第五节　古典概型与事件的相互独立性-备战2025年高考数学一轮复习

第五节古典概型与事件的相互独立性第十章计数原理、概率、随机变量及其分布成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期课件使用说明01本课件使Office2016制作，请使用相应软件打开并使用使用软件02本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS

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1.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单

随机事件的概率.

2.能够结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性

的含义.

3.能够结合古典概型，利用独立性计算概率.必备知识自主梳理内容索引关键能力重点探究课时作业巩固提升必备知识自主梳理

有限可能性相等

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

3.与相互独立事件

A

，

B

有关的概率的计算公式如下表：事件

A

，

B

相互独立概率计算公式

A

，

B

同时发生

P

(

AB

)＝

P

(

A

)

P

(B)

A

，

B

同时不发生

A

，

B

至少有一个不发生

P

＝1－

P

(

AB

)＝1－

P

(

A

)

P

(B)

A

，

B

至少有一个发生事件

A

，

B

相互独立概率计算公式

A

，

B

恰有一个发生[小题诊断]1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的

概率为0.74.甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断

的概率为(

B

)A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都

熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.B2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中

依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是

(

D

)

D3.一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取

出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是

⁠.

关键能力重点探究

考点一

古典概型

(1)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相

邻的概率为(

C

)例1

C(2)(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一

“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻

“—

—”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰

有3个阳爻的概率是(

A

)A

方法总结跟踪训练1.(2020·全国Ⅰ卷)设

O

为正方形

ABCD

的中心，在

O

，

A

，

B

，

C

，

D

中

任取3点，则取到的3点共线的概率为(

A

)A

2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同

学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为(

C

)法一：设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1，2，3.用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1，3，2)表示A同学拿到1

号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.C三人可能拿到的卡片结果为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，

1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6种，

考点二

事件独立性的判断

(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

B

)例2BA.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结果：(1，1)，(1，2)，

(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，

5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，

(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，

4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).

丁事件包含(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，共6个基

本事件.丙事件包含(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5个基本事件.易知“甲、丙同时发生”的基本事件为0个，“丙、丁同时发生”的基

本事件为0个，“乙、丙同时发生”的基本事件为(6，2)，共1个，

∴乙、丙不相互独立.同理可知“甲、丁同时发生”的基本事件为(1，6)，

∴

P

(甲丁)＝

P

(甲)·

P

(丁)，∴甲与丁相互独立.判断两个事件是否相互独立的两种方法1.根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的

概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件.2.定义法：通过式子

P

(

AB

)＝

P(

A

)P

(B)来判断两个事件是否独立，

若上式成立，则事件

A

，

B

相互独立，这是定量判断.方法总结跟踪训练3.判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中

各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选

出1名女生”；解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选

出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，

取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白

球”.

设“甲、乙两球都落入盒子”为事件

A

，

设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件

B

，

求相互独立事件同时发生概率的步骤1.首先确定各事件之间是相互独立的.2.确定这些事件可以同时发生.3.求出每个事件的概率，再求积.

特别提醒：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公

式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可同时发生.方法总结跟踪训练4.(2024·山东烟台模拟)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问

题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.

假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果

相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等

于

⁠.0.128

根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为事件

A

，若该

选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第

三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答

错与第一个答对；由相互独立事件的概率乘法公式，可得

P

(

A

)＝0.8×0.2×0.8×0.8＋

0.2×0.2×0.8×0.8＝0.128.课时作业巩固提升

[A组

基础保分练]1.(多选)下列试验是古典概型的是(

BD

)A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取

一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率BD12345678910111213141516171819C项，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合

有限性；D项，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙

被选中的概率是等可能的.A项，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；B项，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等

可能的；123456789101112131415161718192.(多选)下列各对事件中，

M

，

N

是相互独立事件的有(

CD

)A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件

M

＝“出现的点数为奇数”，事件

N

＝“出现的点数为偶数”B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两

次，事件

M

＝“第1次摸到红球”，事件

N

＝“第2次摸到红球”C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件

M

＝“第1枚为正面”，事件

N

＝“两

枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件

M

＝“第一次为正面”，事件

N

＝“第二次

为反面”CD12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718193.(2024·江苏南京模拟)将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙

三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一

名男生分到甲社区的概率是(

D

)

D123456789101112131415161718194.(2024·浙江杭州模拟)已知事件

A

，

B

相互独立，

P

(

A

)＝0.5，

P

(

B

)＝

0.4，则

P

(

A

＋

B

)＝(

C

)A.0.88B.0.9C.0.7D.0.72

C123456789101112131415161718195.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30

＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的

概率是(

C

)C12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718196.(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数

互质的概率为(

D

)D12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718197.(多选)不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字

1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.

A

表示

事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，

B

表示事件“两次

取出的球上标有的数字之和为5，则(

AC

)D.事件

A

与

B

相互独立AC12345678910111213141516171819

对于选项B：

123456789101112131415161718198.(2024·河北石家庄模拟)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡

镇甲、乙、丙3个村小学进行支教.若每个村小学至少分配1名大学生，

则小明恰好分配到甲村小学的概率为(

C

)C12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718199.(2024·上海模拟)2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时

命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两

人同时命中的概率是

⁠.运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次

结果相互独立，则两人同时命中的概率是

P

＝0.6×0.5＝0.3.0.3

1234567891011121314151617181910.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，

后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496，8128，33550

336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6

和28恰好在同一组的概率为

⁠.

1234567891011121314151617181911.(2022·上海卷)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3

项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到

的概率为

⁠.从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检

测，

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819(2)现甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于

对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的

选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.

12345678910111213141516171819

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

A12345678910111213141516171819

B12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

因为

A

，

B

是相互独立事件，设

A

不发生的概率为

x

，

B

不发生的概率为

y

，

D1234567891011121314151617181916.(多选)(2024·浙江杭州模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件

A

表示：

“点数不大于2”，等件

B

表示：“点数大于2”，事件

C

表示：“点数

为奇数”，事件

D

表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有