2024北京市东城区九年级上期末考试数学试题含答案

东城区2024学年度第一学期期末教学统一检测初三数学学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是ABCD2.边长为2的正方形内接于，则的半径是A． B． C． D．3．若要得到函数的图象，只需将函数的图象A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．点，都在反比例函数的图象上，若，则A． B． C． D．5．A，B是上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是A．30B．60°C．90° D．120°6．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA,OB,OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是A．B． C．D．7．已知函数，其中，此函数的图象可以是8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数（n）成活数（m）成活率(m/n)移植棵数（n）成活数（m）成活率(m/n)50470.940150013350.8902702350.870350032030.9154003690.923700063350.9057506620.88314000126280.902下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；=4\*GB3④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.其中合理的是A．①③B．①④C.②③D．②④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AB=6，则AC的长是.10．若抛物线与轴没有交点，写出一个满足条件的的值：.11．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为.11题图12题图12.如图，AB是的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交于点D.若CD=1，AB=4,则的半径是.13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度.为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）.经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA的长分别为0.7m,0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为.第13题图第14题图14.是四边形ABCD的外接圆,AC平分∠BAD，则正确结论的序号是.=1\*GB3①AB=AD;=2\*GB3②BC=CD;=3\*GB3③;=4\*GB3④∠BCA=∠DCA;=5\*GB3⑤15.已知函数，当时，函数的最小值是-4，则实数的取值范围是.16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数的图象上运动，k的值为,OM长的最小值为.三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：.18．已知等腰△ABC内接于,AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的顶角和底角的度数.19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°.（1）求证：△ADE∽△BEC.（2）若AD=1，BC=3，AE=2,求AB的长.20．在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1.(1)求△ABC的面积；（2）求AC的长.21．北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目.历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率.22.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°.将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△,其中点,分别是点，的对应点.(1)作出△(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)连接,求∠的度数.23．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m?24．在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数（k≠0）的图象交于点和点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式的解集．25．如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的与边BC，AC分别交于点D，E.DF是的切线,交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A,B，点A的坐标为（）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线过点B，且与抛物线的另一个交点为C．=1\*GB3①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；=2\*GB3②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1:y=x+a和l2:y=-x+b组成图形G.当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围.27．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=，以点B为圆心，为半径作圆．点P为B上的动点，连接PC，作，使点落在直线BC的上方，且满足，连接BP，．（1）求∠BAC的度数，并证明△∽△BPC；（2）若点P在AB上时，=1\*GB3①在图2中画出△AP’C；=2\*GB3②连接，求的长；图1图2（3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．备用图28．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1,0），P2（,），P3（,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦点是________；（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（,），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标的取值范围．东城区2024年级期末数学答案1-5：ACBCB6-8：DDC9、210、211、（2，－1）12、13、1514、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线的对称轴是A． B． C． D．2．在△ABC中，∠C90°．若AB3，BC1，则的值为A． B． C． D．3．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB4，AD2，DE1.5，则BC的长为A．1 B．2C．3 D．44．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为A．30° B．40°C．50° D．60°5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC3:2，∠Aα，∠Cβ，△OAB与△OCD的面积分别是和，△OAB与△OCD的周长分别是和，则下列等式一定成立的是A． B．C． D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过A．点M B．点NC．点P D．点Q7．如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当时，x的取值范围是A．或B． C． D．CDAOB8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中ACDB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2CDAOB图1图2A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程的根为．10．已知∠A为锐角，且，那么∠A的大小是°．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是．（写出一个即可）12．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P60°，PA，则AB的长为．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：°°．18．已知是关于x的方程的一个根，求的值．19．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB，AC5，，求BC的长．20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．（1）直接写出v关于t的函数表达式：v=；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC中，∠B90°，AB4，BC2，以AC为边作△ACE，∠ACE90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中为锐角，图2中为直角，图3中为钝角）．图1图图1图2图3 在△ABC的边BC上取，两点，使，则∽∽，，，进而可得；（用表示）若AB=4，AC=3，BC=6，则．23．如图，函数（）与的图象交于点A（-1，n）和点B（-2，1）．（1）求k，a，b的值；（2）直线与（）的图象交于点P，与的图象交于点Q，当时，直接写出m的取值范围．24．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD4，DE5，求DM的长．25．如图，在△ABC中，，°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至，连接．已知AB2cm，设BD为xcm，B为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：0.50.71.01.52.02.31.71.31.10.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段的长度的最小值约为__________；若，则的长度x的取值范围是_____________．26．已知二次函数．（1）该二次函数图象的对称轴是x；（2）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最大值是2，求当时，的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，请结合图象，直接写出的最大值．27．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．

28．在△ABC中，∠A90°，ABAC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PBPA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1图2 图3北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准2一、选择题（本题共16分，每小题2分）12345678BACBDCAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．或10．6011．（答案不唯一）12．（，0）13．614．215．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，，为锐角，.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式=………………3分==………………5分18．解：∵是关于x的方程的一个根，∴.∴.………………3分∴.………………5分19．解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵AC=5，，∴.………………2分∴在Rt△ACD中，.………………3分∵AB，∴在Rt△ABD中，.………………4分∴.………………5分20．解：（1）.………………3分（2）由题意，当时，.………………5分答：平均每天要卸载48吨.21．证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴.∵CE=AC，∴.∵CD=5，∴.………………3分∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.∴△ABC∽△CED.………………5分22．BC，BC，………………3分………………5分23．解：（1）∵函数（）的图象经过点B（-2，1），∴，得.………………1分∵函数（）的图象还经过点A（-1，n），∴，点A的坐标为（-1，2）.………………2分∵函数的图象经过点A和点B，∴解得………………4分（2）且.………………6分24．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE.∴∠CBD=∠BDE.………………1分∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD.∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.∴OD⊥DF.………………2分∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线.………………3分（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°.∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD.∴CD=AD=4，AB=BC.∵DE=5，∴，EF=DE=5.∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5.∴，.∴AB=8.………………5分∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF.∴.∴ME=4.∴.………………6分25．（1）0.9.………………1分（2）如右图所示.………………3分（3）0.7，………………4分.………………6分26．解：（1）2．………………1分（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，∴当时，y取到在上的最大值为2.∴.∴，.………………3分∵当时，y随x的增大而增大，∴当时，y取到在上的最小值.∵当时，y随x的增大而减小，∴当时，y取到在上的最小值.∴当时，y的最小值为.………………4分（3）4.………………6分27．解：（1）（2，0）(答案不唯一).………………1分（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B.作MH⊥x轴于H，连接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.∴.∴.设，则，，∴，解得，即点M的纵坐标为.又由，A