2024湖南中考数学二轮专题训练 题型一 规律探索题 (含答案)

2024湖南中考数学二轮专题训练题型一规律探索题类型一数式规律湖南中考真题精选1.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是________．2.观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．3.观察下面的变化规律：eq\f(2,1×3)＝1－eq\f(1,3)，eq\f(2,3×5)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,5)，eq\f(2,5×7)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,7)，eq\f(2,7×9)＝eq\f(1,7)－eq\f(1,9)，…根据上面的规律计算：eq\f(2,1×3)＋eq\f(2,3×5)＋eq\f(2,5×7)＋…＋eq\f(2,2019×2021)＝________．4.天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥456789101112123算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)针对训练1.按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是()A.n2an＋1B.n2an－1C.nnan＋1D.(n＋1)2an2.观察下列等式：第一个等式：a1＝eq\f(1,1×4)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))；第二个等式：a2＝eq\f(1,4×7)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,4)－eq\f(1,7))；第三个等式：a3＝eq\f(1,7×10)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,7)－eq\f(1,10))；第四个等式：a4＝eq\f(1,10×13)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,10)－eq\f(1,13))；…按照上述规律，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2022＝()A.eq\f(2021,2022)B.eq\f(2022,6067)C.eq\f(2020,2021)D.eq\f(6066,6067)3.一组按规律排列的代数式：a＋2b，a2－2b3，a3＋2b5，a4－2b7，…，则第n个式子是________．4.[创新考法]某种植物的生长过程中可按如图表示，该植物最初只有一个枝干，看作植物生长的第1层，随着生长，枝干会分出两个新的枝干作为第2层，每个新的枝干继续生长又会分出两个新枝干形成第3层，…，按照这个规律，该植物第8层枝干的个数为________．第4题图5.[创新考法]如图，屋顶的某一斜面可以看作等腰梯形，其表面铺设了瓦片，从第二排开始每一排比前一排少铺2块瓦片，已知第九排铺设了84块瓦片，则前三排铺设的瓦片总数为________块．第5题图6.如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______行第______列．第6题图7.观察以下等式：第1个等式：eq\f(32－12,4)＝1＋1；第2个等式：eq\f(42－22,4)＝1＋2；第3个等式：eq\f(52－32,4)＝1＋3；第4个等式：eq\f(62－42,4)＝1＋4；第5个等式：eq\f(72－52,4)＝1＋5；…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式：________________．(用含n的等式表示)

类型二图形累加规律湖南中考真题精选1.刘莎同学用火柴棒依图中的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第________个．第1题图2.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝________．(用含n的式子表达)第2题图3.如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第3题图针对训练1.如图是一组形似“山”字的图案，它们是由边长相等的小正方形组合而成，图①有8个小正方形，图②有13个小正方形，图③有18个小正方形，…，按照这个规律，第n个图形中，小正方形的个数为()第1题图A.2n－5B.2n＋5C.5n＋3D.5n－32.观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依此规律，第20个图形中★的个数是()第2题图A.398B.439C.450D.4723.如图，是由黑白两色的圆按照一定的方法摆放而成的图形，按照这样的方法摆放下去，能满足黑色圆的个数是白色圆个数的2倍还多1个的图形是()第3题图A.第11个B.第12个C.第13个D.第14个4.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…；照这样拼图，则第n个图形需要________根火柴棍．第4题图5.如图是由等腰三角形与正方形按一定规律组成的图形，按此规律，第n个图形中的三角形个数是________．(用含n的代数式表示)第5题图6.如图是一组有规律的图案，第1个图案中有1个“·”，第2个图案中有5个“·”，第3个图案中有9个“·”，第4个图案中有13个“·”，…，按此规律排下去，第n个图案中有________个“·”．(用含n的代数式表示)第6题图7.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________．第7题图8.如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多________个．(用含n的代数式表示)第8题图

