2020-2021学年新教材高中数学数列5.2等差数列5.2.2.2等差数列习题课课件

第2课时等差数列习题课核心互动探究探究点一求等差数列前n项和的最值【典例1】在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求{an}的前n项和Sn的最大值.【思维导引】解答本题方法一:可先由条件求出公差d,进而求出等差数列{an}的前n项和,然后借助二次函数知识求Sn的最大值.方法二:先由求出取最大值时n的值再求和.【解析】方法一:由题意得即所以Sn=25n+·(-2)=-(n-13)2+169.故当n=13时,Sn有最大值169.方法二:由方法一知所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.由所以n=13时,Sn有最大值S13=169.【类题通法】求等差数列前n项和的最值问题的两种方法(1)通项公式法:在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取到最大值的n可由不等式组确定;当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取到最小值的n可由不等式组确定.(2)运用函数思想求最值:Sn=n2+,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值;n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.【定向训练】1.等差数列{an}中,a3+a10=5,a7=1,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn的最大值为(

)A.1 B.19 C.60 D.70【解析】选D.设等差数列{an}的首项与公差分别为a1,d,则所以Sn=na1+=二次函数图像的对称轴为n=,因为n∈N*,所以当n=7时,Sn(max)=70.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9>0,S8<0,则使得Sn取得最小值的n为 (

)【解析】选B.由S9>0,S8<0,得S9=9a5>0,所以a5>0,由S8==4(a4+a5)<0,所以a4<0,所以Sn取得最小值的n为4.探究点二等差数列前n项和Sn的函数特征【典例2】数列{an}的前n项和Sn=33n-n2,(1)求{an}的通项公式;(2){an}的前多少项和最大?(3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Sn′.【思维导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解.(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.【解析】(1)方法一:(公式法)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,又当n=1时,a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2n.故{an}的通项公式为an=34-2n.方法二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次函数,所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,故数列{an}的前17项大于或等于零.又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.(3)由(2)知,当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.所以当n≤17时,Sn′=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2,当n≥18时Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544,故Sn′=

【延伸探究】1.(变条件)将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“在等差数列{an}中a1=25,S17=S9”求其前n项和Sn的最大值.【解析】方法一:因为S9=S17,a1=25,所以9×25+=17×25+解得d=-2.所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.所以当n=13时,Sn有最大值169.方法二:同方法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.因为a1=25>0,由得又因为n∈N*,所以当n=13时,Sn有最大值169.方法三:因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.因为a1>0,所以d<0.所以a13>0,a14<0.所以当n=13时,Sn有最大值169.方法四:设Sn=An2+Bn.因为S9=S17,所以二次函数对称轴为n==13,且开口方向向下,所以当n=13时,Sn取得最大值169.2.(变条件)将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“”求数列{|an|}的前n项和Tn.【解析】a1=S1=-×12+×1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-3n+104.因为n=1也适合an=-3n+104,所以数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*).由an=-3n+104≥0,得n≤34.7.即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.(1)当n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n;(2)当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn==n2-n+3502.故

【类题通法】1.在等差数列中,求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第一项起到该分界点的各项和为最值.(2)借助二次函数的图像及性质求最值.2.寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用来寻找.(2)到函数y=ax2+bx(a≠0)的图像的对称轴距离最近的左侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.3.求数列{|an|}的前n项和,应先判断{an}的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题.【定向训练】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn等于(

)

22-6n+18C. D.

【解析】选C.由Sn=n2-6n得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2,所以an=-5+(n-1)×2=2n-7,当n≤3时,an<0,当n>3时,an>0,Tn=

【补偿训练】Sn表示等差数列{an}的前n项和,且S4=S9,a1=-12.(1)求数列{an}的通项an及Sn.(2)求和:Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.【解析】(1)设公差为d,因为S4=S9,a1=-12,所以4×(-12)+6d=9×(-12)+36d⇒d=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14,Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.(2)当n≤7时,Tn=-(a1+a2+a3+…+an)=-Sn=13n-n2,当n≥8时,an>0,Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)+(a8+…+an)=Sn-2S7=n2-13n+84.综上,Tn=

探究点三等差数列的综合应用【典例3】已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且(1)求证:数列{an}是等差数列.(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.【思维导引】(1)借助已知Sn求an公式,利用等差数列的定义an-=常数来证.(2)先求出Sn,bn,观察发现运用裂项法求和.【解析】(1)①当n=1时,a1=S1=解得a1=1.②当n≥2时,由得即又因为an+>0,所以an-=1(n≥2).所以{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列.(2)由(1)知an=n,所以所以Tn=b1+b2+b3+…+bn==【类题通法】裂项相消法求和当数列的通项是分式形式,分母是两个式子的乘积,且两个式子的差为常数,这时可以把通项分裂成两项之差,如在求和时,中间很多项都会相互抵消,只剩首尾若干项,从而求出数列的和.【定向训练】在等差数列中,a1=8,a3=4.(1)设数列的前n项和为Sn,求Sn的最大值及使得Sn最大的序号n的值;(2)设Tn为数列的前n项之和,求Tn.【解析】(1)等差数列的公差所以an=10-2n,

=于是当n取4或5时,(2)所以【补偿训练】Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式.(2)设,求数列{bn}的前n项和.【解题指南】(1)根据an+1=Sn+1-Sn及+2an=4Sn+3确定{an}的通项公式.(2)利用裂项法求和.【解析】(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3,可得+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)==(an+1+an)(an+1-an),由于an>0,可得an+1-an=2,又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.

(2)由an=2n+1可知

设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn===【课堂小结】

课堂素养达标1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(

)

【解析】选8=S8-S7=