4，∴d的取值有1,2,3,4,6,12.√123456789101112131415164.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为A.98 B.88 C.78 D.68√解析设这三个数为a－d，a，a＋d，∴这三个数为－1,4,9或9,4，－1.∴它们的平方和为98.123456789101112131415165.已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0A.无实根

B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根

D.不能确定有无实根√解析因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，所以a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根.123456789101112131415166.(多选)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2

021是该数列的一项，则公差d不可能是A.2 B.3 C.4 D.5√√√解析由2021是该数列的一项，得2021＝3＋(n－1)d，所以d是2018的约数，故d不可能是3,4和5.123456789101112131415167.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为______.解析设这三个数为a－d，a，a＋d，－21∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.123456789101112131415168.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为______.1或2解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.123456789101112131415169.四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数.12345678910111213141516解设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，又四个数成递减等差数列，所以d<0，故所求的四个数为11,8,5,2.1234567891011121314151610.已知数列{an}满足an＋1＝

(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3；12345678910111213141516(2)是否存在一个实数λ，使得数列

为等差数列，请说明理由.12345678910111213141516123456789101112131415综合运用1611.设等差数列的公差为d，若数列

为递减数列，则A.d>0 B.d<0C.a1d>0 D.a1d<0√解析由数列

为递减数列，得

，再由指数函数性质得a1an－1>a1an，由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an⇒a1an－a1an－1<0⇒a1(an－an－1)<0⇒a1d<0.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，1234567891011121314151614.在等差数列{an}中，a2＝3，若从第5项开始为负数，则公差d的取值范围是___________.解析∵等差数列{an}从第5项开始为负数，拓广探究1234567891011121314151615.一个三角形的三个内角A，B，C成等差数列，其三边a，b，c也成等差数列，则该三角形的形状为____________.等边三角形12345678910111213141516解析由三边成等差数列，得2b＝a＋c，三角形的三个内角A，B，C成等差数列，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°，即(a＋c)2＝4a2＋4c2－4ac，整理得a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c.所以该三角形为等边三角形.16.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？1234567891011121314151612345678910111213141516解设某单位需购买电视机n台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).12345678910111213141516当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.备用工具&资料12345678910111213141516解设某单位需购买电视机n台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－