类型三图形中点的坐标规律湖南中考真题精选1.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律，点P2016的坐标为________．第1题图2.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2018的纵坐标是________．第2题图3.如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An－1BnAn都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝eq\f(\r(3),x)(x＞0)的图象上，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，则An的坐标为________．第3题图针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标是这样的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此规律，点A71的坐标为()第1题图A.(36，36)B.(36，37)C.(71，71)D.(71，72)2.如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B(4，0)，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点F164的坐标为()第2题图A.(－4，4eq\r(2))B.(－4，－4eq\r(2))C.(4eq\r(2)，－4)D.(－4eq\r(2)，－4)3.在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为()A.(－22020，－eq\r(3)×22020)B.(22021，－eq\r(3)×22021)C.(22020，－eq\r(3)×22020)D.(－22021，－eq\r(3)×22021)第3题图4.如图，直线l的函数表达式为y＝x－1，在直线l上顺次取点A1(2，1)，A2(3，2)，A3(4，3)，A4(5，4)，…，An(n＋1，n)．构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)、B(5，0)，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△A1OB1，再将Rt△A1OB1绕原点顺时针旋转90°得到Rt△A2OB2，依次旋转分别得到Rt△A3OB3，Rt△A4OB4，Rt△A5OB5，…，斜边的中点依次记为P0，P1，P2，P3，…，Pn.则Rt△A2022OB2022斜边的中点P2022的坐标为________________．第5题图6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，且点C的坐标为(eq\r(2)，0)，∠OCB＝45°.将菱形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到菱形OA1B1C1，…，依此方式，绕点O连续旋转2021次后得到菱形OA2021B2021C2021，则点A2021的坐标为______________．第6题图7.如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为(1，1)，连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn(n为正整数)的坐标是_________________________________________________．第7题图8.如图，已知点A1在x轴上，坐标为(1，0)，直线l：y＝x＋1与y轴交于点B1，以A1B1为边作正方形A1B1C1D1，延长C1D1分别交x轴、y轴于点A2、B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2，延长C2D2分别交x轴、y轴于点A3、B3，…，按照这个操作进行下去，点Cn的坐标为______________．第8题图参考答案类型一数式规律湖南中考真题精选1.1【解析】从前几个3的幂来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数与第一个数的个位数相同，∵3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，∴它的个位数与34的个位数相同，即为1.2.m2－m【解析】由题意规律可得2＋22＋23＋…＋299＝2100－2.∵2100＝m，∴2＋22＋23＋…＋299＋2＝2100＝m＝20m，∵2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－2，∴2101＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2＝m＋m＝2m＝21m.2102＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101＋2＝m＋m＋2m＝4m＝22m.2103＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101＋2102＋2＝m＋m＋2m＋4m＝8m＝23m.…，∴2199＝299m.故2100＋2101＋2102＋…＋2199＝20m＋21m＋…＋299m＝m(20＋21＋…＋299)＝m(2100－1)＝m(m－1)＝m2－m.3.eq\f(2020,2021)【解析】由题干信息可抽象出一般规律：eq\f(2,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1).故eq\f(2,1×3)＋eq\f(2,3×5)＋eq\f(2,5×7)＋…＋eq\f(2,2019×2021)＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2019)－eq\f(1,2021)＝1＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,5)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2019)－eq\f(1,2019))－eq\f(1,2021)＝1－eq\f(1,2021)＝eq\f(2020,2021).4.辛丑【解析】∵2021的个位数是1，对应“天干”中的“辛”；2021÷12得到余数是5，对应“地支”中的“丑”，∴2021年是辛丑年．针对训练1.A【解析】单项式的系数规律为1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，…，∴第n个单项式的系数为n2，a的指数规律为2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1，5＝4＋1，…，∴第n个单项式字母a的指数为n＋1，∴第n个单项式是n2an＋1.2.B【解析】由题意可得，an＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,3n－2)－eq\f(1,3n＋1))，当n＝2022时，a2022＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,6064)－eq\f(1,6067))，∴a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2022＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,4)－eq\f(1,7))＋…＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,6064)－eq\f(1,6067))＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,6064)－eq\f(1,6067))＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,6067))＝eq\f(2022,6067).3.an＋(－1)n＋1·2b2n－1【解析】∵当n为奇数时，(－1)n＋1＝1，当n为偶数时，(－1)n＋1＝－1，∴第n个式子是an＋(－1)n＋1·2b2n－1.4.128【解析】∵第1层的枝干个数为1＝20，第2层的枝干个数为2＝21，第3层的枝干个数为4＝22，第4层的枝干个数为8＝23，…，按照这个规律，第8层的枝干个数为27＝128.5.294【解析】∵从第二排开始每一排比前一排少铺2块瓦片，∴第八排铺设了84＋2×(9－8)＝86块瓦片，第七排铺设了84＋2×(9－7)＝88块瓦片，第六排铺设了84＋2×(9－6)＝90块瓦片，…，依次类推，第三排铺设了84＋2×(9－3)＝96块瓦片，第二排铺设了98块瓦片，第一排铺设了100块瓦片，∴前三排铺设的瓦片总数为96＋98＋100＝294块．6.64，5【解析】由题图可知，第一行1个数字，第二行2个数字，第三行3个数字，…，则第n行n个数字，前n行一共有eq\f(n（n＋1）,2)个数字，∵eq\f(63×64,2)＜2021＜eq\f(64×65,2)，2021－eq\f(63×64,2)＝2021－2016＝5，∴2021是表中第64行第5列．7.解：(1)eq\f(82－62,4)＝1＋6；(2)eq\f(（n＋2）2－n2,4)＝1＋n.类型二图形累加规律湖南中考真题精选1.2017【解析】由图可以找出规律：第n个图形需要5n＋1(其中n是正整数)个火柴棒，∴设5n＋1＝10086，解得n＝2017.2.eq\f(n（n＋1）,2)【解析】第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1＋2＝3，第3个图形表示的三角形数为1＋2＋3＝6，第4个图形表示的三角形数为1＋2＋3＋4＝10，…第n个图形表示的三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).3.2n(n＋1)【解析】∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，…，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n(n＋1)．针对训练1.C【解析】第1个图形中，小正方形的个数为8，第2个图形中，小正方形的个数为8＋5＝13，第3个图形中，小正方形的个数为8＋5×2＝18，…，∴第n个图形中，小正方形的个数为8＋5×(n－1)＝5n＋3.2.B【解析】观察图形可得，第1个图形中★的数量为22－2＝2，第2个图形中★的数量为32－2＝7，第3个图形中★的数量为42－2＝14，第4个图形中★的数量为52－2＝23，…，∴第n个图形中★的数量为(n＋1)2－2，∴第20个图形中★的数量为212－2＝439.3.D【解析】由题图知，白色圆的个数分别为6，9，12，15，18，…，故第n个图形中白色圆的个数为3(n＋1)个，黑色圆的个数分别为0，1，3，6，10，…，故第n个图形中黑色圆的个数为eq\f(n（n－1）,2)个，当eq\f(n（n－1）,2)＝2×3(n＋1)＋1时，解得n＝14或n＝－1(不符合题意，舍去)，∴满足条件的图形是第14个．4.2n＋1【解析】由题图可知，拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3＋2＝5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3＋2×2＝7根火柴棍，…，∴拼成第n个图形共需要3＋2×(n－1)＝(2n＋1)根火柴棍．5.3n＋1【解析】第1个图形中三角形的个数为1＋3＝4，第2个图形中三角形的个数为1＋3＋3＝7，第3个图形中三角形的个数为1＋3＋3＋3＝10，…，依次类推，第n个图形中三角形的个数为3n＋1.6.4n－3【解析】第1个图案中有4×0＋1＝1个“·”，第2个图案中有4×(2－1)＋1＝5个“·”，第3个图案中有4×(3－1)＋1＝9个“·”，第4个图案中有4×(4－1)＋1＝13个“·”，…，∴第n个图案中有4×(n－1)＋1＝(4n－3)个“·”．7.22a＋2b【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a＋b)，第②个图案的周长为2×2(a＋b)－2×(2－1)b，第③个图案的周长为3×2(a＋b)－2×(3－1)b，…，则第n个图案的周长为n×2(a＋b)－2(n－1)b，∴第⑪个图案的周长为11×2(a＋b)－2×(11－1)b＝22a＋2b.8.2n＋1【解析】第1个图中有1个圆，有(1×3＋1)个三角形，第2个图中有2个圆，有(2×3＋1)个三角形，第3个图中有3个圆，有(3×3＋1)个三角形，以此类推，第n个图中有n个圆，有(n×3＋1)个三角形，∴第n个图中三角形的个数比圆的个数多n×3＋1－n＝(2n＋1)个．类型三图形中点的坐标规律湖南中考真题精选1.(504，－504)【解析】由图象可知，P1，P4，P8，P12，…，在同一条直线y＝－x(x≥0)上，此时可观察到当n为4的倍数时，Pn的坐标为(eq\f(n,4)，－eq\f(n,4))，P2016(eq\f(2016,4)，－eq\f(2016,4))，即(504，－504)．2.22017【解析】∵直线y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，∴A(0，1)，∵A1B1C1O为正方形，∴A1B1＝1，点B2的坐标为(3，2)，∴B1的纵坐标是1＝20，B1的横坐标是1＝21－1，∴B2的纵坐标是1＋1＝21，B2的横坐标是3＝22－1，∴B3的纵坐标是2＋2＝4＝22，B3的横坐标是7＝23－1，∴据此可以得到Bn的纵坐标是2n－1，Bn的横坐标是2n－1，即点B2018的纵坐标为22017.3.(2eq\r(n)，0)【解析】如解图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，∴tan∠B1OC＝eq\f(B1C,OC)＝eq\r(3)，B1C＝eq\r(3)OC，设OC的长度为x，则B1的坐标为(x，eq\r(3)x)，代入函数关系式可得eq\r(3)x2＝eq\r(3)，解得x＝1或x＝－1(舍去)，∴OA1＝2OC＝2，∴A1(2，0)；设A1D的长度为y，同理，B2D为eq\r(3)y，B2的坐标表示为(2＋y，eq\r(3)y)，代入函数关系式可得(2＋y)eq\r(3)y＝eq\r(3)，解得y＝eq\r(2)－1或y＝－eq\r(2)－1(舍去)∴A1D＝eq\r(2)－1，A1A2＝2eq\r(2)－2，OA2＝2＋2eq\r(2)－2＝2eq\r(2)，∴A2(2eq\r(2)，0)；设A2E的长度为z，同理，B3E为eq\r(3)z，B3的坐标表示为(2eq\r(2)＋z，eq\r(3)z)，代入函数关系式可得(2eq\r(2)＋z)eq\r(3)z＝eq\r(3)，解得z＝eq\r(3)－eq\r(2)或z＝－eq\r(3)－eq\r(2)(舍去)，∴A2E＝eq\r(3)－eq\r(2)，A2A3＝2eq\r(3)－2eq\r(2)，OA3＝2eq\r(2)＋2eq\r(3)－2eq\r(2)＝2eq\r(3)，∴A3(2eq\r(3)，0)．综上可得An(2eq\r(n)，0)．第3题解图针对训练1.A【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n为奇数时，第n个点的坐标为(eq\f(n＋1,2)，eq\f(n＋1,2))；当n为偶数时，第n个点的坐标为(eq\f(1,2)n，eq\f(1,2)n＋1)．由此可知，点A71的坐标为(36，36)．2.D【解析】∵点B的坐标为(4，0)，∴OB＝4，由正方形的性质得OA＝4，∴AB＝4eq\r(2)，∵四边形ABEF为菱形，∴AF＝AB＝4eq\r(2)，∴F(4eq\r(2)，4)．由题意可知，旋转每8次为一个循环，164÷8＝20……4，∴第164次旋转结束时，点F164与点F关于原点对称，∴点F164的坐标为(－4eq\r(2)，－4)．3.C【解析】∵每一次将△AOB绕点O逆时针旋转60°，eq\f(360°,60°)＝6，∴每6次旋转为一个循环．∵2021÷6＝336……5，∴点A2021在射线OA5上，易知点A5在第四象限，且∠AOA5＝60°.∵OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝22，…，OA2021＝22021，∴点A2021的横坐标为OA2021·cos60°＝22020，纵坐标为－OA2021·sin60°＝－eq\r(3)×22020，∴点A2021的坐标为(22020，－eq\r(3)×22020)．4.4044【解析】由题意知S1＝3×2－2×1，S2＝4×3－3×2，S3＝5×4－4×3，∴Sn＝(n＋2)(n＋1)－(n＋1)n＝2n＋2，∴当n＝2021时，S2021＝2×2021＋2＝4044.5.(－eq\f(5,2)，－eq\f(3,2))【解析】由题意知，旋转周期为4，又∵2022÷4＝505……2，∴点P2022与点P2重合，∵A(0，3)，B(5，0)，∴A2(0，－3)，B2(－5，0)，∴A2B2的中点P2的坐标为(－eq\f(5,2)，－eq\f(3,2))，∴P2022的坐标为(－eq\f(5,2)，－eq\f(3,2))．6.(0，－eq\r(2